Mathematik Für Physikerinnen Und Physiker I/II an der TU Berlin | Karteikarten & Zusammenfassungen

Lernmaterialien für Mathematik für Physikerinnen und Physiker I/II an der TU Berlin

Greife auf kostenlose Karteikarten, Zusammenfassungen, Übungsaufgaben und Altklausuren für deinen Mathematik für Physikerinnen und Physiker I/II Kurs an der TU Berlin zu.

TESTE DEIN WISSEN

Was ist ein Vektorraum?

Lösung anzeigen
TESTE DEIN WISSEN

Ein mathematischer Raum, in dem Vektoren existieren (leben) und der gegenüber den lineare Operationen abgeschlossen ist.

Lösung ausblenden
TESTE DEIN WISSEN
Nenne die linearen Operationen
Lösung anzeigen
TESTE DEIN WISSEN
Addition
Multiplikation mit einem Skalar (einer Zahl)
[Skalarmultiplikation]
Lösung ausblenden
TESTE DEIN WISSEN
Dimensionsformel für lin. Abb.
(eines VR / UVR / TR)

Lösung anzeigen
TESTE DEIN WISSEN
Sei F: V -> W eine lin. Abb.

dim(V)=dim(Ker(V))+dim(Bild(V))

Falls dim(Bild(V))=dim(W)) gilt

dim(V)=dim(Ker(V))+dim(W)

Lösung ausblenden
TESTE DEIN WISSEN
Lineare Un-/abhängigkeit
Lösung anzeigen
TESTE DEIN WISSEN
Lin. Unabhg. :     Die Gleichung
λ_1 x_1 + . . . + λ_n x_n = 0
mit λ∈ ℝ und x_i ∈ ℝ mit i=1,...,n
Hat nur die triviale Lösg. Also λ_1 = . . . = λ_n = 0
d.h. die gegebenen Vektoren lassen sich nicht lin. Kombinieren

Lin. Abhg. : Die Gleichung
λ_1 x_1 + . . . + λ_n x_n = 0
mit λ∈ ℝ und x_i ∈ ℝ mit i=1,...,n
Besitzt eine von der trivialen Lösg. verschieden Lösg.
Also  λ_i =/= 0
Lösung ausblenden
TESTE DEIN WISSEN
Darstellende Matrix
Lösung anzeigen
TESTE DEIN WISSEN
Matrix mit Einträgen, die eine Abbildung von den Einheitsvektoren gemacht hat
Lösung ausblenden
TESTE DEIN WISSEN
Darstellende Matrix für Drehung eines Vektors
Lösung anzeigen
TESTE DEIN WISSEN
cos ß   - sin ß
sin ß       cos ß
Lösung ausblenden
TESTE DEIN WISSEN
Was funktioniert in ℂ, was in ℝ bewiesen wurde?
Lösung anzeigen
TESTE DEIN WISSEN
Es funktionieren diejenigen Dinge nicht, die Anordnung erfordern. Der Rest klappt. Insbesondere dasjenige, was aus den Körperaxiomen hergeleitet wurde.
Lösung ausblenden
TESTE DEIN WISSEN
Wie beweist man die Dreieckungleichung |z+w|≤|z|+|w| für komplexe Zahlen?
Lösung anzeigen
TESTE DEIN WISSEN
Aufwendig mit |z+w|=|(a+x)+i(b+y)|=√((a+x)²+(b+y)²) und das gleichsetzen mit |z|+|w|.
Lösung ausblenden
TESTE DEIN WISSEN
Diagonalisierbarkeit
Lösung anzeigen
TESTE DEIN WISSEN
Ist eine Matrix diagonalisierbar, so ist die geometrische Vielfachheit ihrer Eigenwerte gleich der jeweiligen algebraischen Vielfachheit. Das bedeutet, die Dimension der einzelnen Eigenräume stimmt jeweils mit der algebraischen Vielfachheit der entsprechenden Eigenwerte im charakteristischen Polynom der Matrix überein
Lösung ausblenden
TESTE DEIN WISSEN
Nennen Sie notwendige und hinreichende Bedingungen für Diagonalisierbarkeit.
Begründen Sie.
Lösung anzeigen
TESTE DEIN WISSEN
  • --> eine n-dimensionale diagonalisierbare Matrix muss n linear unabhängige Eigenvektoren haben --> weil n=dimV -->Der Raum besitzt also eine Basis aus Eigenvektoren. NOTWENDIGE + HINREICHENDE  BEDINGUNG (denn aus n gefundenen linear unabhängigen Vektoren lassen sich geeignete D und S einfach konstruieren).
  • Begründung:
    • Hat man S und (Diagonalmatrix=D) D gefunden, so gilt, dass die Diagonaleinträge von D, nämlich λi , die Eigenwerte von D zu gewissen Einheitsvektoren ei sind. 
    • Dann ist ASei =SD ei=S λi ei= λi S ei
    • Die S ei  sind also Eigenvekoren von A, und zwar jeweils zum Eigenwert λi.
  • Eine NOTWENDIGE, aber nicht hinreichende Bedingung ist, dass das charakteristische Polynom vollständig in Linearfaktoren zerfällt: Siehe Beispiel nicht diagonalisierbar/diagonalisierbar.
Lösung ausblenden
TESTE DEIN WISSEN
Diagonalisierbarkeit
Lösung anzeigen
TESTE DEIN WISSEN
  • Ein Endomorphismus f von V nach V, über einem endlichdim. VR, V heißt diagonalisierbar, falls eine Basis B von V existiert, bezüglich der die Abbildungsmatrix M(f) eine Diagonalmatrix ist.
Lösung ausblenden
TESTE DEIN WISSEN
Warum lässt sich der Körper der komplexen Zahlen nicht (wie die reellen Zahlen) anordnen?
Lösung anzeigen
TESTE DEIN WISSEN
In einem angeordneten Körper gilt für ein Element a≠0 stets a²>0. Wegen i²=-1<0 und i≠0 gilt dies in ℂ nicht, und daher kann ℂ nicht angeordnet sein.
Lösung ausblenden
  • 42799 Karteikarten
  • 1646 Studierende
  • 57 Lernmaterialien

