Lineare Algebra an der Karlsruher Institut Für Technologie | Karteikarten & Zusammenfassungen

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TESTE DEIN WISSEN

(logischen) Aussage

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Ausdruck, von dem eindeutig bestimmt ist, ob er wahr oder falsch ist

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TESTE DEIN WISSEN

Verknüpfung von Aussagen

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TESTE DEIN WISSEN

Seien A und B zwei Aussagen.
(a) Die Aussage (¬A) ist die Aussage „Die Aussage A ist falsch.“ und heißt die Negation von A.

(b) Die Aussage (A ∧ B) ist die Aussage „Die Aussage A ist wahr und die Aussage B ist wahr.“ und heißt die Konjunktion von A und B.

(c) Die Aussage (A ∨ B) ist die Aussage „Mindestens eine der beiden Aussagen A und B ist wahr.“ Sie heißt die (nicht-exklusive) Disjunktion von A und B.

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TESTE DEIN WISSEN

Implikation von A nach B und Äquivalenz von A und B

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TESTE DEIN WISSEN

(A ⇒ B) :⇔ ((¬A) ∨ B)

(A ⇔ B) :⇔ ((A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A))

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Tautologien (Für beliebige Aussagen A,B,C sind die folgen-
den Aussagen stets wahr)

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(i) A ⇒ A (oder anders ausgedrückt, A ∨ (¬A)). (Tertium non datur.)
(ii) ((A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C)) ⇒ (A ⇒ C). (Transitivität)
(iii) (A ∧ B) ∧ C ⇔ A ∧ (B ∧ C) und (A ∨ B) ∨ C ⇔ A ∨ (B ∨ C). (Assoziativität)
(iv) (A ∧ B) ⇔ (B ∧ A) und (A ∨ B) ⇔ (B ∨ A). (Kommutativität)
(v) A ∧ (B ∨ C) ⇔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) und A ∨ (B ∧ C) ⇔ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C). (Distributivität)
(vi) (B⇒C)⇒ ((A ∧ B) ⇒ (A ∧ C)). (Monotonie)
(vii) (¬(A ∧ B)) ⇔ ((¬A) ∨ (¬B)) und (¬(A ∨ B)) ⇔ ((¬A) ∧ (¬B)). (de Morgansche3 Regeln)
(viii) (¬(¬A)) ⇔ A. (doppelte Negation)

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Kontrapositionsprinzip

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TESTE DEIN WISSEN

Für beliebige Aussagen A und B gilt
(A ⇒ B) ⇔((¬B) ⇒(¬A))

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TESTE DEIN WISSEN

Beweises durch Widerspruch

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TESTE DEIN WISSEN

Hier nimmt man an, dass sowohl A als auch ¬B gelten, und versucht daraus eine falsche Aussage herzuleiten. Wenn dies gelingt, so können nicht A und ¬B zugleich gelten; wegen des „Tertium non datur.“ folgt daraus ebenfalls die Aussage A ⇒B

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Definition 1.3.1. Eine Relation

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TESTE DEIN WISSEN

Eine Relation zwischen zwei Mengen M und N ist eine Teilmenge R ⊆ M×N. Ist (m, n) ∈ R so sagt man auch „m ist R-verwandt zu n“ und schreibt mRn.

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Bild von A

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Ist A ⊆M, so heißt f(A) := {n ∈ N | ∃a ∈ A : f(a) = n} das Bild von A

Seien V und W 𝕂-Vektorräume und Φ ∈ Hom_𝕂(V,W).

Bild(Φ) ist ein Unterraum von W.

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Definition 1.3.2. Eine Funktion oder Abbildung

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Eine Funktion oder Abbildung ist ein Tripel (M,N, f) bestehend aus zwei Mengen M und N und einer Zuordnungsvorschrift f, die jedem m ∈ M ein eindeutiges Element f(m) ∈ N zuordnet. M heißt dann Definitionsbereich der Funktion, N heißt ihr Wertebereich und (M,N, f) heißt eine Funktion von M nach N. Die Relation 

gr(f) := {(m, n) ∈ M×N | n = f(m)} ⊆ M×N

heißt der Graph der Funktion.

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Surjektivität

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Eine Funktion f : M→N heißt surjektiv, falls Bild(f) = f(M) = N


f ist surjektiv, wenn jedes Element von N ein Urbild hat, d.h. für jedes n ∈ N gibt es mindestens ein m ∈ M mit f(m) = n. Formal, ∀n ∈ N : f⁻¹({n}) ≠ ∅

(f ist surjektiv) ⟺ (∃h : N→M mit f ◦ h = Idₙ)


Sei Φ:V →W eine lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen und q:=dim(V) und p:=dim(W).

Φ ist surjektiv ⟺ Bild(Φ_B) ist Erzeugendensystem. ⟺  Φ ist Epimorphismus ⟹ q ≥ p

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Restriktion von f auf A (bzw. Korestriktion von f auf B)

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Ist A ⊆ M (bzw. Bild(M,N, f) ⊆ B ⊆ N), so heißt die Funktion f|ₐ : A→N, a ↦ f(a) (bzw. f|ᴮ : M→B, m↦ f(m)) die Restriktion von f auf A (bzw. Korestriktion von f auf B)

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Urbild von B

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Ist B⊆N, so heißt f−1(B) := {m∈M | f(m) ∈B} das Urbild von B

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Q:

(logischen) Aussage

A:

Ausdruck, von dem eindeutig bestimmt ist, ob er wahr oder falsch ist

Q:

Verknüpfung von Aussagen

A:

Seien A und B zwei Aussagen.
(a) Die Aussage (¬A) ist die Aussage „Die Aussage A ist falsch.“ und heißt die Negation von A.

