Mathematik an der RWTH Aachen

Karteikarten und Zusammenfassungen für Mathematik an der RWTH Aachen

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Beispielhafte Karteikarten für Mathematik an der RWTH Aachen auf StudySmarter:

Wie beweist man die Dreieckungleichung |z+w|≤|z|+|w| für komplexe Zahlen?

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Wie löst man ln(a+ib)?

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z=10(cos(π /3)-isin(π/3))

in Exponentialform...

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Was ergibt (3i)*?

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Wie zeigt man, dass |z·w|=|z|·|w|?

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Was sind die wichtigsten Rechenregeln bzgl. des Betrags für komplexe Zahlen?

Beispielhafte Karteikarten für Mathematik an der RWTH Aachen auf StudySmarter:

Warum lässt sich der Körper der komplexen Zahlen nicht (wie die reellen Zahlen) anordnen?

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Wie löst man ((1+z)/(1-z))²=1 , wenn z eine komplexe Zahl ist?

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Was funktioniert in ℂ, was in ℝ bewiesen wurde?

Beispielhafte Karteikarten für Mathematik an der RWTH Aachen auf StudySmarter:

Was sind die wichtigsten Rechenregeln bzgl. der komplexen Konjugation?

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Wie beweist man für z∈ℂ, dass z·z*=|z| ?

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Wie zeigt man (z·w)*=z*·w* bzw. (z+w)*=z*+w* für z,w∈ℂ?

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Beispielhafte Karteikarten für Mathematik an der RWTH Aachen auf StudySmarter:

Mathematik

Wie beweist man die Dreieckungleichung |z+w|≤|z|+|w| für komplexe Zahlen?
Aufwendig mit |z+w|=|(a+x)+i(b+y)|=√((a+x)²+(b+y)²) und das gleichsetzen mit |z|+|w|.

Mathematik

Wie löst man ln(a+ib)?
In Exponentialform umformen.

Mathematik

z=10(cos(π /3)-isin(π/3))

in Exponentialform...
Beachte, dass ein Minus dort steht. Normalerweise sollte es +isin(pi/3)) heißen.

Lösung:

Der Sinus ist punktsymmetrisch, d. h., es gilt f(-x)=-f(x).

-isin(pi/3)=+isin(-pi/3)

Dann ist aber das Problem, dass wir cos(pi/3) und sin(-pi/3) haben. Aber der Kosinus ist achsensymmetrisch, also gilt f(-x)=f(x), also cos(pi/3)=cos(-pi/3)

Mathematik

Was ergibt (3i)*?
-3i

Mathematik

Wie zeigt man, dass |z·w|=|z|·|w|?
Am schnellsten und schönsten:

|zw|^2=zw·(zw)*=zz*·ww*=|z|^2·|w|^2 ⇔ |z·w|=|z|·|w|

Ansonsten z:=a+ib und w:=x+iy

Mathematik

Was sind die wichtigsten Rechenregeln bzgl. des Betrags für komplexe Zahlen?
Für z,w∈ℂ, gilt:

|z|^2=z·z*  

|z·w|=|z|·|w|

|Re z|≤ |z| und |Im z|≤|z|  (folgt aus Definition)

|z+w|≤|z|+|w| (Dreiecksungleichung)

Mathematik

Warum lässt sich der Körper der komplexen Zahlen nicht (wie die reellen Zahlen) anordnen?
In einem angeordneten Körper gilt für ein Element a≠0 stets a²>0. Wegen i²=-1<0 und i≠0 gilt dies in ℂ nicht, und daher kann ℂ nicht angeordnet sein.

Mathematik

Wie löst man ((1+z)/(1-z))²=1 , wenn z eine komplexe Zahl ist?
Aufgaben dieser Art können meist wie normale Gleichungen in den reellen Zahlen behandelt werden (wegen des Quadrats)

Mathematik

Was funktioniert in ℂ, was in ℝ bewiesen wurde?
Es funktionieren diejenigen Dinge nicht, die Anordnung erfordern. Der Rest klappt. Insbesondere dasjenige, was aus den Körperaxiomen hergeleitet wurde.

Mathematik

Was sind die wichtigsten Rechenregeln bzgl. der komplexen Konjugation?
Seien z und w Elemente aus den komplexen Zahlen:

(z·w)*=z*·w* sowie (z+w)*=z*+w*
z=z* genau dann, wenn z reell ist. (Folgt aus Definitionen)
(z*)*=z (Folgt aus Definitionen)

Mathematik

Wie beweist man für z∈ℂ, dass z·z*=|z| ?
Man schreibe z:=x+iy, so folgt:

(x+iy)(x-iy)=x²-(iy)²=x²+y²

und |x|=√(x²+y²)

Mathematik

Wie zeigt man (z·w)*=z*·w* bzw. (z+w)*=z*+w* für z,w∈ℂ?
Man schreibt z:=a+ib und w:=x+iy und rechnet nach.

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