Beispielhafte Karteikarten für deinen Mathematik für Physikerinnen und Physiker I/II Kurs an der TU Berlin - von Kommilitonen auf StudySmarter erstellt!

Q:

Was ist ein Vektorraum?

A:

Ein mathematischer Raum, in dem Vektoren existieren (leben) und der gegenüber den lineare Operationen abgeschlossen ist.

Q:
Nenne die linearen Operationen
A:
Addition
Multiplikation mit einem Skalar (einer Zahl)
[Skalarmultiplikation]
Q:
Dimensionsformel für lin. Abb.
(eines VR / UVR / TR)

A:
Sei F: V -> W eine lin. Abb.

dim(V)=dim(Ker(V))+dim(Bild(V))

Falls dim(Bild(V))=dim(W)) gilt

dim(V)=dim(Ker(V))+dim(W)

Q:
Lineare Un-/abhängigkeit
A:
Lin. Unabhg. :     Die Gleichung
λ_1 x_1 + . . . + λ_n x_n = 0
mit λ∈ ℝ und x_i ∈ ℝ mit i=1,...,n
Hat nur die triviale Lösg. Also λ_1 = . . . = λ_n = 0
d.h. die gegebenen Vektoren lassen sich nicht lin. Kombinieren

Lin. Abhg. : Die Gleichung
λ_1 x_1 + . . . + λ_n x_n = 0
mit λ∈ ℝ und x_i ∈ ℝ mit i=1,...,n
Besitzt eine von der trivialen Lösg. verschieden Lösg.
Also  λ_i =/= 0
Q:
Darstellende Matrix
A:
Matrix mit Einträgen, die eine Abbildung von den Einheitsvektoren gemacht hat
Mehr Karteikarten anzeigen
Q:
Darstellende Matrix für Drehung eines Vektors
A:
cos ß   - sin ß
sin ß       cos ß
Q:
Was funktioniert in ℂ, was in ℝ bewiesen wurde?
A:
Es funktionieren diejenigen Dinge nicht, die Anordnung erfordern. Der Rest klappt. Insbesondere dasjenige, was aus den Körperaxiomen hergeleitet wurde.
Q:
Wie beweist man die Dreieckungleichung |z+w|≤|z|+|w| für komplexe Zahlen?
A:
Aufwendig mit |z+w|=|(a+x)+i(b+y)|=√((a+x)²+(b+y)²) und das gleichsetzen mit |z|+|w|.
Q:
Diagonalisierbarkeit
A:
Ist eine Matrix diagonalisierbar, so ist die geometrische Vielfachheit ihrer Eigenwerte gleich der jeweiligen algebraischen Vielfachheit. Das bedeutet, die Dimension der einzelnen Eigenräume stimmt jeweils mit der algebraischen Vielfachheit der entsprechenden Eigenwerte im charakteristischen Polynom der Matrix überein
Q:
Nennen Sie notwendige und hinreichende Bedingungen für Diagonalisierbarkeit.
Begründen Sie.
A:
  • --> eine n-dimensionale diagonalisierbare Matrix muss n linear unabhängige Eigenvektoren haben --> weil n=dimV -->Der Raum besitzt also eine Basis aus Eigenvektoren. NOTWENDIGE + HINREICHENDE  BEDINGUNG (denn aus n gefundenen linear unabhängigen Vektoren lassen sich geeignete D und S einfach konstruieren).
