Statistik an der FernUniversität in Hagen

Karteikarten und Zusammenfassungen für Statistik an der FernUniversität in Hagen

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Grundlage der Streuungsmaße Varianz und Standardabweichung:

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Eignung des arithmetischen Mittels als mittleres
Lagemaß

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Relative Häufigkeitsverteilung zweier Merkmale

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Eigenschaften einer symmetrischen Verteilung:

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Grundlage der mittleren absoluten Abweichung
Abweichung

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Grundlagen des Lagemaßes geometrisches Mittel

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Grundlage der (Un -)Abhängigkeit von Merkmalen Merkmalen:

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Grundlage der Randverteilung

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Grundlagen der linearen Regressionsfunktion

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Eigenschaften einer linksschiefen -/rechtsschiefen Verteilung Verteilung

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Grundlage der Häufigkeitsverteilung:

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Definition von Lagemaße

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Statistik

Grundlage der Streuungsmaße Varianz und Standardabweichung:

Die Varianz gibt als Kenngröße die durchschnittliche quadratische Abweichung aller Beobachtungswerte von dem Lagemaße des arithmetischen Mittels wieder. Die Berechnung der quadratischen Abweichung der einzelnen Beobachtungswerte vom arithmetischen Mittel hat den Vorteil, dass größe größere Abstände vom arithmetischen Mittel durch das Quadrieren stärker berücksichtigt werden. 

Dies hat aber auch zur Folge, dass sich teils sehr hohe Werte für die Ken Kenngr öße der Varianz ergeben. Bei der Varianz handelt es sich sozusagen um eine „quadrierte“ Kenngröße. Zieht man folglich die Quadratwurzel aus der Varianz, gelangt man m meis t zu einer geringeren Kenngröße, die als
Standardabweichung bezeichnet wird. Die Standardabweichung ist also nichts anderes als die Quadratwurzel aus der Varianz.

Statistik

Eignung des arithmetischen Mittels als mittleres
Lagemaß

Das arithmetische Mittel wird meist als eines der Wichtigsten aller Lagemaße bezeichnet. Dabei ist das arithmetische Mittel wenig robust gegenüber Ausreißern innerhalb der Beobachtungswerte, sodass der „Durchschnitt“ nicht unbedingt in der Mitte der Verteilung selbst liegt.

Das arithmetische Mittel ist umso weniger zur Beschreibung der durchschnittlichen Lage einer Verteilung geeignet, je stärker ein e Verteilung von den Eigenschaften der Eingipfligkeit und Symmetrie abweicht.

Statistik

Relative Häufigkeitsverteilung zweier Merkmale

Die relativen Häufigkeiten der einzelnen Merkmalskombinationen errechnen sich wie die relativen Häufigkeiten bei nur einem
Merkmal.

Es ist also die absolute Anzahl der
jeweiligen Merkmalskombinationen durch die Gesamtanzahl aller erhobenen Merkmalskombinationen 𝑛zu dividieren: 𝑓𝑥𝑗,𝑦𝑘=ℎ𝑥𝑗,𝑦𝑘𝑛.
Dividiert man die Anzahlen der Korrelations
Korrelations-und Kontingenztabelle durch deren Gesamtanzahl aller Merkmalskombinationen 𝑛=50, gelangt man zu folgenden relativen
Häufigkeitsverteilungen:

Statistik

Eigenschaften einer symmetrischen Verteilung:

Eine Verteilung wird dann als symmetrisch bezeichnet, wenn die Beobachtungswerte der Merkmalsausprägungen um den gleichen Betrag sowohl nach unten als auch nach oben vom arithmetischen Mittel abweichen und zusätzlich in ihren jeweiligen relativen Häufigkeiten übereinstimmen. 

Dadurch ergibt sich grafisch der gleiche Kurvenverlauf sowohl links als auch rechts vom arithmet arithmetisc hen Mittel, wobei das arithmetische Mittel in der Mitte der Verteilung liegt und somit stets mit dem Median übereinstimmt.

