Statistik

Karteikarten und Zusammenfassungen für Statistik an der FernUniversität in Hagen

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Beispielhafte Karteikarten für Statistik an der FernUniversität in Hagen auf StudySmarter:

Grundlage der (Un -)Abhängigkeit von Merkmalen Merkmalen:

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Nominalskala

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Skalierung von Merkmalsausprägungen

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Grundlagen des Korrelationskoeffizienten nach Spearman

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Definition der Korrelation und Kontingenz

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Unabhängigkeiten von Merkmalen

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Definition des Korrelationskoeffizienten und Kontingenzkoeffizienten:

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Grundlage der Randverteilung

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Relative Häufigkeitsverteilung zweier Merkmale

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Allgemeine Notation der Kombinationsmöglichkeiten zweier Merkmale

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Grundlagen des Korrelationskoeffizienten nach  Bravais-Pearson

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Problematik der Bindungen beim Korrelationskoeffizienten nach Spearman
Spearman:

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Statistik

Grundlage der (Un -)Abhängigkeit von Merkmalen Merkmalen:

Zwischen zwei Merkmalen
𝑋 und 𝑌 kann eine Abhängigkeit oder Unabhängigkeit bestehen. Dabei besagt die Abhängigkeit zweier Merkmale 𝑋und 𝑌, dass ein gewisser
Zusammenhang zwischen den beiden Merkmalen besteht. Das bedeutet, dass mittels des Wissens einer Merkmalsausprägung in gewiss em Maße auf die
Merkmalsausprägung des anderen Merkmals geschlossen werden kann.

Die Unabhängigkeit hingegen besagt, dass keinerlei Zusammenh ang zwischen den beiden Merkmalen
besteht, entsprechend existiert keinerlei Zusammenhang zwischen den Merkmalsausprägungen.

Beispiel der Abhängigkeit zweier Merkmale:
Die beiden Merkmale Körpergröße und Gewicht sind beispielsweise in gewissem Maße abhängig voneinander.

So ist davon auszugehe n, dass mit steigender Körpergröße auch das Gewicht in gewissem Maße steigt.

Beispiel der Unabhängigkeit zweier Merkmale:
Die beiden Merkmale Geschlecht und Nationalität sind beispielsweise unabhängig voneinander. Mittels des Wissens über das Geschlechts eines Menschen lässt sich keine Aussage über dessen Herkunft treffen.

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Nominalskala

Niveau: Niedrigstes Niveau

Art des Merkmals: Qualitative Merkmale 

Diskretes/Stetiges Merkmal: Diskret

Frage für die nächste Skala: Kann eine sinnvolle Reihenfolge gebildet werden (besser als/schlechter als)?JA⇓ 

Beispiele: Postleitzahlen, Geschlecht, Studienrichtung, Farben, Religionen, Nationalitäten, Familienstand, Blutgruppe        

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Skalierung von Merkmalsausprägungen

Nach der Erhebung von Daten, muss eine Charakterisierung der Merkmale erfolgen, um die möglichen Analysemethoden für die Merkmale ermitteln zu können. Man beginnt mit der Skalierung der Merkmale bzw. deren Merkmalsausprägungen durch eine Einordnung in die folgenden Eigenschaften:

1.Einordnung nach einer Skala: 

Nominalskala, Ordinalskala, Kardinalskala/metrische Skala

2.Einordnung nach Messbarkeit: Qualitativ, Quantitativ

3.Einordnung nach Abzählbarkeit:Diskret, Stetig

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Grundlagen des Korrelationskoeffizienten nach Spearman