  • Begründung:
    • Hat man S und (Diagonalmatrix=D) D gefunden, so gilt, dass die Diagonaleinträge von D, nämlich λi , die Eigenwerte von D zu gewissen Einheitsvektoren ei sind. 
    • Dann ist ASei =SD ei=S λi ei= λi S ei
    • Die S ei  sind also Eigenvekoren von A, und zwar jeweils zum Eigenwert λi.
  • Eine NOTWENDIGE, aber nicht hinreichende Bedingung ist, dass das charakteristische Polynom vollständig in Linearfaktoren zerfällt: Siehe Beispiel nicht diagonalisierbar/diagonalisierbar.
Q:
Diagonalisierbarkeit
A:
  • Ein Endomorphismus f von V nach V, über einem endlichdim. VR, V heißt diagonalisierbar, falls eine Basis B von V existiert, bezüglich der die Abbildungsmatrix M(f) eine Diagonalmatrix ist.
Q:
Warum lässt sich der Körper der komplexen Zahlen nicht (wie die reellen Zahlen) anordnen?
A:
In einem angeordneten Körper gilt für ein Element a≠0 stets a²>0. Wegen i²=-1<0 und i≠0 gilt dies in ℂ nicht, und daher kann ℂ nicht angeordnet sein.
Mathematik für Physikerinnen und Physiker I/II

Erstelle und finde Lernmaterialien auf StudySmarter.

Greife kostenlos auf tausende geteilte Karteikarten, Zusammenfassungen, Altklausuren und mehr zu.

Jetzt loslegen

Das sind die beliebtesten StudySmarter Kurse für deinen Studiengang Mathematik für Physikerinnen und Physiker I/II an der TU Berlin

Für deinen Studiengang Mathematik für Physikerinnen und Physiker I/II an der TU Berlin gibt es bereits viele Kurse, die von deinen Kommilitonen auf StudySmarter erstellt wurden. Karteikarten, Zusammenfassungen, Altklausuren, Übungsaufgaben und mehr warten auf dich!

Das sind die beliebtesten Mathematik für Physikerinnen und Physiker I/II Kurse im gesamten StudySmarter Universum

Mathe für Physiker 1

Universität Hamburg

Zum Kurs
Mathematik für Biologen I

Universität Tübingen

Zum Kurs
Mathe für Physiker

Universität Bochum

Zum Kurs
Physik für Geoinformatiker

Ostbayerische Technische Hochschule Amberg-Weiden

Zum Kurs
Physikalische Chemie und Mathematik

Universität Hamburg

Zum Kurs

Die all-in-one Lernapp für Studierende

Greife auf Millionen geteilter Lernmaterialien der StudySmarter Community zu
Kostenlos anmelden Mathematik für Physikerinnen und Physiker I/II
Erstelle Karteikarten und Zusammenfassungen mit den StudySmarter Tools
Kostenlos loslegen Mathematik für Physikerinnen und Physiker I/II