Statistik an der FernUniversität in Hagen

Karteikarten und Zusammenfassungen für Statistik im Wirtschaftsinformatik Studiengang an der FernUniversität in Hagen in Hagen

CitySTADT: Hagen

CountryLAND: Deutschland

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Beispielhafte Karteikarten für Statistik an der FernUniversität in Hagen auf StudySmarter:

Skalierung von Merkmalsausprägungen

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Grundlage der mittleren absoluten Abweichung
Abweichung

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Definition von Lagemaße

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Unterschiedliche Lagemaße

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Summenhäufigkeit

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Skalentransformation je nach Skalierung der Merkmalsausprägung



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Definition von Streuungsmaße:

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Statistische Erhebung mehrerer Merkmale

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Variablen der Grundgesamtheit und Stichprobe

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Wahrscheinlichkeitsrechnung

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Induktive/Inferenz Inferenz-Statistik:

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Allgemeine Notation der Kombinationsmöglichkeiten zweier Merkmale

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Statistik

Skalierung von Merkmalsausprägungen

Nach der Erhebung von Daten, muss eine Charakterisierung der Merkmale erfolgen, um die möglichen Analysemethoden für die Merkmale ermitteln zu können. Man beginnt mit der Skalierung der Merkmale bzw. deren Merkmalsausprägungen durch eine Einordnung in die folgenden Eigenschaften:

1.Einordnung nach einer Skala: 

Nominalskala, Ordinalskala, Kardinalskala/metrische Skala

2.Einordnung nach Messbarkeit: Qualitativ, Quantitativ

3.Einordnung nach Abzählbarkeit:Diskret, Stetig

Statistik

Grundlage der mittleren absoluten Abweichung
Abweichung

Die mittlere absolute Abweichung stellt die durchschnittliche absolute Abweichung der Beobachtungswerte von einem bestimmten frei wählbaren Mittelwert dar. 

Durch die Bildung von Beträgen wird sowohl die Abweichung nach oben als auch nach unten vom Mittelwert mit positiven Werten berücksicht igt . 

Dabei gilt, dass die Summe der absoluten Abweichungen umso geringer wird, je näher der frei wählbare Mittelwert beim Wert des Medians liegt.

Die mittlere ab sol ute Abweichung ist mithin genau dann minimal, wenn der gewählte Mittelwert dem Median entspricht.

Statistik

Definition von Lagemaße

Definition von Lagemaße: Bei Lagemaße handelt es sich um Kenngrößen, die die Häufigkeitsverteilung von Merkmalsausprägungen weiter charakterisieren.

Dabei beschreiben die Lagemaße durch Mittelwerte eine gewisse zentrale „Tendenz“ der Häufigkeitsverteilung. Dies kann beispielsweise darin bestehen, die Merkmalsausprägung zu finden, welche am häufigsten vorkommt oder auch den Durchschnittswert aller Merkmalsausprägungen zu bestimmen. Es lassen sichverschiedene Lagemaße (Mittelwerte) unterscheiden, wobei alle versuchen mittels einer einzigen Kenngröße die beobachteten Merkmalsausprägungen möglichst gut zu repräsentieren.

Achtung: Lagemaße (Mittelwerte) geben nur Auskunft über die Lage, nicht aber über die Form der Verteilung

Statistik

Unterschiedliche Lagemaße

Unterschiedliche Lagemaße:
Es lassen sich vor allem vier verschiedene Lagemaße voneinander unterscheiden, wobei sie jeweils eine andere Art von Mittelwerteder Häufigkeitsverteilung angeben:
1.Modalwert/Modus:Gibt als Mittelwert die am häufigsten vorkommende Merkmalsausprägung an
2.Median:Gibt als Mittelwert den mittleren Wert der Verteilung an
3.Arithmetische Mittel: Gibt als Mittelwert den Durchschnittswert aller Merkmalsausprägungen an
4.Geometrische Mittel: Gibt als Mittelwert den prozentualen Durchschnittswert aller Merkmalsausprägungen anZu