Statistik

Grundlage der mittleren absoluten Abweichung
Abweichung

Die mittlere absolute Abweichung stellt die durchschnittliche absolute Abweichung der Beobachtungswerte von einem bestimmten frei wählbaren Mittelwert dar. 

Durch die Bildung von Beträgen wird sowohl die Abweichung nach oben als auch nach unten vom Mittelwert mit positiven Werten berücksicht igt . 

Dabei gilt, dass die Summe der absoluten Abweichungen umso geringer wird, je näher der frei wählbare Mittelwert beim Wert des Medians liegt.

Die mittlere ab sol ute Abweichung ist mithin genau dann minimal, wenn der gewählte Mittelwert dem Median entspricht.

Statistik

Grundlagen des Lagemaßes geometrisches Mittel

Das geometrische Mittel gibt den prozentualen Durchschnittswert aller Beobachtungswerte der Merkmalsausprägungen an, wenn die die Beobachtungswerte statistisch prozentual erhoben wurden. 

Da prozentuale Erhebungen nur bei Merkmalen sinnvoll sind, dessen Abstände sich sinnvoll interpret interpretier en lassen, wird das geometrische Mittel nur für verhältnis verhältnis-skalierte oder absolut absolut-skalierte Merkmale berechnet.

Statistik

Grundlage der (Un -)Abhängigkeit von Merkmalen Merkmalen:

Zwischen zwei Merkmalen
𝑋 und 𝑌 kann eine Abhängigkeit oder Unabhängigkeit bestehen. Dabei besagt die Abhängigkeit zweier Merkmale 𝑋und 𝑌, dass ein gewisser
Zusammenhang zwischen den beiden Merkmalen besteht. Das bedeutet, dass mittels des Wissens einer Merkmalsausprägung in gewiss em Maße auf die
Merkmalsausprägung des anderen Merkmals geschlossen werden kann.

Die Unabhängigkeit hingegen besagt, dass keinerlei Zusammenh ang zwischen den beiden Merkmalen
besteht, entsprechend existiert keinerlei Zusammenhang zwischen den Merkmalsausprägungen.

Beispiel der Abhängigkeit zweier Merkmale:
Die beiden Merkmale Körpergröße und Gewicht sind beispielsweise in gewissem Maße abhängig voneinander.

So ist davon auszugehe n, dass mit steigender Körpergröße auch das Gewicht in gewissem Maße steigt.

Beispiel der Unabhängigkeit zweier Merkmale:
Die beiden Merkmale Geschlecht und Nationalität sind beispielsweise unabhängig voneinander. Mittels des Wissens über das Geschlechts eines Menschen lässt sich keine Aussage über dessen Herkunft treffen.

Statistik

Grundlage der Randverteilung

Die Randverteilung bei einer Häufigkeitstabelle zweier Merkmale gibt die Häufigkeiten/Verteilung nur
eines Merkmals an, wobei das andere Merkmal vollkommen unberücksichtigt bleibt.

Die Randverteilung liefert uns also die Daten der Häufigkeiten/Verteilung, die wir erhalten hätten, hät ten wir lediglich ein Merkmal erhoben. 

Die Erhebung mehrerer Merkmale führt also zu keinerlei Informationsverlust in Bezug auf ein einzelnes Merkmal.

