Einführung in die Algebra an der Technische Universität Graz

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Was ist eine Verknüpfung?

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Was ist ein Verknüpfungsgebilde?

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Wie wird N*N' definiert?

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Was bedeutet assoziativ und kommutativ?

(M,*) Verknüpfungsgebilde

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Was ist eine Halbguppe?

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Welches Element wir meist mit e bezeichnet?

(M,*) Verknüpfungsgebilde

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Was ist ein Monoid?

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Was ist das Inverse Element?

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Wann ist a invertierbar?

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Wie wird die Menge aller invertierbaren Elemente bezeichnet und definiert?

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Lemma 1: (M, *) ist Verknüpfungsgebilde)

a) es existiert ein linksneutrales Elment e1 und ein rechtsneutrales element e2. Zeige diese zwei müssen gleich sein und ein neutrales element bzgl. * muss eindeutig sein.

b) (M,*) ist Monoid .Gleiche angabe für Inverses Element.

c)(M,*) ist Monoid. Zeige M^x ist abgeschlossen bzgl. * und y'*x' ist Inverses zu x*y.

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Lemma 2:

a) Beweise das Allgemeine Assoziativgesetz via Induktion: Die Reihenfolge der Operationen spielt keine Rolle bzw. die Klammerung ist irrelevant

b)Beweise das Allgemeine Kommutativgesetz via Induktion: Die Reihenfolge der Operanden spielt keine Rolle bzw. für jede Permuation der Indices erhalte ich den gleichen Wert.

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Einführung in die Algebra

Was ist eine Verknüpfung?

Eine Verknüpfung auch genannt binäre Operation auf M ist eine Abbildung die das kartesische Produkt von M und M, dass auf M abbildet. 


Das Tupel (x,y) besteht aus 1. und 2. Operand und ergibt das Verknüpfungsergebnis f(x,y).

Für die Operation f wird ein Operationssymbol verwendet und mit diesem wird der Ausdruck in Infix Notation geschrieben. 

Einführung in die Algebra

Was ist ein Verknüpfungsgebilde?

Ein Verknüpfungsgebilde (auch Magma, Gruppoid oder Menge mit Verknüpfung) ist ein Tupel, das aus einer nicht leeren Menge M besteht und einer Verknüpfung auf dieser Menge M.

Einführung in die Algebra

Wie wird N*N' definiert?

* Verknüpfung auf M, 2 nichtleeren Teilmengen N und N'


N*N'={x*y| x aus N und y aus N'}

Einführung in die Algebra

Was bedeutet assoziativ und kommutativ?

(M,*) Verknüpfungsgebilde

für alle x,y und z aus M gilt:

asso.: (x*y)*z=x*(y*z)

komm.: x*y=y*x

Einführung in die Algebra

Was ist eine Halbguppe?

Ein Verknüpfungsgebilde (M,*) mit der assoziativen Verknüpfung *

Einführung in die Algebra

Welches Element wir meist mit e bezeichnet?

(M,*) Verknüpfungsgebilde

Das neutrale Element:   

für alle x aus M gilt

  • linksneutral e*x=x
  • rechtsneutral x*e=x
  • neutral: linksneutral sowie rechtsneutral

Einführung in die Algebra

Was ist ein Monoid?

Ein Monoid (auch Halbgruppe mit neutralem Element) ist ein Verknüpfungsgebilde mit assoziativer Verknüpfung * und einem neutralem Element bzgl. *.

Einführung in die Algebra

Was ist das Inverse Element?

(M,*) Verknüpfungsgebilde

a' ist linksinvers zu a wenn a'*a=e

a' ist rechtsinvers zu a wenn a*a'=e

a' ist invers zu a wenn sowohl linksinvers als auch rechtsinvers

Einführung in die Algebra

Wann ist a invertierbar?

Wenn ein inverses element a' existiert

Einführung in die Algebra

Wie wird die Menge aller invertierbaren Elemente bezeichnet und definiert?

M^x=(M,*)^x={a aus M: a ist invertierbar bzgl. *}


Wichtig: das neutrale Element ist in dieser Menge enthalten

Einführung in die Algebra

Lemma 1: (M, *) ist Verknüpfungsgebilde)

a) es existiert ein linksneutrales Elment e1 und ein rechtsneutrales element e2. Zeige diese zwei müssen gleich sein und ein neutrales element bzgl. * muss eindeutig sein.

b) (M,*) ist Monoid .Gleiche angabe für Inverses Element.

c)(M,*) ist Monoid. Zeige M^x ist abgeschlossen bzgl. * und y'*x' ist Inverses zu x*y.

a) e1=e1*e2=e2 da e1 linksneutral

Gleicher Beweis für Eindeutigkeit

b) x'=x'*e=x'*(x*x'')=(x'*x)*x''=e*x''=x'' 

Gleicher Beweis für Eindeutigkeit

c) z.z. M^x*M^x ist Teilmenge von M^x d.h z.z. x*y ist aus M^x d.h. z.z. y'*x' ist Inverses

(x*y)*(y'*x')=x*(y*(y'*x'))=x*((y*y')*x') =...=e  => rechtsinvers

(y'*x')*(x*y)=((y'*x')*x)*y')=(y'*(x'*x))*y =...=e => linksinvers

=> invers

Einführung in die Algebra

Lemma 2:

a) Beweise das Allgemeine Assoziativgesetz via Induktion: Die Reihenfolge der Operationen spielt keine Rolle bzw. die Klammerung ist irrelevant

b)Beweise das Allgemeine Kommutativgesetz via Induktion: Die Reihenfolge der Operanden spielt keine Rolle bzw. für jede Permuation der Indices erhalte ich den gleichen Wert.

a) I.V.: Eine beliebige Reihenfolge der Operationen kan ich in die ursprüngliche Form zurückführen

I. A.: n=2 nur eine Möglichkeit n=3 Assoziativgesetz

I. S.: (n-1) -> n

Suche mir Index j sodass ich ersten Operanden der ersten operation finde und ersetze diese erste Operation mit b. Nun habe ich nur mehr n-1 Operationen durchzuführen, deshalb kann ich die Induktionsvorraussetzung anwenden. Nun ist alles in der richtigen Reihenfolge bis auf b. Hier wende ich das Assoziativgesetz an und voila fertig.

b) I. V.: Jede beliebige Reihenfolge der Operanden kann ich auf das Original zurückführen.

I.A.: n=2 kommutativgesetz

I.S.: (n-1) ->n

Betrachte beliebige Permutation sigma und suche Index j sodass sigma(j)=n. Fasse die Werte davor auf A zusammen und dahinter auf B. Nun wende ich kommutativgesetz auf a_n und B an. Nun habe ich n-1 Operanden bei A*B und kann I.V. anwenden voila fertig. 

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