Graphentheorie an der FernUniversität in Hagen

Karteikarten und Zusammenfassungen für Graphentheorie im Mathematik Studiengang an der FernUniversität in Hagen in Hagen

CitySTADT: Hagen

CountryLAND: Deutschland

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Definition: Wann heißt eine Kantenmenge bedeckend(e Kantenmenge) oder Kantenüberdeckung in einem Graphen?

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Definition: Wann heißt ein Digraph hamiltonsch?

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Satz von Menger (Knotenversion für Graphen)

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Definition: Kantenbedeckungszahl eines Graphen

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Bezeichnung: Wann heißt ein Bogenzug nicht über sein Ende hinaus verlängerbar?

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Satz: Strong Perfect Graph Theorem

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Satz von Kirchhoff, Matrix-Tree-Theorem

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Frage: Wie viele Gerüste besitzt jeder Graph?

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Definition: interner Knoten eines Weges

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Definition: 2-teilregulärer Baum

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Definition: Anzahl der aufspannenden Bäume eines Graphen


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Definition: Kantenunabhängigkeitszahl oder Matchingzahl

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Graphentheorie

Definition: Wann heißt eine Kantenmenge bedeckend(e Kantenmenge) oder Kantenüberdeckung in einem Graphen?

6.1.3 Definition
Sei G = (V, E, ∂) ein Graph und W ⊆ V, B ⊆ E.

B heißt bedeckend(e Kantenmenge) oder Kantenüberdeckung in G, falls

  • jeder nicht isolierte Knoten aus G zu einer Kante aus B inzident ist.

Graphentheorie

Definition: Wann heißt ein Digraph hamiltonsch?

3.4.1 Definition
Sei D ein Digraph und F eine Bogenfolge in D.

Der Digraph D heißt hamiltonsch, wenn er einen Hamiltondikreis enthält.

Graphentheorie

Satz von Menger (Knotenversion für Graphen)

5.3.21 Satz (Menger−Knotenversion für Graphen)
Sei G = (V, E, ∂) ein Graph mit |V| > 1 .

  1. Lokal: Für q, s ∈ V mit q ist ungleich s, qs ist kein Element von ∂(E) gilt λ(G, q, s) = κ(G, q, s).
  2. Global: Gibt es q, s ∈ V mit q ist ungleich s, so dass höchstens ein e ∈ E mit ∂(e) = qs existiert, so gilt λ(G) = κ(G).

Graphentheorie

Definition: Kantenbedeckungszahl eines Graphen

6.1.3 Definition
Sei G = (V, E, ∂) ein Graph und W ⊆ V, B ⊆ E.

ρ(G) := min{|B| | B bedeckende Kantenmenge in G} heißt Kantenbedeckungszahl von G.

Graphentheorie

Bezeichnung: Wann heißt ein Bogenzug nicht über sein Ende hinaus verlängerbar?

2.4.9 Bemerkungen und Bezeichnungen

Ist F ein u, v-Bogenzug, so heißt F nicht über sein Ende hinaus verlängerbar, wenn es keinen Bogen e ∈ G gibt mit Anfangsknoten v und e ist kein Element von F.

Graphentheorie

Satz: Strong Perfect Graph Theorem

7.1.7 Bemerkung

Nach einer weitergehenden Vermutung von Berge ist ein schlichter Graph G genau dann perfekt, wenn weder er noch sein Komplement einen ungeraden Kreis der Länge ≥ 5 enthält. Bewiesen wurde diese Vermutung in 2006 von M. Chudnovsky, N. Robertson, P. Seymour und R. Thomas und wird seitdem als Strong Perfect Graph Theorem bezeichnet.

Graphentheorie

Satz von Kirchhoff, Matrix-Tree-Theorem

2.3.9 Satz (Kirchhoff, Matrix-Tree-Theorem)
Sei G = (V, E, ∂) ein Graph mit n := |V| ≥ 2.
Dann ist die Anzahl t(G) der G aufspannenden Bäume gleich dem gemeinsamen Wert der algebraischen Komplemente seiner Admittanzmatrix Q bezüglich einer beliebigen Nummerierung der Knotenmenge.

Graphentheorie

Frage: Wie viele Gerüste besitzt jeder Graph?

2.2.9 Satz

Jeder Graph besitzt (mindestens) ein Gerüst.

Graphentheorie

Definition: interner Knoten eines Weges

5.3.10 Definition
Sei G = (V, E, ∂) ein Graph bzw. D = (V, E, ∂) ein Digraph, beide nicht leer.
Ein Knoten eines Weges W in G bzw. D heißt interner Knoten von W, falls er weder mit dem Anfangs- noch mit dem Endknoten von W übereinstimmt.

Graphentheorie

Definition: 2-teilregulärer Baum

6.1.18 Definition

Ist ein 2-teilregulärer bipartiter Graph ein Baum, so nennen wir ihn einen 2-teilregulären Baum.

Graphentheorie

Definition: Anzahl der aufspannenden Bäume eines Graphen


2.3.1 Definition
Sei G = (V, E, ∂) ein Graph.
Dann bezeichnen wir mit t(G) die Anzahl der G aufspannenden Bäume.

Graphentheorie

Definition: Kantenunabhängigkeitszahl oder Matchingzahl

6.1.1 Definition
Sei G = (V, E, ∂) ein Graph und M ⊆ E, U ⊆ V.

ν(G) := max{|M| | M unabhängige Kantenmenge in G} heißt Kantenunabhängigkeitszahl oder Matchingzahl von G.

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