Statistik

Summenhäufigkeit

Grundlage der Summenhäufigkeitsverteilung:
Benötigt man Informationen über die Anzahl aller Merkmalsausprägungen, welche unterhalb oder oberhalb einer bestimmten Merkmalsausprägung liegen, ist auf die Summenhäufigkeitsverteilung zurückzugreifen. Die Summenhäufigkeitsverteilung gibt die Summe der jeweiligen nach ihrer Reihenfolge aufaddierten Merkmalsausprägungen an. Mittels der absoluten und relativen Summenhäufigkeit lässt sich entweder die Gesamtanzahl oder die prozentuale Anzahl biszueinem bestimmten Merkmal ablesen.
Absolute Summenhäufigkeit:
Die absolute Summenhäufigkeit gibt die Gesamtanzahl der gezählten Merkmalsausprägungen bis zu einer bestimmten Merkmalsausprägung an. Dazu sind die Anzahlen der jeweiligen Merkmalsausprägungen nach ihrer Reihenfolge zu kumulieren (aufzuaddieren). Die absolute Summenhäufigkeit wird mit derVariable 𝐻𝑗beschrieben, wobei die Variable für die Gesamtanzahl bis zu einer bestimmten Merkmalsausprägung 𝐻(𝑥𝑗)lautet. 

Relative Summenhäufigkeit:Die relative Summenhäufigkeit gibt die kumulierte prozentuale Zahl der Merkmalsausprägungen bis zu einer bestimmten Merkmalsausprägung an. Dazu sind die Prozentsätze der jeweiligen Merkmalsausprägungen nach ihrer Reihenfolge zu kumulieren (aufzuaddieren). Die relative Summenhäufigkeit wird mitder Variable 𝐹𝑗beschrieben, wobei die Variable für die kumulierte relative Anzahl bis zu einer bestimmten Merkmalsausprägung 𝐹(𝑥𝑗)laute

Statistik

Skalentransformation je nach Skalierung der Merkmalsausprägung



Je nachdem, in welche Skala die Merkmalsausprägungen einsortiert werden können, unterscheidet sich die zulässige Art der Transformierbarkeit.
Für die verschiedenen Skalen gelten folgende zulässige Transformierbarkeiten:

Nominalskala: Eineindeutige Transformierbarkeit: Den erhobenen Daten wird ein eindeutiger Wert zugeordnet 

Ordinalskala/Rangskala : Streng monotone Transformierbarkeit: Die Rangordnung der erhobenen Daten/Skalenwerte bleibt erhalte 

metrische Skala/Kardinalskala: Lineare Transformierbarkeit: Die Abstände zwischen den erhobenen Daten/Skalenwerten bleibt erhalten

Statistik

Definition von Streuungsmaße:

Bei Streuungsmaße handelt es sich um Kenngrößen, die die Häufigkeitsverteilung in Hinsicht auf die Streuung der Merkmalsausprägungen um einen bestimmten Wert/Lagemaße herum charakterisieren. 

Dabei beschreiben die Streuungsmaße beispielsweise die vorhandene Streuung d er Beobachtungswerte um das arithmetische Mittel herum. Es lassen sich verschiedene Streuungsmaße unterscheiden, wobei bei der Berechnung der unte rsc hiedlichen Kenngrößen der Streuung teils von unterschiedlichen Ausgangspunkten ausgegangen wird.

Statistik

Statistische Erhebung mehrerer Merkmale

Der deskriptiven Statistik kommen die Aufgaben der Erhebung, Aufbereitung und explorativen Datenanalyse von Datenmaterial zuteil . Bisher sind wir bei der Erhebung davon ausgegangen, dass nur ein einziges Merkmal 𝑋erhoben wurde und haben gelernt, dieses in Form einer Skalierung, Transformation, Klassierung, grafischen Darstellung und sch schli eßlich der tabellarischen Häufigkeitsverteilung aufzubereiten und die explorative Datenanalyse mit Lagemaße und Streuungsmaße durchzuführen. 

Die Erhebung von Datenmaterial muss sich bei der deskriptiven Statistik jedoch nicht auf ein einziges Merkmal 𝑋beschränken. Während einer Erhebung kann es durchaus von Interesse sein, weitere Merkmale 𝑌und 𝑍zu erheben, wodurch sich leichte Veränderungen bei der Aufbereitung von Daten ergeben, aber auch neue Kenngrößen für die explorative Datenanalyse ermitteln la lasse n. 

Im Weiteren wollen wir uns dabei allerdings auf die Erhebung von zwei Merkmalen 𝑋und 𝑌beschränken, da sich die Erkenntnisse auf weitere Merkmale wie beispielsweise 𝑍übertragen lassen.

Statistik

Variablen der Grundgesamtheit und Stichprobe

Um in der induktiven Statistik zwischen der Grundgesamtheit und der Stichprobe zu unterscheiden, verwendet man folgende Variable:

Variable für die Grundgesamtheit:
Für die Grundgesamtheit aller Daten/Elemente wird der Großbuchstabe 𝑁vergeben.

Variable für die Stichprobe:
Für die Stichprobe einer bestimmten Anzahl von Daten/Elementen wird der Kleinbuchstabe 𝑛 vergeben.

