Lineare Algebra an der Technische Universität Graz

Karteikarten und Zusammenfassungen für Lineare Algebra an der Technische Universität Graz

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Was ist eine Determinantenform?

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Was ist eine Permutation und was ist in diesem Zusammenhang S_n?

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Was sind Zyklen?

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Was ist ein Fehlstand?

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Was ist S_natürliche Zahlen (ich schreibe absofort S_IN)? Erstelle einen Zusammenhang zu S_n!

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Was ist eine Transposition?

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Wann ist die Permutation pi ungerade bzw. gerade?

Was ist wenn wenn wir uns im Körper K mit Einselement 1_IK bewegen?

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Was bedeutet Multilinearität?

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Was sind 2 Eigenschaften von einer Determinantenform Δ ?

Beweis!

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Erkläre den Zusammenhang zwischen Determinatenformen und eine Basis von V!

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Was gilt für nicht triviale Determinantenformen?

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Definiere eine Determinante "graphisch"!

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Lineare Algebra

Was ist eine Determinantenform?

Ist eine Abbildung vom V^n (n-dimensionalen Vektorraum V) über IK in IK mit folgenden Eigenschaften:

  • Homogenität: faktoren können aus Abbildung herausgezoge werden
  • Additivität der Multilinearität: Δ(a1, ..., ak+ak', .., an)=Δ(a1, ..., ak, .., an) +Δ (a1, ..., ak', .., an) 
  • falls l=~k esistieren sodass al=ak dann ist Δ (a1,  .., an) =0

Lineare Algebra

Was ist eine Permutation und was ist in diesem Zusammenhang S_n?

Eine Permutation ist eine bijektive Abbildung in sich selbst. d.h. π : {1, ..., n}  ---> {1, ..., n}

Die Menge S_n, die Mange all dieser Permutationen auf {1, ..., n},  wird gemeinsam mit der Hintereinanderausführung von Funktionen symmetrische Gruppe genannt.

Lineare Algebra

Was sind Zyklen?

Ein Zyklus ist ein Tupel von Indizes (i1 i2 i3 ... ik) für die gilt π (i1)=i2 π (i2)=i3 ... π (ik)=i1

k wird als Länge des Zykluses bezeichnet.

Lineare Algebra

Was ist ein Fehlstand?

Sei eine Permutation π aus der Symmetrischen Gruppe gegeben:

Ein Fehlstand ist ein Paar i,j i<j sodass j-i und π (j)-π (i) verschiedene Vorzeichen haben.


Die natürliche ordnung wird durch Fehlstände gestört.

Durch die Anzahl der Fehlstände kann das Vorzeichen der Permutation definiert werden: (-1)^#Fehlstände = sign( π )


Damit Fehlstände nicht doppelt gezählt werden, wird i<j gefordert.

Lineare Algebra

Was ist S_natürliche Zahlen (ich schreibe absofort S_IN)? Erstelle einen Zusammenhang zu S_n!

S_IN ist die Menge aller Permutationen auf den natürlichen Zahlen IN, für die ein n existiert, sodass für alle i>n gilt π (i)=i

Nun kann S_n als Menge aller Elemente aus S_IN, für die gilt: für alle i>n π (i)=i


z.B.: S_2 ist nun die Menge aller Permutation wo ab Index 3 alle nachfolgendn Werte fixiert sind.


==> S_2 ist Teilmenge von S_3 ist Teilmenge von S_4 ... Teilmenge von S_n ist Teilmenge von S_IN

Lineare Algebra

Was ist eine Transposition?

Eine Transposition ist eine Permutation, die nur aus einem Zyklus der Länge 2 besteht. Alle restlichen Indizes bilden auf sich selbst ab! 

τ_l,k wobei l und k die zwei vertauschten Zahlen sind


Eine Transposition ^2 entspricht der Idetität.

Das Inverse einer Transposition ist die Transposition selbst.


Nun kann jede Permutation aus Verknüpfung von Transpositionen geschrieben werden. (Beweis!)

Lineare Algebra

Wann ist die Permutation pi ungerade bzw. gerade?

Was ist wenn wenn wir uns im Körper K mit Einselement 1_IK bewegen?

Gerade Permutation: kann in eine gerade Anzahl von Transposition zerlegt werden bzw. hat eine gerade Anzahl an Fehlständen bzw. sign(π )=1


Ungerade Permutation: kann in eine ungerade Anzahl von Transposition zerlegt werden bzw. hat eine ungerade Anzahl an Fehlständen bzw. sign(π )=-1


sign_IK(pi)=  1_IK für π gerade und  -1_IK für π ungerade 

Lineare Algebra

Was bedeutet Multilinearität?

linearität in jeder Variable

Lineare Algebra

Was sind 2 Eigenschaften von einer Determinantenform Δ ?

Beweis!

  • Δ (a1, ..., Lamda*ai+aj, ..., an)=Δ (a1, ...,aj, ..., an) wobei Lamda*ai+aj an jter Stelle und i=~j d.h. ai ist eine bereits vorhandene Variable
  • Für alle Elemente π  aus S_n gilt: Δ (a_π (1), ... , a_π (n))=sign(π )*Δ (a1, ... , an)

Lineare Algebra

Erkläre den Zusammenhang zwischen Determinatenformen und eine Basis von V!

Sei b={b1, ..., bn} nummerierte Basis von V und a1, ..., aus V Spalten- Koordinatenvektoren. 

Φ _B(aj)=( a_1j  ... a_nj)^T aus IK_n

A=(a_i j)_i, j=1, ..., n


Für jede Determinantenform Δ : V^n ---> IK gilt:

Δ (a1, ..., an)=det(A)*Δ (b1, ..., bn) wobei 

det(A)=[Summe von allen π  aus S_n über sign_IK(π )*a_π (1) 1*a_π (2)*2 ... a_π (n)n ] aus IK die Determinante von A ist.


Diese Formel wird Leibniz Formel genannt.


Die Determinantenform hängt von Δ (b1, ..., bn) ab und ist nicht trivial (nicht ident 0_IK)

Lineare Algebra

Was gilt für nicht triviale Determinantenformen?

Sei Δ Eine Determinantenform. a1, ..., an aus V


a1, ..., an linear unabhängig genau dann wenn Determinantenform ungleich Null

Lineare Algebra

Definiere eine Determinante "graphisch"!

Angenommen ich habe zwei von einander linear u.a. Vektoren a und b. Nun will ich mir den Inhalt des Trapezes, dass von beiden Vektoren aufgespannt wird, berechnen. Dafür multipliziere ich die Norm von a mit der Norm vom Vektor der orthogonal au meinen Höhenvektor steht .... dies ist determinante.

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