Signale Und Systeme an der Duale Hochschule Baden-Württemberg | Karteikarten & Zusammenfassungen

Lernmaterialien für Signale und Systeme an der Duale Hochschule Baden-Württemberg

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Reele Signale

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Reelle Signale 𝑥(𝑡) zeigen einen Verlauf, der ausschließlich reelle Werte annimmt. Es handelt sich dabei um eine Abbildung 𝑥: ℝ → ℝ ∶ 𝑡 ↦ 𝑥(𝑡). Man sagt, 𝑥 ist eine Abbildung von ℝ nach ℝ, die 𝑡 auf 𝑥(𝑡) abbildet


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Kausalität bei Signalen

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Ein Signal heißt
kausal, wenn gilt: 𝑥(𝑡) = 0 ∀ 𝑡 < 0
antikausal, wenn gilt: 𝑥(𝑡) = 0 ∀ 𝑡 > 0
Ist die Kausalitätsbedingung für ein Signal nicht erfüllt ist, so bezeichnet man dieses als nichtkausal.

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Faltungsregel

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Wie im Kapitel „Systeme“ bereits gezeigt wurde, kann die Systemantwort 𝑦(𝑡) eines LTI-Systems mit Hilfe der Impulsantwort ℎ(𝑡) und dem Eingangssignal 𝑥(𝑡) bestimmt werden gemäß:
𝑦(𝑡) = ∫ 𝑥(𝜏) ∙ ℎ(𝑡 − 𝜏) ⅆ𝜏 = 𝑥(𝑡) ∗ ℎ(𝑡)
Dabei handelt es sich um eine Faltung. Für den Bildbereich gilt dann:
𝑌(𝑠) = 𝑋(𝑠) ∙ 𝐻(𝑠)
Die rechentechnisch sehr aufwändige Operation der mathematischen Faltung kann also im Laplace-Raum durch eine simple Multiplikation von Funktionen erfolgen. Wichtig: Statt 𝐻(𝑠) schreiben wir oft 𝐺(𝑠) und meinen damit das System oder auch die Systemübertragungsfunktion. Es gilt somit:
𝐺(𝑠) = 𝑌(𝑠) / 𝑋(𝑠) ⟹ 𝑌(𝑠) = 𝑋(𝑠) ∙ 𝐺(𝑠)
(sprich „das System ist nichts anderes als das Ausgangssignal geteilt durch das Eingangssignal“ oder anders ausgedrückt „das Eingangssignal multipliziert mit dem System ist das Ausgangssignal“)
Somit sind wir durch die leistungsfähige Methode der Laplace-Transformation in der Lage, kontinuierliche LTI-Systeme zunächst sehr vereinfacht zu berechnen.

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Lineare zeitinvariante Systeme

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Ist ein System linear und zeitinvariant, so spricht man von einem linearen zeitinvarianten System (kurz LTI-System). Dabei handelt es sich um die am häufigsten in der Praxis verwendete Klasse von Systemen.

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Gerade Signale

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Gerade Signale erfüllen die Gleichung 𝑥(𝑡) = 𝑥(−𝑡). Es besteht eine Symmetrie zur Ordinate (Y-Achse im kartesischen Koordinatensystem).

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Ungerade Signale

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Ungerade Signale erfüllen die Gleichung 𝑥(𝑡) = −𝑥(−𝑡). Es besteht eine Symmetrie zum Ursprung des Koordinatensystems.

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Lineare Systeme

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Das System ist linear, wenn gilt:
𝑇 {𝛼 ∙ 𝑥(𝑡)} = 𝛼 ∙ 𝑇{𝑥(𝑡)} = 𝛼 ∙ 𝑦(𝑡) Homogenität
𝑇 {𝑥1(𝑡) + 𝑥2(𝑡)} = 𝑇 {𝑥1 (𝑡)} + 𝑇 {𝑥2(𝑡)} = 𝑦1(𝑡) + 𝑦2(𝑡) Additivität
Ein System ist also linear, wenn das Ausgangssignal auf eine beliebige Linearkombination von Eingangssignalen gleich der Linearkombination der Ausgangssignale auf die einzelnen Eingangssignale ist.

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Zeitliche Verschiebung von Signalen

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Das Signal 𝑥(𝑡 − 𝑡0) ist das um 𝑡0 verschobene Signal 𝑥(𝑡). Dabei handelt es sich um eine Verschiebung nach
links (voreilend) für t0 < 0
rechts (nacheilend) für t0 > 0

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Gedächtnislose Systeme

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Ein System, dessen Ausgangssignal nur vom aktuellen Wert des Eingangssignals abhängt, bezeichnet man als gedächtnisloses System oder als ein System ohne Gedächtnis.