Spearman:
Der Korrelationskoeffizient nach Spearman, auch als Rangkorrelationskoeffizient bezeichnet, stellt eine Maßzahl für den monot
one n Zusammenhang zwischen zwei
ordinalskalierten Merkmalen dar. Dabei spricht man von einem gleichgesinnten monotonen Zusammenhang, wenn große Werte von Merkmalsausprägungen de s einen
Merkmals mit großen Werten von Merkmalsausprägungen des anderen Merkmals einhergehen. Ein gegensinniger monotoner Zusammenhan g b esteht, wenn große Werte
des einen Merkmals mit kleinen Werten des anderen Merkmals einhergehen. Obwohl ein linearer Zusammenhang gleichzeitig immer a uch monoton ist, bedeutet dies im
Umkehrschluss nicht, dass ein monotoner Zusammenhang immer auch linear sein muss. Deshalb lässt sich die Art des Zusammenhang s m it dem Korrelationskoeffizienten
nach Spearman nicht eindeutig bestimmen.

Merke:
Ein linearer Zusammenhang ist immer monoton. Ein monotoner Zusammenhang ist jedoch nicht immer auch linear. (Exponentielle Zusammenhänge sind monoton,
aber nicht linear)

Statistik

Definition der Korrelation und Kontingenz

Der Begriff Korrelation bezeichnet einen Zusammenhang zwischen zwei ordinal
ordinal-oder metrisch skalierten Merkmalen.

Der Begriff der Kontingenz hingegen bezeichnet den
Zusammenhang zwischen zwei nominalskalierten Merkmalen.

Dabei sind die Begriffe Korrelation und Kontingenz vollkommen unabhängig davon zu verstehen, welche Art von Zusammenhang tatsächlich zwischen den Merkmalen besteht.

Statistik

Unabhängigkeiten von Merkmalen

Die Häufigkeitsverteilung aller Merkmalskombinationen stimmt mit der Multiplikation der jeweiligen Randverteilung überein. 

Das bedeutet, dass die Merkmale unabhängig
voneinander sind. Wäre nur eine Häufigkeit abgewichen, so wären die Merkmale abhängig voneinander gewesen.

Merke:
Welche der beiden Methoden zur Prüfung auf Unabhängigkeit der Merkmale man wählt, bleibt einem selbst überlassen. Jedoch muss mussman beide Methoden nicht bis
zum Ende durchführen, sobald auffällt, dass entweder eine bedingte Verteilung von der Randverteilung abweicht, oder eine ange geb ene Häufigkeit nicht mit der Multiplikation der Randverteilung übereinstimmt. Auch nur eine Abweichung führt bereits dazu, dass die Merkmale abhängig voneinander sind.

ACHTUNG:
Die Prüfung auf Unabhängigkeit trifft keine Aussage darüber, inwieweit bei ermittelter Abhängigkeit die Merkmale voneinander abhängig sind, dafür dient die
Korrelation.

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Definition des Korrelationskoeffizienten und Kontingenzkoeffizienten:

Der Korrelations
Korrelations-bzw. Kontingenzkoeffizient stellt eine mathematische Maßzahl dar, die den Grad bzw. die Ausgeprägtheit/Stärke eines Zusammenhangs wiedergibt.

Die Maßzahl ist standardisiert und soll Werte im Bereich von −1bis 1annehmen [−1,1]. Dabei besagt der Wert 0eines Koeffizienten, dass keinerlei Zusammenhang für die Art/Stärke zwischen den Merkmalen existiert. Je näher sich der Wert jedoch −1oder 1annähert, desto ausgeprägter ist der Zusammenhang.

Je nach Skalierung/Messbarkeit der Merkmale, wobei bei unterschiedlichen Skalen der beiden Merkmale die schwächere Skala ausschlaggebend ist, lassen sich
unterschiedliche Koeffizienten berechnen, die unterschiedliche Zusammenhänge der Merkmale erfassen:

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Grundlage der Randverteilung

Die Randverteilung bei einer Häufigkeitstabelle zweier Merkmale gibt die Häufigkeiten/Verteilung nur
eines Merkmals an, wobei das andere Merkmal vollkommen unberücksichtigt bleibt.

