Analysis II an der RWTH Aachen | Karteikarten & Zusammenfassungen

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TESTE DEIN WISSEN

Ist || · || eine beliebige Norm auf R^n, so ist (R^n, || · ||) ...

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vollständig.

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Sei (V, || · ||) ein normierter Vektorraum und K ⊂ V kompakt. Dann ist

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K abgeschlossen und beschränkt.

(Die Umkehrung ist nur unter einer Zusatzvoraussetzung richtig, z. B. wenn V endlich dimensional ist.)

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Ist jede konvexe Menge in einem normierten VR wegzusammenhängend?

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Ja. Dazu gehören auch der VR selbst, die leere Menge und alle offenen Bälle um alle Punkte in V.

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Die wegzusammenhängenden Teilmengen von |R sind genau

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die Intervalle und die leere Menge.

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Seien (V, || · ||), (V′, || · ||′) normierte Vektorräume, M ⊂ V wegzusammenhängend. Ist f : M → V′ stetig, so ist

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f(M) ebenfalls wegzusammenhängend.

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Die zusammenhängenden Teilmengen von |R sind genau

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die Intervalle und die leere Menge.

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Seien (V, || · ||), (V′, || · ||′) normierte Vektorräume, M ⊂ V zusammenhängend und f : M → V′ stetig. Dann ist

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auch f(M) zusammenhängend.

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Sei (V, || · ||) ein normierter Vektorraum. Ist M ⊂ V wegzusammenhängend, so ist

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M auch zusammenhängend.

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Gebiet

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TESTE DEIN WISSEN

Eine nicht-leere (weg-) zusammenhängende offene Teilmenge eines normierten Vektorraums (V, || · ||) nennt man ein Gebiet.

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Seien U ⊂ R^n offen, a ∈ U und F : U → R^m partiell differenzierbar sowie in a stetig partiell differenzierbar. Dann ist...

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f in a total differenzierbar und insbesondere auch stetig.

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Eine Funktion ϕ : [a, b] → |R heißt von beschränkter Variation, wenn...

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die Totalvariation von ϕ endlich ist.

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TESTE DEIN WISSEN

Sei U ⊂ |R^n ein Gebiet, also offen und (weg-)zusammenhängend. Ist F : U → |R^m total differenzierbar mit DF ≡ 0, so ist

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F konstant.

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Q:

Ist || · || eine beliebige Norm auf R^n, so ist (R^n, || · ||) ...

A:

vollständig.

Q:

Sei (V, || · ||) ein normierter Vektorraum und K ⊂ V kompakt. Dann ist

A:

K abgeschlossen und beschränkt.

(Die Umkehrung ist nur unter einer Zusatzvoraussetzung richtig, z. B. wenn V endlich dimensional ist.)

Q:

Ist jede konvexe Menge in einem normierten VR wegzusammenhängend?

A:

Ja. Dazu gehören auch der VR selbst, die leere Menge und alle offenen Bälle um alle Punkte in V.

Q:

Die wegzusammenhängenden Teilmengen von |R sind genau

A:

die Intervalle und die leere Menge.

Q:

Seien (V, || · ||), (V′, || · ||′) normierte Vektorräume, M ⊂ V wegzusammenhängend. Ist f : M → V′ stetig, so ist

A:

f(M) ebenfalls wegzusammenhängend.

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Q:

Die zusammenhängenden Teilmengen von |R sind genau

A:

die Intervalle und die leere Menge.

Q:

Seien (V, || · ||), (V′, || · ||′) normierte Vektorräume, M ⊂ V zusammenhängend und f : M → V′ stetig. Dann ist

A:

auch f(M) zusammenhängend.

Q:

Sei (V, || · ||) ein normierter Vektorraum. Ist M ⊂ V wegzusammenhängend, so ist

A:

M auch zusammenhängend.

Q:

Gebiet

A:

Eine nicht-leere (weg-) zusammenhängende offene Teilmenge eines normierten Vektorraums (V, || · ||) nennt man ein Gebiet.

Q:

Seien U ⊂ R^n offen, a ∈ U und F : U → R^m partiell differenzierbar sowie in a stetig partiell differenzierbar. Dann ist...

A:

f in a total differenzierbar und insbesondere auch stetig.

Q:

Eine Funktion ϕ : [a, b] → |R heißt von beschränkter Variation, wenn...

A:

die Totalvariation von ϕ endlich ist.

Q:

Sei U ⊂ |R^n ein Gebiet, also offen und (weg-)zusammenhängend. Ist F : U → |R^m total differenzierbar mit DF ≡ 0, so ist

A:

F konstant.

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