(b) Die Aussage (A ∧ B) ist die Aussage „Die Aussage A ist wahr und die Aussage B ist wahr.“ und heißt die Konjunktion von A und B.

(c) Die Aussage (A ∨ B) ist die Aussage „Mindestens eine der beiden Aussagen A und B ist wahr.“ Sie heißt die (nicht-exklusive) Disjunktion von A und B.

Q:

Implikation von A nach B und Äquivalenz von A und B

A:

(A ⇒ B) :⇔ ((¬A) ∨ B)

(A ⇔ B) :⇔ ((A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A))

Q:

Tautologien (Für beliebige Aussagen A,B,C sind die folgen-
den Aussagen stets wahr)

A:

(i) A ⇒ A (oder anders ausgedrückt, A ∨ (¬A)). (Tertium non datur.)
(ii) ((A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C)) ⇒ (A ⇒ C). (Transitivität)
(iii) (A ∧ B) ∧ C ⇔ A ∧ (B ∧ C) und (A ∨ B) ∨ C ⇔ A ∨ (B ∨ C). (Assoziativität)
(iv) (A ∧ B) ⇔ (B ∧ A) und (A ∨ B) ⇔ (B ∨ A). (Kommutativität)
(v) A ∧ (B ∨ C) ⇔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) und A ∨ (B ∧ C) ⇔ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C). (Distributivität)
(vi) (B⇒C)⇒ ((A ∧ B) ⇒ (A ∧ C)). (Monotonie)
(vii) (¬(A ∧ B)) ⇔ ((¬A) ∨ (¬B)) und (¬(A ∨ B)) ⇔ ((¬A) ∧ (¬B)). (de Morgansche3 Regeln)
(viii) (¬(¬A)) ⇔ A. (doppelte Negation)

Q:

Kontrapositionsprinzip

A:

Für beliebige Aussagen A und B gilt
(A ⇒ B) ⇔((¬B) ⇒(¬A))

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Q:

Beweises durch Widerspruch

A:

Hier nimmt man an, dass sowohl A als auch ¬B gelten, und versucht daraus eine falsche Aussage herzuleiten. Wenn dies gelingt, so können nicht A und ¬B zugleich gelten; wegen des „Tertium non datur.“ folgt daraus ebenfalls die Aussage A ⇒B

Q:

Definition 1.3.1. Eine Relation

A:

Eine Relation zwischen zwei Mengen M und N ist eine Teilmenge R ⊆ M×N. Ist (m, n) ∈ R so sagt man auch „m ist R-verwandt zu n“ und schreibt mRn.

Q:

Bild von A

A:

Ist A ⊆M, so heißt f(A) := {n ∈ N | ∃a ∈ A : f(a) = n} das Bild von A

Seien V und W 𝕂-Vektorräume und Φ ∈ Hom_𝕂(V,W).

Bild(Φ) ist ein Unterraum von W.

Q:

Definition 1.3.2. Eine Funktion oder Abbildung

A:

Eine Funktion oder Abbildung ist ein Tripel (M,N, f) bestehend aus zwei Mengen M und N und einer Zuordnungsvorschrift f, die jedem m ∈ M ein eindeutiges Element f(m) ∈ N zuordnet. M heißt dann Definitionsbereich der Funktion, N heißt ihr Wertebereich und (M,N, f) heißt eine Funktion von M nach N. Die Relation 

gr(f) := {(m, n) ∈ M×N | n = f(m)} ⊆ M×N

heißt der Graph der Funktion.

Q:

Surjektivität

A:

Eine Funktion f : M→N heißt surjektiv, falls Bild(f) = f(M) = N


f ist surjektiv, wenn jedes Element von N ein Urbild hat, d.h. für jedes n ∈ N gibt es mindestens ein m ∈ M mit f(m) = n. Formal, ∀n ∈ N : f⁻¹({n}) ≠ ∅

(f ist surjektiv) ⟺ (∃h : N→M mit f ◦ h = Idₙ)


Sei Φ:V →W eine lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen und q:=dim(V) und p:=dim(W).

Φ ist surjektiv ⟺ Bild(Φ_B) ist Erzeugendensystem. ⟺  Φ ist Epimorphismus ⟹ q ≥ p

Q:

Restriktion von f auf A (bzw. Korestriktion von f auf B)

A:

Ist A ⊆ M (bzw. Bild(M,N, f) ⊆ B ⊆ N), so heißt die Funktion f|ₐ : A→N, a ↦ f(a) (bzw. f|ᴮ : M→B, m↦ f(m)) die Restriktion von f auf A (bzw. Korestriktion von f auf B)

Q:

Urbild von B

A:

Ist B⊆N, so heißt f−1(B) := {m∈M | f(m) ∈B} das Urbild von B

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