Mathematik an der Hochschule Mittweida

Eine Aussage ist ein sprachliches Gebilde, dem, abhängig von einem Kontext und
auf sinnvoller Art und Weise, ein Wahrheitswert „wahr“ oder „falsch“ bzw. 1 oder
0 zugeordnet werden kann.

Negiert man eine Quantorenformeln, dann werden alle ∀ durch ∃ und alle ∃ durch ∀
ersetzt. Die Aussagen, welche zum Quantor gehören, bleiben wie sie sind und die Aussage
nach dem „:“ wird negiert.

Eine Menge ist eine Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten zu einem
Ganzen, durch welche die Menge eindeutig festgelegt wird. Die Objekte der Menge
nennen wir Elemente und schreiben x ∈ A für „x ist ein Element von A“.

Eine Menge, welche kein Element enthält, nennen wir leer bzw. leere Menge und
verwenden für diese das Symbol ∅ bzw. {}.

Als n-Tupel bezeichnen wir eine Zusammenfassung von n (nicht notwendigerweise
verschiedenen) Objekten a1, . . . , an in einer festgelegten Reihenfolge. Wir notieren
dies als durch Komma getrennte Liste in runden Klamern, also: (a1, a2, . . . , an).

Ein 2-Tupel (a1, a2) nennen wir auch geordnetes Paar, ein 3-Tupel auch Tripel.

Wir notieren Mengen in geschweiften Klammern. Innerhalb der Klammern werden die
Elemente gelistet und durch Kommata getrennt, z.B. ist die Menge der natürlichen
Zahlen
N = {0, 1, 2, . . . }.

Zwei Mengen A und B sind gleich, wenn Sie genau die selben Elemente enthalten:
A = B ⇐⇒ ∀x(x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B)

Dies nennt man auch das Extensionaltitätsprinzip

Irrele-
vant ist somit die Reihenfolge und Häufigkeit.

Die Unterschiede von einem n-Tupel zu einer Menge sind:
• n-Tupel hat nur endlich viele, genau n, Einträge
• Die Reihenfolge und Häufigkeit spielen bei einem n-Tupel eine Rolle, so sind
z.B. „(1, 2)“, „(2, 1)“ und „(1, 2, 1)“ drei verschiedene Tupel.

hörige y Bild oder Wert von x unter f. Wir notieren f(x) für dieses y.
Für C ⊆ A nennen wir f(C) := {f(x) : x ∈ C} das Bild von C unter f bzw.
für C = A auch nur das Bild von f.
Für D ⊆ B nennen wir f−1(D) := {x ∈ A | f(x) ∈ D} das Urbild von D
bzgl. f.

Eine Abbildung f : A → B heißt injektiv, wenn man eindeutig von den Funkti-
onswerten auf die Argumente schließen kann. Formal:
∀x1, x2 ∈ A : f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2.

Sie heißt bijektiv, falls sie injektiv und surjektiv ist.

Sei f : A → B eine Funktion. Wir nennen g : B → A eine Umkehrfunktion von
f, falls g(f(x)) = x für alle x ∈ A und f(g(y)) = y für alle y ∈ B 

Ist g eine Umkehrfunktion von f, so ist auch f eine Umkehrfunktion von g.