09 die Menge der rationalen Zahlen an der LMU München

CitySTADT: Augsburg

CountryLAND: Deutschland

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Äquivalenzklassenkonzept: Multiplikation von Brüchen

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Konzeptualisierung von Bruchzahlen (Q)

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Äquivalenzklassenkonzept von Bruchzahlen Q

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Äquivalenzkonept: Addition von Bruchzahlen

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Gleichungskonzept

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Größenkonzept

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Anteilsaspekt

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Operatoraspekt

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Quasikardinalität

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Lösung einer linearen Gleichung

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Operatorkonzept

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Bruchzahlaspekte

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09 die Menge der rationalen Zahlen

Äquivalenzklassenkonzept: Multiplikation von Brüchen
[(a,b)] * [(c,d)] = [(a*c , b*d)]

09 die Menge der rationalen Zahlen

Konzeptualisierung von Bruchzahlen (Q)
– Äquivalenklassenkonzept
– Operatorkonzept
– Gleichungskonzept
– Größenkonzept

09 die Menge der rationalen Zahlen

Äquivalenzklassenkonzept von Bruchzahlen Q
Betrachtung der Zahlenpaare (a,b) als Bruch a/b

IN0 x IN —> kann nicht dur 0 geteilt werden

Äquivalenzrelation von Bruchzahlen:
(a,b) ~ (c,d) <=> a*d = b*c

Äquivalenzklassen heißen Bruchzahlen a/b

—>> die Menge aller Äquivalenzklassen stellt eine Erweiterung des bisherigen Zahlenbereichs IN0 bzw. Z dar

—> neue Menge: Z x IN

Allgemein: z entspricht [(z,1)]
0 = 0,1 = 0/1
1 = 1,1 = 1/1 -1 = -1,1 = -1/1

09 die Menge der rationalen Zahlen

Äquivalenzkonept: Addition von Bruchzahlen
Definition: [(a,b)] + [(c,d)] = [(a*d+b*c , b*d)]

09 die Menge der rationalen Zahlen

Gleichungskonzept
b*x = a <=> x = a/b —> Bruchzahl = die Lösung der linearen Gleichung

Gleichungen können durch Multiplikation ERWEITERT werden

Erweitern = nötig bei Addition von Brüchen
-> Erweitern auf gleichen Nenner

09 die Menge der rationalen Zahlen

Größenkonzept
Ausgangspunkt = konkrete Brüche aus dem Alltag, zB. 1/2 Stunde

—> durch Verallgemeinerung gelangt man zu einer festen / ganzen Größe (das Ganze, die Einheit E)

—> Bruchzahl a/b bezeichnet die Einheit a/b*E

Vorteil = Alltagsnähe, Hilfreich bei der Erarbeitung von Erweitern, Kürzen, Anordnen, Addition, Subtraktion

Nachtei = Probleme bei der Erarbeitung von Multiplikation und Division

09 die Menge der rationalen Zahlen

Anteilsaspekt
Wie viel davon?

Teil eines Ganzen
= ein Ganzes wird in gleiche Teile geteilt, davon werden einige genommen

Teil mehrerer Ganzer
= mehrere Ganze werden in gleichviele und gleichgroße Teile geteilt. Von jedem wird jeweils eins entnommen

09 die Menge der rationalen Zahlen

Operatoraspekt
Brüche beschreiben Anteile von beliebigen Anzahlen und Größen

– oft mit dem Wort von / davon verbunden
= Modell für die Multiplikation von Brüchen
– Frage: wie viel von …? Antwort: Die Hälfte davon

09 die Menge der rationalen Zahlen

Quasikardinalität
Ein Bruch kann als Angabe einer Anzahl interpretiert werden
—> er wird nicht als Bruch interpretiert, sondern als ganze Zahl, da der Nenner ausgeschrieben wird

Zähler = beschreibt die Anzahl von Einheiten, deren Natur (bzw. Größe) durch den Nenner beschrieben wird

—> so wird zB. Verständlich, dass man nur die Zähler, nicht die Nenner addiert

Beispiel:

3 Fünftel plus 4 Fünftel sind 7 Fünftel
Es sind noch 3 Viertelpizzen über

09 die Menge der rationalen Zahlen

Lösung einer linearen Gleichung
Der Bruch a / b = die eindeutige Lösung der linearen Gleichunb b*x = a

09 die Menge der rationalen Zahlen

Operatorkonzept
Bruchzahlen werden als Verkettung eines Vervielfachungsoperators (Multiplikation) und eines Verteileroperators (Division) aufgefasst

09 die Menge der rationalen Zahlen

Bruchzahlaspekte
– Anteilsaspekt / Teil vom Ganzen
-> Teil eines Ganzen
-> Teil mehrerer Ganzer
– Operatoraspekt
– Quasikardinalität
– Maßzahlaspekt
– Skalenwertaspekt
– Quotientenaspekt
-> Verteilen
-> Aufteilen / Messen
– Lösung einer linearen Gleichung
– Verhältnisaspekt
Gradient

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