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Lernmaterialien für ADM an der Technische Universität Wien

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TESTE DEIN WISSEN

Was versteht man unter einem Zyklus?
Wann heißt ein Graph zyklisch wann azyklisch?

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TESTE DEIN WISSEN

Wenn man bei einem gerichteten Graphen bei einem Punkt starten kann und wieder zu diesem zurückkehren kann.


Ein Graph heißt zyklisch wenn er mindestens einen Zyklus enthält und azyklisch wenn nicht.

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Was versteht man unter einer binären Relation auf einer Menge?

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TESTE DEIN WISSEN

Eine Binärrelation auf die Menge A ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts AxA

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TESTE DEIN WISSEN

Was versteht man unter einer Äquivalenzrelation auf M? Was versteht man unter einer Partition der Menge M? Wie hängen die beiden Begriffe zusammen?

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TESTE DEIN WISSEN

Äquivalenzrelation auf M ist eine binäre Relation auf M mit folgenden Eigenschaften:

  • Reflexivität aRa
  • Symmetrie aRb -> bRa
  • Transitivität (aRb ^ bRc) -> aRc

Die Partition ist eine nicht leere Menge von paarweisen disjunkten Teilmengen. Diese vereinigt, ergibt wieder die Ursprungsmenge.

Die durch die Äquivalenzrelationen erzeugten Äquivalenzklassen bilden eine Partition der Ursprungsmenge.

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Was versteht man unter einem Baum/Wald?

Welche Regeln gelten (Festellung von Anzahl der Knoten)?

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TESTE DEIN WISSEN

Ein Baum ist ein schlichter ungerichteter, zusammenhängender Graph ohne Kreise. Ein Wald sind mehrere nicht zusammenhängende Bäume.

Baum:
#Knoten = #Kanten + 1

Wald:

#Knoten = #Kanten + #Bäume

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Wie lauten die 5 Peano Axiome
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  • 0 ist eine N-Zahl
  • Jede N-Zahl hat genau einen Nachfolger
  • 0 ist nicht Nachfolger einer N-Zahl
  • Verschiedene N-Zahlen haben verschiedene N-Zahlen als Nachfolger
  • Jede Eigenschaft, welche 0 zukommt, und sich von jeder N-Zahl auf den Nachfolger überträgt, kommt bereits allen N-Zahlen zu.
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Wie lautet das Schubfachprinzip?

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Das Schubfachprinzip besagt, wenn n (= Anzahl der Elemente) > k (= Anzahl der Auswahl/Schubfach) dann muss ein k mindestens 2 Elemente enthalten.

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TESTE DEIN WISSEN

Gegeben sei eine Menge M = { x1, x2, x3, x4} von Vektoren eines Vektorraums V .

Definieren Sie, was die folgenden Aussagen bzw. Begriffe bedeuten: (a) M ist linear unabhängig. (b) M ist eine Basis von V . (c) Die Dimension von

V ist 7. (d) Lineare Hülle von M.

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linear unabhängig: Man kann keinen Vektor aus m durch eine LinearKombination der Anderen darstellen. Bsp x1 kann nicht auch eine linearkombination aus x2,x3 und x4 dargestellt werden.


Basis: Durch linearkombinationen von Vektoren aus M lassen sich alle Vektoren in V darstellen.


Dimension: Die Vektoren in der Basis von V sind 7.


Lineare Hülle von M: sind alle Vektoren die durch Linearkombinationen von den Vektoren aus M dargestellt werden können.

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Welche Kriterien muss eine Gruppe/Untergruppe erfüllen?

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TESTE DEIN WISSEN
  • Abgeschlossenheit (-> Gruppoid)
  • Assoziativität (-> Halbgruppe)
  • Existenz eines neutralen Elements (-> Monoid)
  • Existenz der inversen Elemente (-> Gruppe)

erfüllt einer der Gruppen die Komutativität, so nennt diese kommutative ...

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Was versteh man unter einer (geschlossenen) Eulerschen/Hamiltonschen Linie?
Wann nennt man den Graphen Eulersch oder Hamiltonsch?

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Eine Kantenfolge heißt Eulerschelinie, wenn sie jeden Knoten und jede Kante enthält. Jede Kante darf nur exakt einmal vorkommen. Die Eulerschelinie ist geschlossen, wenn der Startpunkt gleich dem Endpunkt ist.


Eine Kantenfolge heißt Hamiltonschelinie wenn sie jeden Knoten genau einmal enthält(bis auf Start/End). Der Graph heißt Hamiltonscher Graph wenn er eine Hamiltonschelinie enthält. geschlossen wenn Start=End



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Was versteht man unter dem Handschlaglemma?

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TESTE DEIN WISSEN

Es gilt der Knotengrad aller Knoten = 2* die Anzahl der Kanten.

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Was ist: 

  • eine Kantenfolge?
  • ein Kantenzug?
  • ein Weg?
  • eine Bahn?
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Eine Folge von Kanten eines Graphens heißt Kantenfolge, sie verbindet 2 Knoten.


Ein Kantenzug ist eine Kantenfolge ohne doppel Kanten.


Ein Weg ist eine Kantenfolge in einem ungerichteten Graph, die nie durch den selben Knoten geht.

Eine Bahn ist eine Kantenfolge in einem gerichteten Graph, die nie durch den selben Knoten geht.

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Was versteht man unter linearer un/abhängigkeit?

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Eine Menge M von Vektoren heiß linear unabhängig wenn man keinen ihrer Vektoren durch eine linear Kombination der Anderen darstellen kann.

