Graphentheorie an der FernUniversität in Hagen

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Beispielhafte Karteikarten für Graphentheorie an der FernUniversität in Hagen auf StudySmarter:

Definition: Wann heißt eine Kantenmenge bedeckend(e Kantenmenge) oder Kantenüberdeckung in einem Graphen?

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Satz von Menger (Knotenversion für Graphen)

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Definition: 2-teilregulärer Baum

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Definition: Kantenbedeckungszahl eines Graphen

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Definition: Minimum-Überdeckung in einem Graphen

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Definition: Kantenunabhängigkeitszahl oder Matchingzahl

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Satz: Strong Perfect Graph Theorem

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Satz von Petersen

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Satz: Vier-Farben-Satz

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Satz von Tutte

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Definition: interner Knoten eines Weges

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Satz von Menger (Knotenversion für Digraphen)

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Graphentheorie

Definition: Wann heißt eine Kantenmenge bedeckend(e Kantenmenge) oder Kantenüberdeckung in einem Graphen?

6.1.3 Definition
Sei G = (V, E, ∂) ein Graph und W ⊆ V, B ⊆ E.

B heißt bedeckend(e Kantenmenge) oder Kantenüberdeckung in G, falls

  • jeder nicht isolierte Knoten aus G zu einer Kante aus B inzident ist.

Graphentheorie

Satz von Menger (Knotenversion für Graphen)

5.3.21 Satz (Menger−Knotenversion für Graphen)
Sei G = (V, E, ∂) ein Graph mit |V| > 1 .

  1. Lokal: Für q, s ∈ V mit q ist ungleich s, qs ist kein Element von ∂(E) gilt λ(G, q, s) = κ(G, q, s).
  2. Global: Gibt es q, s ∈ V mit q ist ungleich s, so dass höchstens ein e ∈ E mit ∂(e) = qs existiert, so gilt λ(G) = κ(G).

Graphentheorie

Definition: 2-teilregulärer Baum

6.1.18 Definition

Ist ein 2-teilregulärer bipartiter Graph ein Baum, so nennen wir ihn einen 2-teilregulären Baum.

Graphentheorie

Definition: Kantenbedeckungszahl eines Graphen

6.1.3 Definition
Sei G = (V, E, ∂) ein Graph und W ⊆ V, B ⊆ E.

ρ(G) := min{|B| | B bedeckende Kantenmenge in G} heißt Kantenbedeckungszahl von G.

Graphentheorie

Definition: Minimum-Überdeckung in einem Graphen

6.1.3 Definition
Sei G = (V, E, ∂) ein Graph und W ⊆ V, B ⊆ E.

Eine Minimum-Überdeckung W in G ist eine Überdeckung W in G mit |W| = τ(G).

Graphentheorie

Definition: Kantenunabhängigkeitszahl oder Matchingzahl

6.1.1 Definition
Sei G = (V, E, ∂) ein Graph und M ⊆ E, U ⊆ V.

ν(G) := max{|M| | M unabhängige Kantenmenge in G} heißt Kantenunabhängigkeitszahl oder Matchingzahl von G.

Graphentheorie

Satz: Strong Perfect Graph Theorem

7.1.7 Bemerkung

Nach einer weitergehenden Vermutung von Berge ist ein schlichter Graph G genau dann perfekt, wenn weder er noch sein Komplement einen ungeraden Kreis der Länge ≥ 5 enthält. Bewiesen wurde diese Vermutung in 2006 von M. Chudnovsky, N. Robertson, P. Seymour und R. Thomas und wird seitdem als Strong Perfect Graph Theorem bezeichnet.

Graphentheorie

Satz von Petersen

6.2.13 Satz (Petersen)
Jeder gerade reguläre Graph G = (V, E, ∂) ohne isolierte Knoten hat einen 2-Faktor.

Graphentheorie

Satz: Vier-Farben-Satz

7.0 Einleitung

Vier-Farben-Satz: Jeder planare Graph besitzt eine 4-Knotenfärbung.

Graphentheorie

Satz von Tutte

6.3.14 Satz (Tutte)
Sei G = (V, E, ∂) ein Graph. Dann sind äquivalent:

  1. G besitzt ein perfektes Matching, d.h. |V| = 2ν(G).
  2. Für jedes X ⊆ V gilt o(G − X) ≤ |X|.

Graphentheorie

Definition: interner Knoten eines Weges

5.3.10 Definition
Sei G = (V, E, ∂) ein Graph bzw. D = (V, E, ∂) ein Digraph, beide nicht leer.
Ein Knoten eines Weges W in G bzw. D heißt interner Knoten von W, falls er weder mit dem Anfangs- noch mit dem Endknoten von W übereinstimmt.

Graphentheorie

Satz von Menger (Knotenversion für Digraphen)

5.3.19 Satz (Menger−Knotenversion für Digraphen)
Sei D = (V, E, ∂) ein Digraph mit n := |V| > 1 .

  1. Lokal: Für q, s ∈ V mit q ist ungleich s und (q, s) kein Element von ∂(E) gilt λ(D, q, s) = κ(D, q, s).
  2. Global: Gibt es q, s ∈ V mit q ist ungleich s, so dass höchstens ein e ∈ E mit ∂(e) = (q, s) existiert, so gilt λ(D) = κ(D).

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