Mathe an der Hochschule Bochum

Karteikarten und Zusammenfassungen für Mathe an der Hochschule Bochum

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Beispielhafte Karteikarten für Mathe an der Hochschule Bochum auf StudySmarter:

Was sind die wichtigsten Rechenregeln bzgl. des Betrags für komplexe Zahlen?

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Was sind die wichtigsten Rechenregeln bzgl. der komplexen Konjugation?

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Wie beweist man für z∈ℂ, dass z·z*=|z| ?

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Wie zeigt man (z·w)*=z*·w* bzw. (z+w)*=z*+w* für z,w∈ℂ?

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Wie zeigt man, dass |z·w|=|z|·|w|?

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Wie beweist man die Dreieckungleichung |z+w|≤|z|+|w| für komplexe Zahlen?

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Was funktioniert in ℂ, was in ℝ bewiesen wurde?

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Warum lässt sich der Körper der komplexen Zahlen nicht (wie die reellen Zahlen) anordnen?

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Wie löst man ((1+z)/(1-z))²=1 , wenn z eine komplexe Zahl ist?

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Wie löst man (1-3i)·z*=z*-3+i , wenn z eine komplexe Zahl ist?

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Wie löst man |z-1+2i|=|z+i-3|?

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Wie löst man Re(z)+Im(z)=4?

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Beispielhafte Karteikarten für Mathe an der Hochschule Bochum auf StudySmarter:

Mathe

Was sind die wichtigsten Rechenregeln bzgl. des Betrags für komplexe Zahlen?
Für z,w∈ℂ, gilt:

|z|^2=z·z*  

|z·w|=|z|·|w|

|Re z|≤ |z| und |Im z|≤|z|  (folgt aus Definition)

|z+w|≤|z|+|w| (Dreiecksungleichung)

Mathe

Was sind die wichtigsten Rechenregeln bzgl. der komplexen Konjugation?
Seien z und w Elemente aus den komplexen Zahlen:

(z·w)*=z*·w* sowie (z+w)*=z*+w*
z=z* genau dann, wenn z reell ist. (Folgt aus Definitionen)
(z*)*=z (Folgt aus Definitionen)

Mathe

Wie beweist man für z∈ℂ, dass z·z*=|z| ?
Man schreibe z:=x+iy, so folgt:

(x+iy)(x-iy)=x²-(iy)²=x²+y²

und |x|=√(x²+y²)

Mathe

Wie zeigt man (z·w)*=z*·w* bzw. (z+w)*=z*+w* für z,w∈ℂ?
Man schreibt z:=a+ib und w:=x+iy und rechnet nach.

Mathe

Wie zeigt man, dass |z·w|=|z|·|w|?
Am schnellsten und schönsten:

|zw|^2=zw·(zw)*=zz*·ww*=|z|^2·|w|^2 ⇔ |z·w|=|z|·|w|

Ansonsten z:=a+ib und w:=x+iy

Mathe

Wie beweist man die Dreieckungleichung |z+w|≤|z|+|w| für komplexe Zahlen?
Aufwendig mit |z+w|=|(a+x)+i(b+y)|=√((a+x)²+(b+y)²) und das gleichsetzen mit |z|+|w|.

Mathe

Was funktioniert in ℂ, was in ℝ bewiesen wurde?
Es funktionieren diejenigen Dinge nicht, die Anordnung erfordern. Der Rest klappt. Insbesondere dasjenige, was aus den Körperaxiomen hergeleitet wurde.

Mathe

Warum lässt sich der Körper der komplexen Zahlen nicht (wie die reellen Zahlen) anordnen?
In einem angeordneten Körper gilt für ein Element a≠0 stets a²>0. Wegen i²=-1<0 und i≠0 gilt dies in ℂ nicht, und daher kann ℂ nicht angeordnet sein.

Mathe

Wie löst man ((1+z)/(1-z))²=1 , wenn z eine komplexe Zahl ist?
Aufgaben dieser Art können meist wie normale Gleichungen in den reellen Zahlen behandelt werden (wegen des Quadrats)

Mathe

Wie löst man (1-3i)·z*=z*-3+i , wenn z eine komplexe Zahl ist?
Schreibe z:=a+ib und setze Imaginär- mit Realteil gleich.

Mathe

Wie löst man |z-1+2i|=|z+i-3|?
Schreibe z:=a+ib, sortiere Imaginärteil und Realteil, verwende √(Re(z)²+Im(z)²)

Hier können oftmals affin-lineare Funktionen als Lösungsmenge herauskommen.

Mathe

Wie löst man Re(z)+Im(z)=4?
In der Gaußschen Zahlenebene ist Re(z) die Abzisse und Im(z) die Ordinate. Konventionelle Schreibweise x+y=4

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