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Lineare Algebra
Was ist eine Determinantenform?
Ist eine Abbildung vom V^n (n-dimensionalen Vektorraum V) über IK in IK mit folgenden Eigenschaften:
Lineare Algebra
Was ist eine Permutation und was ist in diesem Zusammenhang S_n?
Eine Permutation ist eine bijektive Abbildung in sich selbst. d.h. π : {1, ..., n} ---> {1, ..., n}
Die Menge S_n, die Mange all dieser Permutationen auf {1, ..., n}, wird gemeinsam mit der Hintereinanderausführung von Funktionen symmetrische Gruppe genannt.
Lineare Algebra
Was sind Zyklen?
Ein Zyklus ist ein Tupel von Indizes (i1 i2 i3 ... ik) für die gilt π (i1)=i2 π (i2)=i3 ... π (ik)=i1
k wird als Länge des Zykluses bezeichnet.
Lineare Algebra
Was ist ein Fehlstand?
Sei eine Permutation π aus der Symmetrischen Gruppe gegeben:
Ein Fehlstand ist ein Paar i,j i<j sodass j-i und π (j)-π (i) verschiedene Vorzeichen haben.
Die natürliche ordnung wird durch Fehlstände gestört.
Durch die Anzahl der Fehlstände kann das Vorzeichen der Permutation definiert werden: (-1)^#Fehlstände = sign( π )
Damit Fehlstände nicht doppelt gezählt werden, wird i<j gefordert.
Lineare Algebra
Was ist S_natürliche Zahlen (ich schreibe absofort S_IN)? Erstelle einen Zusammenhang zu S_n!
S_IN ist die Menge aller Permutationen auf den natürlichen Zahlen IN, für die ein n existiert, sodass für alle i>n gilt π (i)=i
Nun kann S_n als Menge aller Elemente aus S_IN, für die gilt: für alle i>n π (i)=i
z.B.: S_2 ist nun die Menge aller Permutation wo ab Index 3 alle nachfolgendn Werte fixiert sind.
==> S_2 ist Teilmenge von S_3 ist Teilmenge von S_4 ... Teilmenge von S_n ist Teilmenge von S_IN
Lineare Algebra
Was ist eine Transposition?
Eine Transposition ist eine Permutation, die nur aus einem Zyklus der Länge 2 besteht. Alle restlichen Indizes bilden auf sich selbst ab!
τ_l,k wobei l und k die zwei vertauschten Zahlen sind
Eine Transposition ^2 entspricht der Idetität.
Das Inverse einer Transposition ist die Transposition selbst.
Nun kann jede Permutation aus Verknüpfung von Transpositionen geschrieben werden. (Beweis!)
Lineare Algebra
Wann ist die Permutation pi ungerade bzw. gerade?
Was ist wenn wenn wir uns im Körper K mit Einselement 1_IK bewegen?
Gerade Permutation: kann in eine gerade Anzahl von Transposition zerlegt werden bzw. hat eine gerade Anzahl an Fehlständen bzw. sign(π )=1
Ungerade Permutation: kann in eine ungerade Anzahl von Transposition zerlegt werden bzw. hat eine ungerade Anzahl an Fehlständen bzw. sign(π )=-1
sign_IK(pi)= 1_IK für π gerade und -1_IK für π ungerade
Lineare Algebra
Was bedeutet Multilinearität?
linearität in jeder Variable
Lineare Algebra
Was sind 2 Eigenschaften von einer Determinantenform Δ ?
Beweis!
Lineare Algebra
Erkläre den Zusammenhang zwischen Determinatenformen und eine Basis von V!
Sei b={b1, ..., bn} nummerierte Basis von V und a1, ..., aus V Spalten- Koordinatenvektoren.
Φ _B(aj)=( a_1j ... a_nj)^T aus IK_n
A=(a_i j)_i, j=1, ..., n
Für jede Determinantenform Δ : V^n ---> IK gilt:
Δ (a1, ..., an)=det(A)*Δ (b1, ..., bn) wobei
det(A)=[Summe von allen π aus S_n über sign_IK(π )*a_π (1) 1*a_π (2)*2 ... a_π (n)n ] aus IK die Determinante von A ist.
Diese Formel wird Leibniz Formel genannt.
Die Determinantenform hängt von Δ (b1, ..., bn) ab und ist nicht trivial (nicht ident 0_IK)
Lineare Algebra
Was gilt für nicht triviale Determinantenformen?
Sei Δ Eine Determinantenform. a1, ..., an aus V
a1, ..., an linear unabhängig genau dann wenn Determinantenform ungleich Null
Lineare Algebra
Wie kann man Determinantenformen und lineare Abbildungen in Zusammenhang bringen?
Seien V,W Vekrorräume über IK und dimension von beiden VR ist n.
Δ : W --->IK sei Determinantenform und g: V --->W lineare Abbildung
Definiere: Δ ^g(a1, ..., an):=Δ (g(a1), ..., g(an) )
Dies ist eine Determinantenform auf V.
nun existiert ein c aus IK sodass für alle Determinantenformen Δ auf V gilt: Δ ^g=c*Δ mit c:=det(g)
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