Die Randverteilung liefert uns also die Daten der Häufigkeiten/Verteilung, die wir erhalten hätten, hät ten wir lediglich ein Merkmal erhoben. 

Die Erhebung mehrerer Merkmale führt also zu keinerlei Informationsverlust in Bezug auf ein einzelnes Merkmal.

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Relative Häufigkeitsverteilung zweier Merkmale

Die relativen Häufigkeiten der einzelnen Merkmalskombinationen errechnen sich wie die relativen Häufigkeiten bei nur einem
Merkmal.

Es ist also die absolute Anzahl der
jeweiligen Merkmalskombinationen durch die Gesamtanzahl aller erhobenen Merkmalskombinationen 𝑛zu dividieren: 𝑓𝑥𝑗,𝑦𝑘=ℎ𝑥𝑗,𝑦𝑘𝑛.
Dividiert man die Anzahlen der Korrelations
Korrelations-und Kontingenztabelle durch deren Gesamtanzahl aller Merkmalskombinationen 𝑛=50, gelangt man zu folgenden relativen
Häufigkeitsverteilungen:

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Allgemeine Notation der Kombinationsmöglichkeiten zweier Merkmale

Bei der Erhebung zweier Merkmale 𝑋und 𝑌wird nicht jedes Merkmal für sich erhoben, sondern das gemeinsame Auftreten. Dabei werden die Merkmalsausprägungen gemeinsam notiert, was zu einer Vielzahl an Kombinationsmöglichkeiten der Merkmalsausprägungen führt. Die einzelnen Merkmalsa usp rägungen des Merkmals 𝑋werden
mit der Variable 𝑥𝑗beschrieben und die einzelnen Merkmalsausprägungen des Merkmals 𝑌mit der Variable 𝑦𝑘. Die allgemeine Notation einer Kombinationsmöglichkeit der Merkmalsausprägungen lautet dann:

𝑀𝑒𝑟𝑘𝑚𝑎𝑙𝑠𝑘𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑑𝑒𝑟𝐴𝑢𝑠𝑝𝑟ä𝑔𝑢𝑛𝑔𝑒𝑛:𝑥𝑗,𝑦𝑘

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Grundlagen des Korrelationskoeffizienten nach  Bravais-Pearson

Der Korrelationskoeffizient nach Bravais
Bravais-Pearson stellt eine Maßzahl für den linearen Zusammenhang zwischen zwei metrisch skalierten Merkmalen dar.

Ein linearer Zusammenhang tritt dann auf, wenn die Merkmalsausprägungen der beiden Merkmale im gleichen Verhältnis kontinuierlich steigen oder fallen, bzw. wenn das Streudiagramm für die Merkmalskombinationen eine steigende/fallende Gerade aufweist. Besteht zwischen zwei metrisch skalierten Merkmalen ein linearer Zusammenhang, so sind die Merkmalskombinationen mitunter (streng) monoton steigend bzw. fallend.

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Problematik der Bindungen beim Korrelationskoeffizienten nach Spearman
Spearman:

Als Bindungen bezeichnet man bei der Berechnung des Korrelationskoeffizienten nach Spearman Merkmalsausprägungen, deren Beoba
Beobacht ungswerte gleich sind. Treten die gleichen Beobachtungswerte für ein Merkmal mehrmals auf, führt dies zwar nicht zu Problemen bei der Sortierung, jedoch bei der Zuordnung von Rängen.

Zur Berechnung des Korrelationskoeffizienten nach Spearman ist es nämlich zwingend notwendig, dass der Rang fortlaufend für jede Merkmalsausprägung ist, sodass der letzte vergebene Rang mit der Gesamtanzahl aller Merkmalskombinationen 𝑛übereinstimmt. Treten entsprechend gleiche Beobachtungswerte (Bindungen) auf, so erhalten die gleichen
Beobachtungswerte verschiedene Ränge, was ebenfalls zu falschen Ergebnissen führt.

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