Statistik an der Hochschule für nachhaltige Entwicklung

Karteikarten und Zusammenfassungen für Statistik an der Hochschule für nachhaltige Entwicklung

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Das arithmetische Mittel ist für nominal skalierte Merkmale ungeeignet.

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Binomialverteilung: (Urnenmodell mit Zurücklegen)

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Hypergeometrische Verteilung: (Urnenmodell ohne Zurücklegen)

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Mehrstufige Zufallsexperimente 

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Konfidenzintervall 

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Zufallsvariablen 

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Exponentialverteilung: Anwendungsbeispiel 

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Kombination vs. Variation

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Varianz 

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Konvergenz 

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Die empirische Varianz beschreibt die mittlere quadratische Abweichung vom arithmetischen Mittel

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Statistik

Das arithmetische Mittel ist für nominal skalierte Merkmale ungeeignet.

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Binomialverteilung: (Urnenmodell mit Zurücklegen)

Mit der Binomialverteilung kann man Ereignisse beschreiben, die in zwei Alternativen auftreten, die gleich oder ungleich wahrscheinlich sein können und voneinander unabhängig sind.

 Die Wahrscheinlichkeit wird berechnet mit: 𝑃(𝑋 = 𝑘) = ( 𝒏 𝒌 ) 𝒑 𝒌 (𝟏 − 𝒑) 𝒏−𝒌 

• n ist der Parameter für die Anzahl der Versuche 

p ist die Einzelwahrscheinlichkeit des untersuchten Ereignisses

• k beschreibt wie oft das Ereignis bei n Versuchen eintritt 

• Der Binomialkoeffizient ( 𝒏 𝒌 ) = 𝒏! 𝒌!(𝒏−𝒌)! kann mit der Funktion nCr des Taschenrechners berechnet werden:

Statistik

Hypergeometrische Verteilung: (Urnenmodell ohne Zurücklegen)

Die hypergeometrische Verteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei N gegebenen Elementen, von denen M die gewünschte Eigenschaft besitzen, beim Herausgreifen von n Probestücken genau k Treffer erzielt werden.

 𝑷(𝑿 = 𝒌) = ( 𝑴 𝒌 ) ∙ ( 𝑵−𝑴 𝒏−𝒌 ) /( 𝑵 𝒏 )

Statistik

Mehrstufige Zufallsexperimente 


In mehrstufigen Zufallsexperimenten wird der Ereignisraum größer:

§ Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis beim i-ten Versuch zum ersten Mal eintritt ist: 𝑝;

• Wiederholter Münzwurf: Die Wahrscheinlichkeit beim dritten Münzwurf zum ersten Mal „Kopf“ zu erhalten liegt bei 12,5%


Statistik

Konfidenzintervall 

Ein Konfidenzintervall, kurz KI, ist in der Statistik ein Intervall, das die Präzision der Lageschätzung eines Parameters angeben soll. Das Konfidenzintervall gibt den Bereich an, der mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit den Parameter einer Verteilung einer Zufallsvariablen einschließt.

Statistik

totale Wahrscheinlichkeit 


  • Mit der totalen Wahrscheinlichkeit, kann man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ausrechnen, wenn man seine bedingten Wahrscheinlichkeiten kennt und die Wahrscheinlichkeiten der Bedingungen.

  • Damit lassen sich mehrstufige Zufallsexperimente analysieren, bei denen zwei oder mehrere einfache Zufallsexperimente hintereinandergeschaltet sind


Statistik

Zufallsvariablen 


  • Eine Zufallsvariable 𝑋, ist eine Funktion, die jedem Elementarereignis 𝜔 aus einem Ereignisraum Ω eines Zufallsexperiments genau eine reelle Zahl 𝑋 𝜔 zuordnet.

  • Die Einführung von Zufallsvariablen soll dabei helfen, das Berechnen von Wahrscheinlichkeiten bei der praktischen Anwendung von stochastischen Modellen zu vereinfachen.

  • Es entfällt das „mühsame“ Rechnen mit Elementarereignissen.


Statistik

Exponentialverteilung: Anwendungsbeispiel 


  • Radioaktiver Zerfall

  • Versicherungsmathematik

  • Zeit zwischen zwei Ereignissen, wenn das eine vom anderen beeinflusst wird: z.B. Zeit zwischen zwei Telefonanrufen


Statistik

Kombination vs. Variation


Kombination (ungeordnete Stichprobe) - Variation (geordnete Stichprobe) 


Kombination:

Eine Kombination oder ungeordnete Stichprobe ist in der Kombinatorik eine Auswahl von Objekten aus einer gegebenen Grundmenge, die nicht alle Objekte der Grundmenge enthalten muss und bei der die Reihenfolge unberücksichtigt bleibt.

Statistik

Varianz 

Die Varianz ist ein Streuungsmaß, welches die Verteilung von Werten um den Mittelwert kennzeichnet. Sie ist das Quadrat der Standardabweichung. Berechnet wird die Varianz, indem die Summe der quadrierten Abweichungen aller Messwerte vom arithmetischen Mittel durch die Anzahl der Messwerte dividiert wird.

Statistik

Konvergenz 

In der Mathematik ist Konvergenz ein Meta-Konzept, das allgemein die Annäherung einer unendlichen, geordneten Struktur von Objekten an ein Ziel-Objekt ausdrückt.

Konvergenz = "Annäherung" 

Statistik

Die empirische Varianz beschreibt die mittlere quadratische Abweichung vom arithmetischen Mittel

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