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Lernmaterialien für Lineare Algebra an der Karlsruher Institut für Technologie

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TESTE DEIN WISSEN

(logischen) Aussage

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Ausdruck, von dem eindeutig bestimmt ist, ob er wahr oder falsch ist

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Verknüpfung von Aussagen

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Seien A und B zwei Aussagen.
(a) Die Aussage (¬A) ist die Aussage „Die Aussage A ist falsch.“ und heißt die Negation von A.

(b) Die Aussage (A ∧ B) ist die Aussage „Die Aussage A ist wahr und die Aussage B ist wahr.“ und heißt die Konjunktion von A und B.

(c) Die Aussage (A ∨ B) ist die Aussage „Mindestens eine der beiden Aussagen A und B ist wahr.“ Sie heißt die (nicht-exklusive) Disjunktion von A und B.

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TESTE DEIN WISSEN

Implikation von A nach B und Äquivalenz von A und B

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TESTE DEIN WISSEN

(A ⇒ B) :⇔ ((¬A) ∨ B)

(A ⇔ B) :⇔ ((A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A))

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Definition 1.3.2. Eine Funktion oder Abbildung

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Eine Funktion oder Abbildung ist ein Tripel (M,N, f) bestehend aus zwei Mengen M und N und einer Zuordnungsvorschrift f, die jedem m ∈ M ein eindeutiges Element f(m) ∈ N zuordnet. M heißt dann Definitionsbereich der Funktion, N heißt ihr Wertebereich und (M,N, f) heißt eine Funktion von M nach N. Die Relation 

gr(f) := {(m, n) ∈ M×N | n = f(m)} ⊆ M×N

heißt der Graph der Funktion.

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Bild von A

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Ist A ⊆M, so heißt f(A) := {n ∈ N | ∃a ∈ A : f(a) = n} das Bild von A

Seien V und W 𝕂-Vektorräume und Φ ∈ Hom_𝕂(V,W).

Bild(Φ) ist ein Unterraum von W.

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Restriktion von f auf A (bzw. Korestriktion von f auf B)

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Ist A ⊆ M (bzw. Bild(M,N, f) ⊆ B ⊆ N), so heißt die Funktion f|ₐ : A→N, a ↦ f(a) (bzw. f|ᴮ : M→B, m↦ f(m)) die Restriktion von f auf A (bzw. Korestriktion von f auf B)

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Urbild von B

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Ist B⊆N, so heißt f−1(B) := {m∈M | f(m) ∈B} das Urbild von B

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Surjektivität

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Eine Funktion f : M→N heißt surjektiv, falls Bild(f) = f(M) = N


f ist surjektiv, wenn jedes Element von N ein Urbild hat, d.h. für jedes n ∈ N gibt es mindestens ein m ∈ M mit f(m) = n. Formal, ∀n ∈ N : f⁻¹({n}) ≠ ∅

(f ist surjektiv) ⟺ (∃h : N→M mit f ◦ h = Idₙ)


Sei Φ:V →W eine lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen und q:=dim(V) und p:=dim(W).

Φ ist surjektiv ⟺ Bild(Φ_B) ist Erzeugendensystem. ⟺  Φ ist Epimorphismus ⟹ q ≥ p

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Welche Voraussetzungen muss eine Funktion erfüllen, damit sie bijektiv ist?

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Eine Funktion f : M→N heißt bijektiv, falls sie injektiv und surjektiv ist


f ist bijektiv genau dann, wenn es für jedes n ∈ N genau ein m ∈ M gibt mit f(m) = n. Die Elemente von M und N entsprechen sich unter f also Eins- zu-Eins, formal 

∀ n ∈ N : |f ⁻¹({n})| =1


Sind M und N endlich, so folgt, dass M und N gleich viele Elemente haben, also |M| = |N|. Ist f bijektiv, so gibt es also für jedes n ∈ N ein eindeutig bestimmtes m ∈ M mit f(m) = n. Man bezeichnet dieses Element mit f ⁻¹(n), so dass für alle n ∈ N gilt, f ⁻¹({n}) = {f ⁻¹(n)}.


Sei Φ∶ V →W eine lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen und q:=dim(V) und p:=dim(W).

Φ ist bijektiv ⟺ Φ_B ist injektiv und Bild(Φ_B) ist Basis von W. ⟺ Φ ist Isomorphismus ⟹ q = p

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Untervektorraum

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Eine Teilmenge W ⊆ V heißt 𝕂 -Untervektorraum, falls gilt:

(U1) o ∈ W.
(U2) ∀ x, y ∈ W: x + y ∈ W.
(U3) ∀ x ∈ W ∀ λ ∈ 𝕂: λx ∈ W.

Man schreibt auch W<V für W ist ein Unterraum von V

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Invertierbarkeit und Bijektivität

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Eine Matrix A ∈ ℝ² ͯ ² heißt invertierbar, falls Φ := Φₐ
bijektiv ist. In diesem Fall heißt A⁻¹:=D(Φ⁻¹) die zu A inverse Matrix. A also genau dann invertierbar, falls es Matrizen B,C ∈ℝ² ͯ ² gibt mit AB=1=CA, und in diesem Fall gilt B=C = A⁻¹.

