Graphentheorie an der FernUniversität in Hagen

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Frage: Wie viele Gerüste besitzt jeder Graph?

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Definition: Anzahl der aufspannenden Bäume eines Graphen


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Satz von Kirchhoff, Matrix-Tree-Theorem

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Definition: Wann heißen zwei Knoten eines Digraphen verbindbar?

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Bezeichnung: Wann heißt ein Bogenzug nicht über sein Ende hinaus verlängerbar?

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Definition: Wann heißt eine Kantenfolge Eulertour?

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Definition: Wann heißt ein Graph eulersch?

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Definition: Wann heißt ein Graph gerade?

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Satz von Euler für zusammenhängende Graphen

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Definition:

  • Doppelspur
  • bidirektional
  • Vorwärts- und Rückwärtskante

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Definition: Wann heißt ein Digraph balanciert?

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Satz von Euler für zusammenhängende Digraphen

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Graphentheorie

Frage: Wie viele Gerüste besitzt jeder Graph?

2.2.9 Satz

Jeder Graph besitzt (mindestens) ein Gerüst.

Graphentheorie

Definition: Anzahl der aufspannenden Bäume eines Graphen


2.3.1 Definition
Sei G = (V, E, ∂) ein Graph.
Dann bezeichnen wir mit t(G) die Anzahl der G aufspannenden Bäume.

Graphentheorie

Satz von Kirchhoff, Matrix-Tree-Theorem

2.3.9 Satz (Kirchhoff, Matrix-Tree-Theorem)
Sei G = (V, E, ∂) ein Graph mit n := |V| ≥ 2.
Dann ist die Anzahl t(G) der G aufspannenden Bäume gleich dem gemeinsamen Wert der algebraischen Komplemente seiner Admittanzmatrix Q bezüglich einer beliebigen Nummerierung der Knotenmenge.

Graphentheorie

Definition: Wann heißen zwei Knoten eines Digraphen verbindbar?

2.4.1 Definition
Sei D = (V, E, ∂) ein Digraph.

Zwei Knoten v und w des Digraphen D heißen verbindbar, wenn sowohl w von v aus als auch v von w aus erreichbar sind.

Graphentheorie

Bezeichnung: Wann heißt ein Bogenzug nicht über sein Ende hinaus verlängerbar?

2.4.9 Bemerkungen und Bezeichnungen

Ist F ein u, v-Bogenzug, so heißt F nicht über sein Ende hinaus verlängerbar, wenn es keinen Bogen e ∈ G gibt mit Anfangsknoten v und e ist kein Element von F.

Graphentheorie

Definition: Wann heißt eine Kantenfolge Eulertour?

3.1.2 Definition
Sei G = (V, E, ∂) ein Graph und F eine Kantenfolge in G.

F heißt Eulertour, falls F ein geschlossener eulerscher Kantenzug ist.

Graphentheorie

Definition: Wann heißt ein Graph eulersch?

3.1.2 Definition
Sei G = (V, E, ∂) ein Graph und F eine Kantenfolge in G.

Der Graph G heißt eulersch, wenn er eine Eulertour enthält.

Graphentheorie

Definition: Wann heißt ein Graph gerade?

3.1.2 Definition
Sei G = (V, E, ∂) ein Graph und F eine Kantenfolge in G.

Der Graph G heißt gerade, wenn jeder Knoten v ∈ V geraden Knotengrad hat.

Graphentheorie

Satz von Euler für zusammenhängende Graphen

3.1.6 Bemerkung

Für einen zusammenhängenden Graphen G = (V, E, ∂) mit V ist nicht leer sind äquivalent:

  1. G ist eulersch.
  2. G ist Vereinigung paarweise kantendisjunkter Kreise.
  3. G ist gerade.

Graphentheorie

Definition:

  • Doppelspur
  • bidirektional
  • Vorwärts- und Rückwärtskante

3.1.8 Definition
Sei G ein nichtleerer zusammenhängender Graph.

  • Eine geschlossene Kantenfolge F in G heißt Doppelspur durch G, wenn sie jede Kante von G genau zweimal enthält.
  • Eine Doppelspur F durch G heißt bidirektional, wenn jede Kante genau einmal in jeder der beiden möglichen Richtungen durchlaufen wird (wir unterstellen auch bei Schlingen zwei entgegengesetzte Durchlaufrichtungen).
  • Eine Kante e in einer bidirektionalen Doppelspur F heißt Vorwärtskante, falls sie von allen e vorangehenden Kanten in der Kantenfolge F verschieden ist, ansonsten nennen wir sie Rückwärtskante.

Graphentheorie

Definition: Wann heißt ein Digraph balanciert?

3.2.1 Definition
Sei D = (V, E, ∂) ein Digraph und F eine Bogenfolge in D.

Der Digraph D heißt balanciert, wenn jeder Knoten v ∈ V den Eulergrad 0 hat.

Graphentheorie

Satz von Euler für zusammenhängende Digraphen

3.2.5 Bemerkung

Für einen zusammenhängenden Digraphen D = (V, E, ∂) mit V ist nicht leer sind äquivalent:

  1. D ist eulersch.
  2. D ist Vereinigung paarweise bogendisjunkter Dikreise.
  3. D ist balanciert.

Ein zusammenhängender eulerscher Digraph ist immer stark zusammenhängend.

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