09 die Menge der rationalen Zahlen an der LMU München

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Verhältnisaspekt

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Lösung einer linearen Gleichung

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Quotientenaspekt

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Skalenwertaspekt

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Maßzahlaspekt

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Quasikardinalität

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Operatoraspekt

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Anteilsaspekt

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Bruchzahlaspekte

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Größenkonzept

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Gleichungskonzept

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Operatorkonzept

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09 die Menge der rationalen Zahlen

Verhältnisaspekt
= Brüche sind nicht mehr Teil eines ganzen, sondern es geht um zwei Größen / Anzahlen / … die zueinander in Bezug stehen
-> im Verhältnis zueinander

Bruchstrich bedeutet „pro“

Frage: wieviel im Vergleich zum anderen?
Antwort: Auf zwei Teile vom einen kommen drei Teile vom anderen

09 die Menge der rationalen Zahlen

Lösung einer linearen Gleichung
Der Bruch a / b = die eindeutige Lösung der linearen Gleichunb b*x = a

09 die Menge der rationalen Zahlen

Quotientenaspekt
= Brüche beschreiben das Ergebnis von Division …

Sowohl im Sinne des Verteilens
-> 10 Liter Wasser sollen auf 3 Krüge verteilt werden
-> in jeden Krug passen 3 1/3 Liter Wasser

Als auch im Sinne des Aufteilens / Messens
-> 10 Liter Wasser sollen in 3-Liter-Eimer aufgeteilt werden
-> es werden 3 1/3 Eimer benötigt

09 die Menge der rationalen Zahlen

Skalenwertaspekt
= Brüche dienen zur Beschreibung von Stellen auf einer Skala

-> oft ohne / nur teilweise Zahlenangabe

Der Tankanzeiger stand auf 1/4

09 die Menge der rationalen Zahlen

Maßzahlaspekt
Zahlen kommen zusammen mit einer Einheit als Maßzahlen in Größenangaben vor

Frage: wie schwer? Wie viel?
Antwort: 1/2 Tonne, 3/4 Liter

09 die Menge der rationalen Zahlen

Quasikardinalität
Ein Bruch kann als Angabe einer Anzahl interpretiert werden
—> er wird nicht als Bruch interpretiert, sondern als ganze Zahl, da der Nenner ausgeschrieben wird

Zähler = beschreibt die Anzahl von Einheiten, deren Natur (bzw. Größe) durch den Nenner beschrieben wird

—> so wird zB. Verständlich, dass man nur die Zähler, nicht die Nenner addiert

Beispiel:

3 Fünftel plus 4 Fünftel sind 7 Fünftel
Es sind noch 3 Viertelpizzen über

09 die Menge der rationalen Zahlen

Operatoraspekt
Brüche beschreiben Anteile von beliebigen Anzahlen und Größen

– oft mit dem Wort von / davon verbunden
= Modell für die Multiplikation von Brüchen
– Frage: wie viel von …? Antwort: Die Hälfte davon

09 die Menge der rationalen Zahlen

Anteilsaspekt
Wie viel davon?

Teil eines Ganzen
= ein Ganzes wird in gleiche Teile geteilt, davon werden einige genommen

Teil mehrerer Ganzer
= mehrere Ganze werden in gleichviele und gleichgroße Teile geteilt. Von jedem wird jeweils eins entnommen

09 die Menge der rationalen Zahlen

Bruchzahlaspekte
– Anteilsaspekt / Teil vom Ganzen
-> Teil eines Ganzen
-> Teil mehrerer Ganzer
– Operatoraspekt
– Quasikardinalität
– Maßzahlaspekt
– Skalenwertaspekt
– Quotientenaspekt
-> Verteilen
-> Aufteilen / Messen
– Lösung einer linearen Gleichung
– Verhältnisaspekt

09 die Menge der rationalen Zahlen

Größenkonzept
Ausgangspunkt = konkrete Brüche aus dem Alltag, zB. 1/2 Stunde

—> durch Verallgemeinerung gelangt man zu einer festen / ganzen Größe (das Ganze, die Einheit E)

—> Bruchzahl a/b bezeichnet die Einheit a/b*E

Vorteil = Alltagsnähe, Hilfreich bei der Erarbeitung von Erweitern, Kürzen, Anordnen, Addition, Subtraktion

Nachtei = Probleme bei der Erarbeitung von Multiplikation und Division

09 die Menge der rationalen Zahlen

Gleichungskonzept
b*x = a <=> x = a/b —> Bruchzahl = die Lösung der linearen Gleichung

Gleichungen können durch Multiplikation ERWEITERT werden

Erweitern = nötig bei Addition von Brüchen
-> Erweitern auf gleichen Nenner

09 die Menge der rationalen Zahlen

Operatorkonzept
Bruchzahlen werden als Verkettung eines Vervielfachungsoperators (Multiplikation) und eines Verteileroperators (Division) aufgefasst

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