Optimierung an der Technische Universität Graz

Karteikarten und Zusammenfassungen für Optimierung an der Technische Universität Graz

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Beispielhafte Karteikarten für Optimierung an der Technische Universität Graz auf StudySmarter:

Was ist min f(x) über U?

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Was ist arg min f(x) über U?

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Wie kann max f(x) über U mit min f(x) dargestellt werden?

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Wie lautet die Standardform eines Linearen Programmes?

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Kann ich jedes lineare Programm in Standardform schreiben?

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Wie reduziere ich eine Matrix, deren Rang kleiner ist als die max Dimenson, sodass ich trotzdem mein x mit der richtigen Dimension finden kann? Wie kann ich dies beweisen?

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Wie löse ich ein einfaches Optimierungsproblem?

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Was sind Schlupf- bzw. Überschussvariablen?

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Wie kann ich die Dimension meines x reduzieren?

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Wie kann ich ein Standard Minimierungsproblem mit der Bedingung 0<=x1<=x2<=...<=xn ?

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Was gilt wenn A aus R^(mxn), b aus R^m, aber k=rang(A)?

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Wie viele Basisvariablen kann ein Minimierungsproblem haben?

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Beispielhafte Karteikarten für Optimierung an der Technische Universität Graz auf StudySmarter:

Optimierung

Was ist min f(x) über U?

Dies ist das Minimum der Funktion f bzw. der minimale Funktionswert der Funktion f.

Optimierung

Was ist arg min f(x) über U?

Dies ist die Stelle/das Argument an/ wo die Funktion ihr Minimum an nimmt.

Optimierung

Wie kann max f(x) über U mit min f(x) dargestellt werden?

max f(x)= - min -f(x)

Optimierung

Wie lautet die Standardform eines Linearen Programmes?

min c*x über den n-dimensonalen Spaltenvektorraum (x) s.d. A*x=b und x>=0

Optimierung

Kann ich jedes lineare Programm in Standardform schreiben?

Ja.

Optimierung

Wie reduziere ich eine Matrix, deren Rang kleiner ist als die max Dimenson, sodass ich trotzdem mein x mit der richtigen Dimension finden kann? Wie kann ich dies beweisen?

Frau findet eine Zeile c die abhängig von den anderen Zeilen ist und "löscht" diese aus der Matrix A um die Matrix B zu erhalten. Auch im Vektor b muss der entsprechende Eintrag d "gelöscht" werden.

Nun gilt: Ax=b <=> Bx=y


=> Gilt da alle Gleichungen bis auf eine erhalten bleiben

<= n-1 Gleichungen müssen bereits stimmen, nun fehlt aber noch die, die vorher "gelöscht" wurde. Nun benötigen wir den Fakt, dass diese Zeile abhängig von den restlichen Zeilen ist. d.h. z.z. c*x=d. Ich "berechne" mit Hilfe der Zeilen meine x Einträge (nur symbolisch) und ersetze diese in der Gleichung c*x=d. Nun sollte eine wahre Aussage herraus kommen.

Optimierung

Wie löse ich ein einfaches Optimierungsproblem?

Mit einer Zeichnung: Und zwar werden die Bedingungen als Lineare Funktion gezeichnet, dies bedeutet a1*x1+a2*x2<=b wird gezeichnet. Am Besten funktioniert dies, indem zuerst die nullstellen berechnet, dann eingezeichnet und verbunden werden. Da x>=0 sein muss, wird ein Bereich zwischen x- und y-Achse und dieser Linie abgegrenzt dies kennzeichnet den zulässigen Bereich. 

Nun stelle ich eine Menge auf, die alle x aus R^2 enthält für die gilt: c*x=alpha (alpha aus R). Diese Menge wird so verschoben, dass sie die zulässige Menge optimal schneidet. Dies passiert an den Extremalpunkten. Das größere Alpha "gewinnt".

Optimierung

Was sind Schlupf- bzw. Überschussvariablen?

Mit Hilfe dieser Variablen können Ungleichungen in Gleichungen verwandelt werden.

z.B. x+y<=5 ==> x+y+z=5 z ist eine Schlupfvariable

       x+y>5 ==> x+y-z=5 z ist eine Überschussvariable

Optimierung

Wie kann ich die Dimension meines x reduzieren?

Ich muss einen Weg finden 2 oder mehr Variablen durch eine darzustellen. Meist funktioniert dies sehr gut, wenn ich mir eine Variable aussuche und diese bei allen Bedingungen auf eine Seite bringe (Die bedingungen müssen aus Gleichungen bestehen!) und diese bei anderen Gleichungen einsetze bzw. mit ihnen gleichsetze. Achtung! So verliere ich aber eine Gleichung! Nun wird umgeformt bis ich auf einer Seite, eine Zahl und der anderen die restlichen Variablen habe.

Optimierung

Wie kann ich ein Standard Minimierungsproblem mit der Bedingung 0<=x1<=x2<=...<=xn ?

Ich betrachte zuerst immer eine Ungleichung: xi<=x(i+1)

und forme sie so um, dass man den folgenden Ausdruck erhält: xi=x(i-1)-z(i-1)

Nun gibt es 2 Varianten:

1.) Ich betrachte immer nur diese Ausdrücke leicht verändert (x1-x(i-1)+z(i-1) ) und bekomme so eine Matrix  mit 1  -1  0 ...    0 und daneben eine negative Einheitsmatrix

2.) Ich ersetze schrittweise meine x Einträge mit der Darstellung davor sodass nur x1 und die Schlupfvariablen übrig bleiben, sodass ich auf folgendes Ergebnis komme:

x1

x1+u1

x1+u1+u2 

...

                             0   1 -1 0 ...0

Optimierung

Was gilt wenn A aus R^(mxn), b aus R^m, aber k=rang(A)?

Falls m<k hat Ax=b keine Lösung oder es existiert ein B aus R^(kxn) und y aus R^k mit Ax=b <==> Bx=y.

Optimierung

Wie viele Basisvariablen kann ein Minimierungsproblem haben?

m

Also die Anzahl der Zeilen

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