Arithmetik an der Pädagogische Hochschule Freiburg

Karteikarten und Zusammenfassungen für Arithmetik an der Pädagogische Hochschule Freiburg

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Welche Rolle spielen Zahlzerlegungen bei Zahlbegriffserwerb?

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Drei wesentliche Komponenten von differenzierten Operationsvorstellungen

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3 Gesichtspunkte bei der Behandlung der Zahl 0

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Welche Rolle hat die Lehrkraft beim Einsatz von Spielen im mathematischen (Anfangs-)Unterricht

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Definition Operationsverständnis

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Auszählen / Abzählen / Anzahlkonzept

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Zahldarstellungen

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Anzahlerfassung

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Was bedeutet das Prinzip vom konkreten zum Abstrakten?

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Was versteht man unter dem Teile-Ganzes-Konzept

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Zahl vs. Ziffer

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Darstellungswechsel EIS Prinzip (Bruner)

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Arithmetik

Welche Rolle spielen Zahlzerlegungen bei Zahlbegriffserwerb?

  • Zahl als Ganzes in verschiedene Teile zerlegt zu sehen = Teile-Ganzes-Konzept
  • ist die Vorstufe zur Addition
  • handelnd durch werfen von Wendeplättchen (Kinder sollen erkennen das die 5 in verschiedenen kleineren Anzahlen dargestellt werden kann
  • Zahlzerlegungen können  auch zur Einführung von + Zeichen verwendet werden (= Zeichen erst später) 
  • Wendeplättchen=unstrukturierte Zahlzerlegungen
  • Blick für Strukturen im Zusammenhang mit Zerlegungen = Erkennen wie Anzahlen leichter zu erfassen sind (durch Struktur) = bestimmte Anzahlen dann leicht wenn Teilmengen simultan erfasst werden können

Arithmetik

Drei wesentliche Komponenten von differenzierten Operationsvorstellungen

  • Tragfähige Grundvorstellungen 
    • Vorhandensein der Fähigkeit die Bedeutungsvielfalt von Rechenoperationen deuten zu können
  • Fähigkeit zum Darstellungswechsel
    • Rechnen nicht als bloßes Rechenspiel sondern immer verbunden mit Handlungen & Sachsituationen
  • Erkennen und Nutzen von Beziehungen & Strukturen
    • Zwischen Aufgaben und Rechenoperationen
    • Grundlage für sichere & flexible Kompetenzen im rechnen

Arithmetik

3 Gesichtspunkte bei der Behandlung der Zahl 0

  1. 0 als Kardinalzahl: Mächtigkeit der 0 als leere Menge. Eine Menge kann keine Elemente enthalten und steht daher eben nicht für nichts. Wenn 0 für nichts stehen würde wäre ja 4*0=4 --> Irrglaube: Wenn die Null für nichts steht, ändert sich ja auch nichts
  2. Rückwärtszählen: Countdown --> Die Null als Zählzahl
  3. Zerlegung/0 als Rechenzahl: z.B. mit einer Schüttelbox, Ergebnisse in einer Tabelle mit z.B. 4 und 0 eintragen, Rechenreihen (5-5,5-4,...5-0) Achtung:  Bei +/-  ist die Null neutral, nicht aber bei Division und Multiplikation

Arithmetik

Welche Rolle hat die Lehrkraft beim Einsatz von Spielen im mathematischen (Anfangs-)Unterricht

  • vor allem bei komplexeren/offenen Spielen klare Verhaltensvorgaben, Zeitvorgaben und inhaltliche Vorgaben machen
  • Nicht jedes Spiel eignet sich - Auswahl nach Lernziel, Wissenstand der Kinder aber auch nach allgemeinen Anforderungen/Kriterien orientiert --> Lehrkraft muss geeignete Spiele auswählen
  • Denken verstehen=Beobachtende Rolle der LEhrkraft
  • Denken anregen= gezielte Fragen der Lehrkraft
    • Impulse die sachliche Begründung und Reflexion über eigenes Denken anregen
    • Impulse die anregen Hypothesen zu bilden und Vorhersagen zu treffen (Modellieren PROZESSBEZOGENE KOMPETENZ)

Arithmetik

Definition Operationsverständnis

  • Zeigt sich in der Fähigkeit zwischen verschiedenen "Sprachen" hin und her zu übersetzen
  • Verstehen der viert Grundrechenarten
  • Grundrechenarten mit Bedeutungen verknüpfen
  • konkrete oft in Alltagssprache beschriebene Situation wechseln in Repräsentationsebene mathematische Symbole und Rechenoperationen


Operationsverständnis beinhaltet:

  • Fähigkeit zum Darstellungswechsel
  • Vorhandensein tragfähiger Grundvorstellungen
  • Erkennen und Nutzen von Beziehungen und Strukturen

Arithmetik

Auszählen / Abzählen / Anzahlkonzept

Auszählen=Bestimmung Anzahl Elemente einer Menge (Wieviel Kekse auf dem Teller)