Wenn dies möglich ist heißt M linear abhängig

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Beispielhafte Karteikarten für deinen ADM Kurs an der Technische Universität Wien - von Kommilitonen auf StudySmarter erstellt!

Q:

Was versteht man unter einem Zyklus?
Wann heißt ein Graph zyklisch wann azyklisch?

A:

Wenn man bei einem gerichteten Graphen bei einem Punkt starten kann und wieder zu diesem zurückkehren kann.


Ein Graph heißt zyklisch wenn er mindestens einen Zyklus enthält und azyklisch wenn nicht.

Q:


Was versteht man unter einer binären Relation auf einer Menge?

A:

Eine Binärrelation auf die Menge A ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts AxA

Q:

Was versteht man unter einer Äquivalenzrelation auf M? Was versteht man unter einer Partition der Menge M? Wie hängen die beiden Begriffe zusammen?

A:

Äquivalenzrelation auf M ist eine binäre Relation auf M mit folgenden Eigenschaften:

  • Reflexivität aRa
  • Symmetrie aRb -> bRa
  • Transitivität (aRb ^ bRc) -> aRc

Die Partition ist eine nicht leere Menge von paarweisen disjunkten Teilmengen. Diese vereinigt, ergibt wieder die Ursprungsmenge.

Die durch die Äquivalenzrelationen erzeugten Äquivalenzklassen bilden eine Partition der Ursprungsmenge.

Q:

Was versteht man unter einem Baum/Wald?

Welche Regeln gelten (Festellung von Anzahl der Knoten)?

A:

Ein Baum ist ein schlichter ungerichteter, zusammenhängender Graph ohne Kreise. Ein Wald sind mehrere nicht zusammenhängende Bäume.

Baum:
#Knoten = #Kanten + 1

Wald:

#Knoten = #Kanten + #Bäume

Q:
Wie lauten die 5 Peano Axiome
A:
  • 0 ist eine N-Zahl
  • Jede N-Zahl hat genau einen Nachfolger
  • 0 ist nicht Nachfolger einer N-Zahl
  • Verschiedene N-Zahlen haben verschiedene N-Zahlen als Nachfolger
  • Jede Eigenschaft, welche 0 zukommt, und sich von jeder N-Zahl auf den Nachfolger überträgt, kommt bereits allen N-Zahlen zu.
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Q:

Wie lautet das Schubfachprinzip?

A:

Das Schubfachprinzip besagt, wenn n (= Anzahl der Elemente) > k (= Anzahl der Auswahl/Schubfach) dann muss ein k mindestens 2 Elemente enthalten.

Q:

Gegeben sei eine Menge M = { x1, x2, x3, x4} von Vektoren eines Vektorraums V .

Definieren Sie, was die folgenden Aussagen bzw. Begriffe bedeuten: (a) M ist linear unabhängig. (b) M ist eine Basis von V . (c) Die Dimension von

V ist 7. (d) Lineare Hülle von M.

A:

linear unabhängig: Man kann keinen Vektor aus m durch eine LinearKombination der Anderen darstellen. Bsp x1 kann nicht auch eine linearkombination aus x2,x3 und x4 dargestellt werden.


Basis: Durch linearkombinationen von Vektoren aus M lassen sich alle Vektoren in V darstellen.


Dimension: Die Vektoren in der Basis von V sind 7.


Lineare Hülle von M: sind alle Vektoren die durch Linearkombinationen von den Vektoren aus M dargestellt werden können.

Q:

Welche Kriterien muss eine Gruppe/Untergruppe erfüllen?

A:
  • Abgeschlossenheit (-> Gruppoid)
  • Assoziativität (-> Halbgruppe)
  • Existenz eines neutralen Elements (-> Monoid)
  • Existenz der inversen Elemente (-> Gruppe)

erfüllt einer der Gruppen die Komutativität, so nennt diese kommutative ...

Q:

Was versteh man unter einer (geschlossenen) Eulerschen/Hamiltonschen Linie?
Wann nennt man den Graphen Eulersch oder Hamiltonsch?

A:

Eine Kantenfolge heißt Eulerschelinie, wenn sie jeden Knoten und jede Kante enthält. Jede Kante darf nur exakt einmal vorkommen. Die Eulerschelinie ist geschlossen, wenn der Startpunkt gleich dem Endpunkt ist.


Eine Kantenfolge heißt Hamiltonschelinie wenn sie jeden Knoten genau einmal enthält(bis auf Start/End). Der Graph heißt Hamiltonscher Graph wenn er eine Hamiltonschelinie enthält. geschlossen wenn Start=End



Q:

Was versteht man unter dem Handschlaglemma?

A:

Es gilt der Knotengrad aller Knoten = 2* die Anzahl der Kanten.

Q:

Was ist: 

  • eine Kantenfolge?
  • ein Kantenzug?
  • ein Weg?
  • eine Bahn?
A:

Eine Folge von Kanten eines Graphens heißt Kantenfolge, sie verbindet 2 Knoten.


Ein Kantenzug ist eine Kantenfolge ohne doppel Kanten.


Ein Weg ist eine Kantenfolge in einem ungerichteten Graph, die nie durch den selben Knoten geht.

Eine Bahn ist eine Kantenfolge in einem gerichteten Graph, die nie durch den selben Knoten geht.

Q:

Was versteht man unter linearer un/abhängigkeit?

A:

Eine Menge M von Vektoren heiß linear unabhängig wenn man keinen ihrer Vektoren durch eine linear Kombination der Anderen darstellen kann.

Wenn dies möglich ist heißt M linear abhängig

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