Lineare Algebra an der Technische Universität Graz

Ist eine Abbildung vom V^n (n-dimensionalen Vektorraum V) über IK in IK mit folgenden Eigenschaften:

• Homogenität: faktoren können aus Abbildung herausgezoge werden
• Additivität der Multilinearität: Δ(a1, ..., ak+ak', .., an)=Δ(a1, ..., ak, .., an) +Δ (a1, ..., ak', .., an) 
• falls l=~k esistieren sodass al=ak dann ist Δ (a1,  .., an) =0

Eine Permutation ist eine bijektive Abbildung in sich selbst. d.h. π : {1, ..., n}  ---> {1, ..., n}

Die Menge S_n, die Mange all dieser Permutationen auf {1, ..., n},  wird gemeinsam mit der Hintereinanderausführung von Funktionen symmetrische Gruppe genannt.

Ein Zyklus ist ein Tupel von Indizes (i1 i2 i3 ... ik) für die gilt π (i1)=i2 π (i2)=i3 ... π (ik)=i1

k wird als Länge des Zykluses bezeichnet.

Sei eine Permutation π aus der Symmetrischen Gruppe gegeben:

Ein Fehlstand ist ein Paar i,j i<j sodass j-i und π (j)-π (i) verschiedene Vorzeichen haben.

Die natürliche ordnung wird durch Fehlstände gestört.

Durch die Anzahl der Fehlstände kann das Vorzeichen der Permutation definiert werden: (-1)^#Fehlstände = sign( π )

Damit Fehlstände nicht doppelt gezählt werden, wird i<j gefordert.

S_IN ist die Menge aller Permutationen auf den natürlichen Zahlen IN, für die ein n existiert, sodass für alle i>n gilt π (i)=i

Nun kann S_n als Menge aller Elemente aus S_IN, für die gilt: für alle i>n π (i)=i

z.B.: S_2 ist nun die Menge aller Permutation wo ab Index 3 alle nachfolgendn Werte fixiert sind.

==> S_2 ist Teilmenge von S_3 ist Teilmenge von S_4 ... Teilmenge von S_n ist Teilmenge von S_IN

Eine Transposition ist eine Permutation, die nur aus einem Zyklus der Länge 2 besteht. Alle restlichen Indizes bilden auf sich selbst ab! 

τ_l,k wobei l und k die zwei vertauschten Zahlen sind

Eine Transposition ^2 entspricht der Idetität.

Das Inverse einer Transposition ist die Transposition selbst.

Nun kann jede Permutation aus Verknüpfung von Transpositionen geschrieben werden. (Beweis!)

Gerade Permutation: kann in eine gerade Anzahl von Transposition zerlegt werden bzw. hat eine gerade Anzahl an Fehlständen bzw. sign(π )=1

Ungerade Permutation: kann in eine ungerade Anzahl von Transposition zerlegt werden bzw. hat eine ungerade Anzahl an Fehlständen bzw. sign(π )=-1

sign_IK(pi)=  1_IK für π gerade und  -1_IK für π ungerade 

linearität in jeder Variable

• Δ (a1, ..., Lamda*ai+aj, ..., an)=Δ (a1, ...,aj, ..., an) wobei Lamda*ai+aj an jter Stelle und i=~j d.h. ai ist eine bereits vorhandene Variable
• Für alle Elemente π  aus S_n gilt: Δ (a_π (1), ... , a_π (n))=sign(π )*Δ (a1, ... , an)

Sei b={b1, ..., bn} nummerierte Basis von V und a1, ..., aus V Spalten- Koordinatenvektoren. 

Φ _B(aj)=( a_1j  ... a_nj)^T aus IK_n

A=(a_i j)_i, j=1, ..., n

Für jede Determinantenform Δ : V^n ---> IK gilt:

Δ (a1, ..., an)=det(A)*Δ (b1, ..., bn) wobei 

det(A)=[Summe von allen π  aus S_n über sign_IK(π )*a_π (1) 1*a_π (2)*2 ... a_π (n)n ] aus IK die Determinante von A ist.

Diese Formel wird Leibniz Formel genannt.

Die Determinantenform hängt von Δ (b1, ..., bn) ab und ist nicht trivial (nicht ident 0_IK)

Sei Δ Eine Determinantenform. a1, ..., an aus V

a1, ..., an linear unabhängig genau dann wenn Determinantenform ungleich Null

Seien V,W Vekrorräume über IK und dimension von beiden VR ist n.

Δ : W --->IK sei Determinantenform und g: V --->W lineare Abbildung

Definiere: Δ ^g(a1, ..., an):=Δ (g(a1), ..., g(an) )

Dies ist eine Determinantenform auf V.

nun existiert ein c aus IK sodass für alle Determinantenformen Δ  auf V gilt: Δ ^g=c*Δ  mit c:=det(g)