Mathematik an der RWTH Aachen

Karteikarten und Zusammenfassungen für Mathematik an der RWTH Aachen

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Beispielhafte Karteikarten für Mathematik an der RWTH Aachen auf StudySmarter:

z=10(cos(π /3)-isin(π/3))

in Exponentialform...

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Wie beweist man die Dreieckungleichung |z+w|≤|z|+|w| für komplexe Zahlen?

Beispielhafte Karteikarten für Mathematik an der RWTH Aachen auf StudySmarter:

Was ergibt (3i)*?

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Wie löst man ln(a+ib)?

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Wie zeigt man, dass |z·w|=|z|·|w|?

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Was funktioniert in ℂ, was in ℝ bewiesen wurde?

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Warum lässt sich der Körper der komplexen Zahlen nicht (wie die reellen Zahlen) anordnen?

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Wie löst man ((1+z)/(1-z))²=1 , wenn z eine komplexe Zahl ist?

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Wie löst man (1-3i)·z*=z*-3+i , wenn z eine komplexe Zahl ist?

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Wie löst man |z-1+2i|=|z+i-3|?

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Wie löst man Re(z)+Im(z)=4?

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Wie beweist man |z^n|=|z|^n?

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Beispielhafte Karteikarten für Mathematik an der RWTH Aachen auf StudySmarter:

Mathematik

z=10(cos(π /3)-isin(π/3))

in Exponentialform...

Beachte, dass ein Minus dort steht. Normalerweise sollte es +isin(pi/3)) heißen.

Lösung:

Der Sinus ist punktsymmetrisch, d. h., es gilt f(-x)=-f(x).

-isin(pi/3)=+isin(-pi/3)

Dann ist aber das Problem, dass wir cos(pi/3) und sin(-pi/3) haben. Aber der Kosinus ist achsensymmetrisch, also gilt f(-x)=f(x), also cos(pi/3)=cos(-pi/3)

Mathematik

Wie beweist man die Dreieckungleichung |z+w|≤|z|+|w| für komplexe Zahlen?

Aufwendig mit |z+w|=|(a+x)+i(b+y)|=√((a+x)²+(b+y)²) und das gleichsetzen mit |z|+|w|.

Mathematik

Was ergibt (3i)*?

-3i

Mathematik

Wie löst man ln(a+ib)?

In Exponentialform umformen.

Mathematik

Wie zeigt man, dass |z·w|=|z|·|w|?

Am schnellsten und schönsten:

|zw|^2=zw·(zw)*=zz*·ww*=|z|^2·|w|^2 ⇔ |z·w|=|z|·|w|

Ansonsten z:=a+ib und w:=x+iy

Mathematik

Was funktioniert in ℂ, was in ℝ bewiesen wurde?

Es funktionieren diejenigen Dinge nicht, die Anordnung erfordern. Der Rest klappt. Insbesondere dasjenige, was aus den Körperaxiomen hergeleitet wurde.

Mathematik

Warum lässt sich der Körper der komplexen Zahlen nicht (wie die reellen Zahlen) anordnen?

In einem angeordneten Körper gilt für ein Element a≠0 stets a²>0. Wegen i²=-1<0 und i≠0 gilt dies in ℂ nicht, und daher kann ℂ nicht angeordnet sein.

Mathematik

Wie löst man ((1+z)/(1-z))²=1 , wenn z eine komplexe Zahl ist?

Aufgaben dieser Art können meist wie normale Gleichungen in den reellen Zahlen behandelt werden (wegen des Quadrats)

Mathematik

Wie löst man (1-3i)·z*=z*-3+i , wenn z eine komplexe Zahl ist?

Schreibe z:=a+ib und setze Imaginär- mit Realteil gleich.

Mathematik

Wie löst man |z-1+2i|=|z+i-3|?

Schreibe z:=a+ib, sortiere Imaginärteil und Realteil, verwende √(Re(z)²+Im(z)²)

Hier können oftmals affin-lineare Funktionen als Lösungsmenge herauskommen.

Mathematik

Wie löst man Re(z)+Im(z)=4?

In der Gaußschen Zahlenebene ist Re(z) die Abzisse und Im(z) die Ordinate. Konventionelle Schreibweise x+y=4

Mathematik

Wie beweist man |z^n|=|z|^n?

…über vollständige Induktion

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