Einführung in die Algebra an der Technische Universität Graz

Eine Verknüpfung auch genannt binäre Operation auf M ist eine Abbildung die das kartesische Produkt von M und M, dass auf M abbildet. 

Das Tupel (x,y) besteht aus 1. und 2. Operand und ergibt das Verknüpfungsergebnis f(x,y).

Für die Operation f wird ein Operationssymbol verwendet und mit diesem wird der Ausdruck in Infix Notation geschrieben. 

Ein Verknüpfungsgebilde (auch Magma, Gruppoid oder Menge mit Verknüpfung) ist ein Tupel, das aus einer nicht leeren Menge M besteht und einer Verknüpfung auf dieser Menge M.

* Verknüpfung auf M, 2 nichtleeren Teilmengen N und N'

N*N'={x*y| x aus N und y aus N'}

für alle x,y und z aus M gilt:

asso.: (x*y)*z=x*(y*z)

komm.: x*y=y*x

Ein Verknüpfungsgebilde (M,*) mit der assoziativen Verknüpfung *

Das neutrale Element:   

für alle x aus M gilt

• linksneutral e*x=x
• rechtsneutral x*e=x
• neutral: linksneutral sowie rechtsneutral

Ein Monoid (auch Halbgruppe mit neutralem Element) ist ein Verknüpfungsgebilde mit assoziativer Verknüpfung * und einem neutralem Element bzgl. *.

a' ist linksinvers zu a wenn a'*a=e

a' ist rechtsinvers zu a wenn a*a'=e

a' ist invers zu a wenn sowohl linksinvers als auch rechtsinvers

Wenn ein inverses element a' existiert

M^x=(M,*)^x={a aus M: a ist invertierbar bzgl. *}

Wichtig: das neutrale Element ist in dieser Menge enthalten

a) e1=e1*e2=e2 da e1 linksneutral

Gleicher Beweis für Eindeutigkeit

b) x'=x'*e=x'*(x*x'')=(x'*x)*x''=e*x''=x'' 

Gleicher Beweis für Eindeutigkeit

c) z.z. M^x*M^x ist Teilmenge von M^x d.h z.z. x*y ist aus M^x d.h. z.z. y'*x' ist Inverses

(x*y)*(y'*x')=x*(y*(y'*x'))=x*((y*y')*x') =...=e  => rechtsinvers

(y'*x')*(x*y)=((y'*x')*x)*y')=(y'*(x'*x))*y =...=e => linksinvers

=> invers

a) I.V.: Eine beliebige Reihenfolge der Operationen kan ich in die ursprüngliche Form zurückführen

I. A.: n=2 nur eine Möglichkeit n=3 Assoziativgesetz

I. S.: (n-1) -> n

Suche mir Index j sodass ich ersten Operanden der ersten operation finde und ersetze diese erste Operation mit b. Nun habe ich nur mehr n-1 Operationen durchzuführen, deshalb kann ich die Induktionsvorraussetzung anwenden. Nun ist alles in der richtigen Reihenfolge bis auf b. Hier wende ich das Assoziativgesetz an und voila fertig.

b) I. V.: Jede beliebige Reihenfolge der Operanden kann ich auf das Original zurückführen.

I.A.: n=2 kommutativgesetz

I.S.: (n-1) ->n

Betrachte beliebige Permutation sigma und suche Index j sodass sigma(j)=n. Fasse die Werte davor auf A zusammen und dahinter auf B. Nun wende ich kommutativgesetz auf a_n und B an. Nun habe ich n-1 Operanden bei A*B und kann I.V. anwenden voila fertig.