09 die Menge der rationalen Zahlen an der LMU München

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Konzeptualisierung von Bruchzahlen (Q)

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Äquivalenzklassenkonzept von Bruchzahlen Q

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Äquivalenzkonept: Addition von Bruchzahlen

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Äquivalenzklassenkonzept: Multiplikation von Brüchen

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Operatorkonzept

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Gleichungskonzept

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Größenkonzept

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Bruchzahlaspekte

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Anteilsaspekt

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Operatoraspekt

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Quasikardinalität

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Maßzahlaspekt

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09 die Menge der rationalen Zahlen

Konzeptualisierung von Bruchzahlen (Q)
- Äquivalenklassenkonzept - Operatorkonzept - Gleichungskonzept - Größenkonzept

09 die Menge der rationalen Zahlen

Äquivalenzklassenkonzept von Bruchzahlen Q
Betrachtung der Zahlenpaare (a,b) als Bruch a/b IN0 x IN —> kann nicht dur 0 geteilt werden Äquivalenzrelation von Bruchzahlen: (a,b) ~ (c,d) <=> a*d = b*c Äquivalenzklassen heißen Bruchzahlen a/b —>> die Menge aller Äquivalenzklassen stellt eine Erweiterung des bisherigen Zahlenbereichs IN0 bzw. Z dar —> neue Menge: Z x IN Allgemein: z entspricht [(z,1)] 0 = 0,1 = 0/1 1 = 1,1 = 1/1 -1 = -1,1 = -1/1

09 die Menge der rationalen Zahlen

Äquivalenzkonept: Addition von Bruchzahlen
Definition: [(a,b)] + [(c,d)] = [(a*d+b*c , b*d)]

09 die Menge der rationalen Zahlen

Äquivalenzklassenkonzept: Multiplikation von Brüchen
[(a,b)] * [(c,d)] = [(a*c , b*d)]

09 die Menge der rationalen Zahlen

Operatorkonzept
Bruchzahlen werden als Verkettung eines Vervielfachungsoperators (Multiplikation) und eines Verteileroperators (Division) aufgefasst

09 die Menge der rationalen Zahlen

Gleichungskonzept
b*x = a <=> x = a/b —> Bruchzahl = die Lösung der linearen Gleichung Gleichungen können durch Multiplikation ERWEITERT werden Erweitern = nötig bei Addition von Brüchen -> Erweitern auf gleichen Nenner

09 die Menge der rationalen Zahlen

Größenkonzept
Ausgangspunkt = konkrete Brüche aus dem Alltag, zB. 1/2 Stunde —> durch Verallgemeinerung gelangt man zu einer festen / ganzen Größe (das Ganze, die Einheit E) —> Bruchzahl a/b bezeichnet die Einheit a/b*E Vorteil = Alltagsnähe, Hilfreich bei der Erarbeitung von Erweitern, Kürzen, Anordnen, Addition, Subtraktion Nachtei = Probleme bei der Erarbeitung von Multiplikation und Division

09 die Menge der rationalen Zahlen

Bruchzahlaspekte
- Anteilsaspekt / Teil vom Ganzen -> Teil eines Ganzen -> Teil mehrerer Ganzer - Operatoraspekt - Quasikardinalität - Maßzahlaspekt - Skalenwertaspekt - Quotientenaspekt -> Verteilen -> Aufteilen / Messen - Lösung einer linearen Gleichung - Verhältnisaspekt

09 die Menge der rationalen Zahlen

Anteilsaspekt
Wie viel davon? Teil eines Ganzen = ein Ganzes wird in gleiche Teile geteilt, davon werden einige genommen Teil mehrerer Ganzer = mehrere Ganze werden in gleichviele und gleichgroße Teile geteilt. Von jedem wird jeweils eins entnommen

09 die Menge der rationalen Zahlen

Operatoraspekt
Brüche beschreiben Anteile von beliebigen Anzahlen und Größen - oft mit dem Wort von / davon verbunden = Modell für die Multiplikation von Brüchen - Frage: wie viel von ...? Antwort: Die Hälfte davon

09 die Menge der rationalen Zahlen

Quasikardinalität
Ein Bruch kann als Angabe einer Anzahl interpretiert werden —> er wird nicht als Bruch interpretiert, sondern als ganze Zahl, da der Nenner ausgeschrieben wird Zähler = beschreibt die Anzahl von Einheiten, deren Natur (bzw. Größe) durch den Nenner beschrieben wird —> so wird zB. Verständlich, dass man nur die Zähler, nicht die Nenner addiert Beispiel: 3 Fünftel plus 4 Fünftel sind 7 Fünftel Es sind noch 3 Viertelpizzen über

09 die Menge der rationalen Zahlen

Maßzahlaspekt
Zahlen kommen zusammen mit einer Einheit als Maßzahlen in Größenangaben vor Frage: wie schwer? Wie viel? Antwort: 1/2 Tonne, 3/4 Liter

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