Abzählen=Aus einer Menge bestimmte Anzahl Elemente herausgreifen (Gib mir fünf Kekse)

Anzahlkonzept=Entwickelt sich aus dem zählen mit Material. Bezeichnet das Wissen, das eine Zahl für eine Anzahl Objekte stehen kann


Vorraussetzung für Auszählen und Abzählen von Mengen ist die klare Unterscheidung von Zahlwörtern, die ab der Niveaustufe 2 gelingt


unpräzises Anzahlkonzept: 1,2 viele (Wissen das: kleine Zahl für geringe Anzahlen, große Zahl für große Anzahlen)


Daraus entwickelt sich: 

präzises Anzahlkonzept: das sind 4, das sind 12

Entwicklung bedeutend für den Zahlbegriffserwerb

Arithmetik

Zahldarstellungen

Zahlbilder: Strich/Punktmuster, die ermöglichen, die Anzahl der Objekte durch zählen die dargestellte Zahl zu ermitteln. Bei strukturierten Darstellungen (z.B. Würfel) ist es möglich auch größere Anzahlen auf einen Blick zu erfassen


Zahlzeichen: verschiedene Systeme (Dezimal, Römisch). In Dezimaldarstellung mithilfe von Ziffern, Abhängig von Position dieser Ziffern gibt diese an ob sie fürn die Anzahl von E; Z; H... steht


Zahlwörter: Jede Sprache--> Bildung anders. In Deutschland Besondert Reihenfolge schrieben ungleich Reihenfolge Zahlwortbildung. (Inverse Notation)Stellt eine Lernhürde dar insbesondere für Kinder mit anderer Muttersprache die andere Form der Zahlwortbildung nutzt. Wichtig. Kinder von Beginn an Zahlen von links nach rechts notieren lassen - inverse Schreibweise thematisieren 

Arithmetik

Anzahlerfassung

  • Simultan: Für 4-5 Elemente möglich, unabhängig von Anordnung, Kinder verfügen beriets früh über diese Fähigkeit
  • Quasisimultan: ermöglicht auch größere Mengen auf einen Blick zu erkennen durch entsprechende Strukturierung (Strichliste, Würfelbilder, 20er Feld)
  • Strukturierte Zahlbilder: Würfel

Arithmetik

Was bedeutet das Prinzip vom konkreten zum Abstrakten?

Beispiel Schachtel mit Bohnen

Lege zwei rein und mach zu wieder auf. Lege drei hinzu. die zwei vom beginn sehe ich nicht mehr ---< wieviel sind nun in der Schachtel?


  • Ergebnis des Rechnens bzw. des zusammenfügen kann jederzeit nachgeprüft werden durch Inhalt zählen
  • Zählen ist dann nicht mehr da um Ergebnis zu finden sondern zur Erfolgskontrolle
  • subtiler Übergang vom konkreten Zählen zum rechnen


! Konkrete Handlungen und Rechenoperationen müssen immer wieder und ganz eng miteinander verknüpft/verzahnt werden

Arithmetik

Was versteht man unter dem Teile-Ganzes-Konzept

  • Verständnis von Zahlen als Zusammensetzung aus anderen Zahlen
  • Fähigkeit, dieses Verständnis flexibel einsetzen zu können
  • Jede Menge mit mindestens 2 Elementen lässt sich in mindestens 2 Teilmengen zerlegen
  • Steht im engen Zusammenhang mit strukturierten Zahlbildern, welche die Deutung der Zahlzerlegung erlauben
  • Grundlage für Addition und Subtraktion
  • Kind das eine Zahlzerlegung kennt, kann Additions und Subtraktionsaufgabe ohne zählen lösen
  • Auch wichtig für die Überwindung des Zehnerübergangs 
  • Nicht ausgeprägtes Teile-Ganzes-Konzept=typisches Merkmal rechenschwache Kinder
  • Indikator für Lernschwäche: Kinder zählen noch vollständig ab und nutzen nicht Zusammenhang bereits bekannter Anzahlen
  • unverzichtbare Basis für die Entwicklung von Rechenstrategien
  • Übungsmöglichkeit: Mit 10 Fingern Anzahlen zerlegen, Wendeplättchen werfen
  • Auch Rechenrahmen der es ermöglicht zu zählen aber eben auch Kraft der 5 und Kraft der 10

Arithmetik

Zahl vs. Ziffer

Ziffern dienen zur Darstellung von Zahlen


Die Zahl ist ein abstraktes mathematisches Konzept, welches in unterschiedliche Weise (Zahlaspekte) verwendet werden kann

Arithmetik

Darstellungswechsel EIS Prinzip (Bruner)

Enaktiv=durch eigene Handlung


Ikonisch=durch Bilder oder Grafiken


Symbolisch=durch verbale Mitteilung (SPRACHE) oder in einem mathematischen Zeichensystem (FORMAL)

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