Mathematik an der Hochschule Mittweida

Karteikarten und Zusammenfassungen für Mathematik an der Hochschule Mittweida

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Aussage Definition

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Negation von Quantoren

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Menge Definition

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Leere Menge Definition

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Definition n-Tupel

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Wie notiert man eine Menge

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Wann sind zwei Mengen gleich?

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Unterschiede zwischen Menge und Tupel

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Bild und Urbild einer Funktion

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Definition injektiv

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Definition bijektiv

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Definition Umkehrfunktion

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Mathematik

Aussage Definition

Eine Aussage ist ein sprachliches Gebilde, dem, abhängig von einem Kontext und
auf sinnvoller Art und Weise, ein Wahrheitswert „wahr“ oder „falsch“ bzw. 1 oder
0 zugeordnet werden kann.

Mathematik

Negation von Quantoren

Negiert man eine Quantorenformeln, dann werden alle ∀ durch ∃ und alle ∃ durch ∀
ersetzt. Die Aussagen, welche zum Quantor gehören, bleiben wie sie sind und die Aussage
nach dem „:“ wird negiert.

Mathematik

Menge Definition

Eine Menge ist eine Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten zu einem
Ganzen, durch welche die Menge eindeutig festgelegt wird. Die Objekte der Menge
nennen wir Elemente und schreiben x ∈ A für „x ist ein Element von A“.

Mathematik

Leere Menge Definition

Eine Menge, welche kein Element enthält, nennen wir leer bzw. leere Menge und
verwenden für diese das Symbol ∅ bzw. {}.

Mathematik

Definition n-Tupel

Als n-Tupel bezeichnen wir eine Zusammenfassung von n (nicht notwendigerweise
verschiedenen) Objekten a1, . . . , an in einer festgelegten Reihenfolge. Wir notieren
dies als durch Komma getrennte Liste in runden Klamern, also: (a1, a2, . . . , an).

Ein 2-Tupel (a1, a2) nennen wir auch geordnetes Paar, ein 3-Tupel auch Tripel.

Mathematik

Wie notiert man eine Menge

Wir notieren Mengen in geschweiften Klammern. Innerhalb der Klammern werden die
Elemente gelistet und durch Kommata getrennt, z.B. ist die Menge der natürlichen
Zahlen
N = {0, 1, 2, . . . }.

Mathematik

Wann sind zwei Mengen gleich?

Zwei Mengen A und B sind gleich, wenn Sie genau die selben Elemente enthalten:
A = B ⇐⇒ ∀x(x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B)

Dies nennt man auch das Extensionaltitätsprinzip

Irrele-
vant ist somit die Reihenfolge und Häufigkeit.

Mathematik

Unterschiede zwischen Menge und Tupel

Die Unterschiede von einem n-Tupel zu einer Menge sind:
• n-Tupel hat nur endlich viele, genau n, Einträge
• Die Reihenfolge und Häufigkeit spielen bei einem n-Tupel eine Rolle, so sind
z.B. „(1, 2)“, „(2, 1)“ und „(1, 2, 1)“ drei verschiedene Tupel.

Mathematik

Bild und Urbild einer Funktion

hörige y Bild oder Wert von x unter f. Wir notieren f(x) für dieses y.
Für C ⊆ A nennen wir f(C) := {f(x) : x ∈ C} das Bild von C unter f bzw.
für C = A auch nur das Bild von f.
Für D ⊆ B nennen wir f−1(D) := {x ∈ A | f(x) ∈ D} das Urbild von D
bzgl. f.

Mathematik

Definition injektiv

Eine Abbildung f : A → B heißt injektiv, wenn man eindeutig von den Funkti-
onswerten auf die Argumente schließen kann. Formal:
∀x1, x2 ∈ A : f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2.

Mathematik

Definition bijektiv

Sie heißt bijektiv, falls sie injektiv und surjektiv ist.

Mathematik

Definition Umkehrfunktion

Sei f : A → B eine Funktion. Wir nennen g : B → A eine Umkehrfunktion von
f, falls g(f(x)) = x für alle x ∈ A und f(g(y)) = y für alle y ∈ B 

Ist g eine Umkehrfunktion von f, so ist auch f eine Umkehrfunktion von g.

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