Beispiel:
Unser Beispiel mit der Wahlentscheidung hat eine Grundgesamtheit von 𝑁=61,5Millionen, es wurden aber nur 𝑛=1000wahlberechtigte Bürger befragt.

Statistik

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ermöglicht bei gegebener Verteilung und dem Wissen über alle möglichen Werte der Merkmalsausp
Merkmalsauspräg ungen eine Aussage darüber zu
treffen, wie wahrscheinlich der Eintritt einer bestimmten Merkmalsausprägung ist.
Beispielsweise soll das Merkmal Münzwurf mit den bekannten Merkmalsausprägungen „Kopf“ und „Zahl“ betrachtet werden. Die Münze soll unendlich oft geworfen werden.
Da wir wissen, dass die Merkmalsausprägungen „Kopf“ und „Zahl“ gleichwahrscheinlich sind, können wir eine Aussage über die Eintrittswahrscheinlichkeiten der
Merkmalsausprägungen treffen.

Verteilung:
Das Merkmal Münzwurf ist gleichverteilt. Der Eintritt der Merkmalsausprägung „Kopf“ ist genauso wahrscheinlich wie das Merkma Merkmal „Zahl“, sprich 50/50.

Aussage über die Eintrittswahrscheinlichkeiten:
Bei unendlich vielen Würfen müssten die Merkmalsausprägungen „Kopf“ und „Zahl“ gleichhäufig aufgetreten sein.

Merke:
Zur Ermittlung der Wahrscheinlichkeit ist das Wissen über alle möglichen Beobachtungswerte der Merkmalsausprägungen und deren derenVerteilung zwingend erforderlich.

Statistik

Induktive/Inferenz Inferenz-Statistik:

Bei der
induktiven/Inferenz Inferenz-Statistik stehen Rückschlusse einer Stichprobe eines Merkmals auf die Grundgesamtheit des Merkmals im Mittelpunkt. Bei der Erhebung von Daten (Beobachtungswerten) eines Merkmals ist es oftmals nicht möglich, eine vollständige Erhebung durchzuführen, stattdessen stattdessenfi ndet nur eine Teilerhebung statt. Mittels
der induktiven Statistik lässt sich aus dieser Teilerhebung, welche auch als Stichprobe bezeichnet wird, unter Berücksichtigung von Fehlerwahrscheinlichkeiten auf wichtige
LageLage-und Streuungsmaße der Grundgesamtheit des Merkmals, zurückschließen. Als Grundlage der induktiven Statistik dient dabei al len voran die Wahrscheinlichkeitsrechnungrechnung.

Beispielweise soll das Merkmal Wahlentscheidung von wahlberechtigten Personen betrachtet werden. Da es mehrere Millionen wahlber echtigte Personen gibt, ist eine Befragung aller Personen nicht möglich. Stattdessen findet eine Teilerhebung statt und eine bestimmte Anzahl von wahlberechti gte n Personen wird nach ihrer Wahlentscheidung befragt.

Mittels der induktiven Statistik können nun Rückschlüsse aus dieser Stichprobe auf die Wahlentschei Wahlentscheidung aller Wahlberechtigten geschlossen werden.

Teilerhebung der Daten (Stichprobe):
Beispielsweise durch Befragung von 1000 wahlberechtigten Personen über ihre Wahlentscheidung.

Rückschluss auf die Grundgesamtheit:
Beispielsweise durch Schätzung der Wahlentscheidungen aller Personen auf Grundlage der Stichprobe.

Statistik

Allgemeine Notation der Kombinationsmöglichkeiten zweier Merkmale

Bei der Erhebung zweier Merkmale 𝑋und 𝑌wird nicht jedes Merkmal für sich erhoben, sondern das gemeinsame Auftreten. Dabei werden die Merkmalsausprägungen gemeinsam notiert, was zu einer Vielzahl an Kombinationsmöglichkeiten der Merkmalsausprägungen führt. Die einzelnen Merkmalsa usp rägungen des Merkmals 𝑋werden
mit der Variable 𝑥𝑗beschrieben und die einzelnen Merkmalsausprägungen des Merkmals 𝑌mit der Variable 𝑦𝑘. Die allgemeine Notation einer Kombinationsmöglichkeit der Merkmalsausprägungen lautet dann:

𝑀𝑒𝑟𝑘𝑚𝑎𝑙𝑠𝑘𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑑𝑒𝑟𝐴𝑢𝑠𝑝𝑟ä𝑔𝑢𝑛𝑔𝑒𝑛:𝑥𝑗,𝑦𝑘

Gradient

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