Statistik

Grundlagen der linearen Regressionsfunktion

Die lineare Regressionsfunktion soll den mathematischen Zusammenhang zwischen zwei annähernd linear zusammenhängenden Merkmal
Merkmalen wiedergeben. Dabei sind die
Variablen der allgemeinen linearen Regressionsfunktion so zu wählen, dass die Summe der quadratischen Abweichungen der tatsäc hli chen Merkmalsausprägungen von der
Regressionsgeraden so gering wie möglich sind. Die Abweichungen von der Regressionsgeraden sind dann so gering wie möglich, w wenn die Regressionsgerade durch den
Punkt (ҧ 𝑥,ത 𝑦), also durch den Punkt aus der Kombination der arithmetischen Mittel der Merkmale 𝑋und 𝑌verläuft. Mittels eines Punktes lässt sich aber noch keine Gerade
zeichnen, weshalb die sogenannten Regressionskoeffizienten 𝑎und 𝑏der allgemeinen Regressionsfunktion zu bestimmen sind. Der Regressionskoeffizient 𝑎gibt den
Schnittpunkt der y y-Achse wieder, womit ein zweiter Punkt vorhanden ist. Der Regressionskoeffizient 𝑏hingegen gibt die notwendige Steigung zwischen den beiden Punkten
wieder. Ist der Anfangspunkt der Regressionsgeraden und die Steigung eindeutig bestimmt, kann die Regressionsgerade Schätzwer Schätzwerte für die Merkmalsausprägungen ො 𝑦𝑖bei
Veränderung des Beobachtungswertes der Merkmalsausprägung 𝑥𝑖liefern.

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Eigenschaften einer linksschiefen -/rechtsschiefen Verteilung Verteilung

Eine Verteilung wird dann als „schief“ bezeichnet, wenn sich eine hohe Anzahl der Beobachtungswerte der Merkmalsausprägungen am Rand einer Verteilung befinden. 

Man unterscheidet zwischen der linkssteilen/rechtsschiefen und der rechtssteilen/linksschiefen Verteilung:

-Linkssteile / Rechtsschiefe Verteilung: 

Befinden sich die meisten Beobachtungswerte am unteren Ende (Anfang) der Verteilung, kommt es zu einem schnellen und steilen Anstieg der Verteilung und einem darauffolgenden Abflachen. Eine solche Verteilung bezeichnet man als linkssteile oder rechts rechtsschiefe Verteilung.

-Rechtssteile / Linksschiefe Verteilung:

Befinden sich die meisten Beobachtungswerte am oberen Ende (Ende) der Verteilung, kommt es zu einem gemächlichen Anstieg der Verteilung und einem darauffolgenden schnellen Abstieg der Verteilung. Liest man die Grafik von rechts, spricht man auch von einem steilen Anstieg und einem
darauffolgenden abflachen nach links.

Eine solche Verteilung bezeichnet man als rechtssteile oder linksschiefe Verteilung.

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Grundlage der Häufigkeitsverteilung:

Erhebt man große Mengen an Datenmaterial, so ist es sehr wahrscheinlich, gerade bei diskreten Merkmalen, dass bestimmte Merkmalsausprägungen mehrmals vorkommen.
Betrachtet man beispielsweise das Merkmal „Note“ aller Studenten einer Klausur, so kommen mehrfach die Merkmalsausprägungen „ seh r gut“, „gut“, … vor.

Bei der Häufigkeitsverteilung werden nun die Anzahlen der eintretenden Merkmalsausprägungen gezählt, um das Datenmaterial übersichtli übersichtlich darzustellen und durch Vergleichsmöglichkeiten Rückschlüsse auf Zusammenhänge ziehen zu können. 

Dabei unterscheidet man zwischen den absoluten und r relativen Häufigkeiten.

Statistik

Definition von Lagemaße

Definition von Lagemaße: Bei Lagemaße handelt es sich um Kenngrößen, die die Häufigkeitsverteilung von Merkmalsausprägungen weiter charakterisieren.

Dabei beschreiben die Lagemaße durch Mittelwerte eine gewisse zentrale „Tendenz“ der Häufigkeitsverteilung. Dies kann beispielsweise darin bestehen, die Merkmalsausprägung zu finden, welche am häufigsten vorkommt oder auch den Durchschnittswert aller Merkmalsausprägungen zu bestimmen. Es lassen sichverschiedene Lagemaße (Mittelwerte) unterscheiden, wobei alle versuchen mittels einer einzigen Kenngröße die beobachteten Merkmalsausprägungen möglichst gut zu repräsentieren.

Achtung: Lagemaße (Mittelwerte) geben nur Auskunft über die Lage, nicht aber über die Form der Verteilung

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