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Eine Abbildung Φ : V → W heißt linear, falls

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für alle λ ∈ 𝕂 und x, y ∈ V gilt: 

(L1) Φ(λx) =λΦ(x)

(L2) Φ(x+ y) =Φ(x)+Φ(y)

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Q:

(logischen) Aussage

A:

Ausdruck, von dem eindeutig bestimmt ist, ob er wahr oder falsch ist

Q:

Verknüpfung von Aussagen

A:

Seien A und B zwei Aussagen.
(a) Die Aussage (¬A) ist die Aussage „Die Aussage A ist falsch.“ und heißt die Negation von A.

(b) Die Aussage (A ∧ B) ist die Aussage „Die Aussage A ist wahr und die Aussage B ist wahr.“ und heißt die Konjunktion von A und B.

(c) Die Aussage (A ∨ B) ist die Aussage „Mindestens eine der beiden Aussagen A und B ist wahr.“ Sie heißt die (nicht-exklusive) Disjunktion von A und B.

Q:

Implikation von A nach B und Äquivalenz von A und B

A:

(A ⇒ B) :⇔ ((¬A) ∨ B)

(A ⇔ B) :⇔ ((A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A))

Q:

Definition 1.3.2. Eine Funktion oder Abbildung

A:

Eine Funktion oder Abbildung ist ein Tripel (M,N, f) bestehend aus zwei Mengen M und N und einer Zuordnungsvorschrift f, die jedem m ∈ M ein eindeutiges Element f(m) ∈ N zuordnet. M heißt dann Definitionsbereich der Funktion, N heißt ihr Wertebereich und (M,N, f) heißt eine Funktion von M nach N. Die Relation 

gr(f) := {(m, n) ∈ M×N | n = f(m)} ⊆ M×N

heißt der Graph der Funktion.

Q:

Bild von A

A:

Ist A ⊆M, so heißt f(A) := {n ∈ N | ∃a ∈ A : f(a) = n} das Bild von A

Seien V und W 𝕂-Vektorräume und Φ ∈ Hom_𝕂(V,W).

Bild(Φ) ist ein Unterraum von W.

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Q:

Restriktion von f auf A (bzw. Korestriktion von f auf B)

A:

Ist A ⊆ M (bzw. Bild(M,N, f) ⊆ B ⊆ N), so heißt die Funktion f|ₐ : A→N, a ↦ f(a) (bzw. f|ᴮ : M→B, m↦ f(m)) die Restriktion von f auf A (bzw. Korestriktion von f auf B)

Q:

Urbild von B

A:

Ist B⊆N, so heißt f−1(B) := {m∈M | f(m) ∈B} das Urbild von B

Q:

Surjektivität

A:

Eine Funktion f : M→N heißt surjektiv, falls Bild(f) = f(M) = N


f ist surjektiv, wenn jedes Element von N ein Urbild hat, d.h. für jedes n ∈ N gibt es mindestens ein m ∈ M mit f(m) = n. Formal, ∀n ∈ N : f⁻¹({n}) ≠ ∅

(f ist surjektiv) ⟺ (∃h : N→M mit f ◦ h = Idₙ)


Sei Φ:V →W eine lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen und q:=dim(V) und p:=dim(W).

Φ ist surjektiv ⟺ Bild(Φ_B) ist Erzeugendensystem. ⟺  Φ ist Epimorphismus ⟹ q ≥ p

Q:

Welche Voraussetzungen muss eine Funktion erfüllen, damit sie bijektiv ist?

A:

Eine Funktion f : M→N heißt bijektiv, falls sie injektiv und surjektiv ist


f ist bijektiv genau dann, wenn es für jedes n ∈ N genau ein m ∈ M gibt mit f(m) = n. Die Elemente von M und N entsprechen sich unter f also Eins- zu-Eins, formal 

∀ n ∈ N : |f ⁻¹({n})| =1


Sind M und N endlich, so folgt, dass M und N gleich viele Elemente haben, also |M| = |N|. Ist f bijektiv, so gibt es also für jedes n ∈ N ein eindeutig bestimmtes m ∈ M mit f(m) = n. Man bezeichnet dieses Element mit f ⁻¹(n), so dass für alle n ∈ N gilt, f ⁻¹({n}) = {f ⁻¹(n)}.


Sei Φ∶ V →W eine lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen und q:=dim(V) und p:=dim(W).

Φ ist bijektiv ⟺ Φ_B ist injektiv und Bild(Φ_B) ist Basis von W. ⟺ Φ ist Isomorphismus ⟹ q = p

Q:

Untervektorraum

A:

Eine Teilmenge W ⊆ V heißt 𝕂 -Untervektorraum, falls gilt:

(U1) o ∈ W.
(U2) ∀ x, y ∈ W: x + y ∈ W.
(U3) ∀ x ∈ W ∀ λ ∈ 𝕂: λx ∈ W.

Man schreibt auch W<V für W ist ein Unterraum von V

Q:

Invertierbarkeit und Bijektivität

A:

Eine Matrix A ∈ ℝ² ͯ ² heißt invertierbar, falls Φ := Φₐ
bijektiv ist. In diesem Fall heißt A⁻¹:=D(Φ⁻¹) die zu A inverse Matrix. A also genau dann invertierbar, falls es Matrizen B,C ∈ℝ² ͯ ² gibt mit AB=1=CA, und in diesem Fall gilt B=C = A⁻¹.

Q:

Eine Abbildung Φ : V → W heißt linear, falls

A:

für alle λ ∈ 𝕂 und x, y ∈ V gilt: 

(L1) Φ(λx) =λΦ(x)

(L2) Φ(x+ y) =Φ(x)+Φ(y)

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