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Was ist ein Signal?

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Ein Signal ist eine Abstraktion einer beliebigen messbaren Quantität. Im Allgemeinen verstehen wir darunter eine abstrakte Beschreibung einer veränderlichen Größe.


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Rechteckimpuls

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Der Rechteckpuls rectT(t) ist wie folgt definiert: rectT(𝑡) = { 1 𝑓ü𝑟 | 𝑡 | ≤ 𝑇/ 2 ; 0 𝑓ü𝑟 | 𝑡 | > 𝑇 /2

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Kausale Systeme

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Ein System ist kausal, wenn das Ausgangssignal zum Zeitpunkt t1 nur von Eingangswerten 𝑥(𝑡) abhängt, für die gilt 𝑡 ≤ 𝑡1. Es gilt also: 𝑦(𝑡1 ) = 𝑇 {𝑥(𝑡)} 𝑓ü𝑟 𝑡 ≤ 𝑡1

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Q:

Reele Signale

A:

Reelle Signale 𝑥(𝑡) zeigen einen Verlauf, der ausschließlich reelle Werte annimmt. Es handelt sich dabei um eine Abbildung 𝑥: ℝ → ℝ ∶ 𝑡 ↦ 𝑥(𝑡). Man sagt, 𝑥 ist eine Abbildung von ℝ nach ℝ, die 𝑡 auf 𝑥(𝑡) abbildet


Q:

Kausalität bei Signalen

A:

Ein Signal heißt
kausal, wenn gilt: 𝑥(𝑡) = 0 ∀ 𝑡 < 0
antikausal, wenn gilt: 𝑥(𝑡) = 0 ∀ 𝑡 > 0
Ist die Kausalitätsbedingung für ein Signal nicht erfüllt ist, so bezeichnet man dieses als nichtkausal.

Q:

Faltungsregel

A:

Wie im Kapitel „Systeme“ bereits gezeigt wurde, kann die Systemantwort 𝑦(𝑡) eines LTI-Systems mit Hilfe der Impulsantwort ℎ(𝑡) und dem Eingangssignal 𝑥(𝑡) bestimmt werden gemäß:
𝑦(𝑡) = ∫ 𝑥(𝜏) ∙ ℎ(𝑡 − 𝜏) ⅆ𝜏 = 𝑥(𝑡) ∗ ℎ(𝑡)
Dabei handelt es sich um eine Faltung. Für den Bildbereich gilt dann:
𝑌(𝑠) = 𝑋(𝑠) ∙ 𝐻(𝑠)
Die rechentechnisch sehr aufwändige Operation der mathematischen Faltung kann also im Laplace-Raum durch eine simple Multiplikation von Funktionen erfolgen. Wichtig: Statt 𝐻(𝑠) schreiben wir oft 𝐺(𝑠) und meinen damit das System oder auch die Systemübertragungsfunktion. Es gilt somit:
𝐺(𝑠) = 𝑌(𝑠) / 𝑋(𝑠) ⟹ 𝑌(𝑠) = 𝑋(𝑠) ∙ 𝐺(𝑠)
(sprich „das System ist nichts anderes als das Ausgangssignal geteilt durch das Eingangssignal“ oder anders ausgedrückt „das Eingangssignal multipliziert mit dem System ist das Ausgangssignal“)
Somit sind wir durch die leistungsfähige Methode der Laplace-Transformation in der Lage, kontinuierliche LTI-Systeme zunächst sehr vereinfacht zu berechnen.

Q:

Lineare zeitinvariante Systeme

A:

Ist ein System linear und zeitinvariant, so spricht man von einem linearen zeitinvarianten System (kurz LTI-System). Dabei handelt es sich um die am häufigsten in der Praxis verwendete Klasse von Systemen.

Q:

Gerade Signale

A:

Gerade Signale erfüllen die Gleichung 𝑥(𝑡) = 𝑥(−𝑡). Es besteht eine Symmetrie zur Ordinate (Y-Achse im kartesischen Koordinatensystem).

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Q:

Ungerade Signale

A:

Ungerade Signale erfüllen die Gleichung 𝑥(𝑡) = −𝑥(−𝑡). Es besteht eine Symmetrie zum Ursprung des Koordinatensystems.

Q:

Lineare Systeme

A:

Das System ist linear, wenn gilt:
𝑇 {𝛼 ∙ 𝑥(𝑡)} = 𝛼 ∙ 𝑇{𝑥(𝑡)} = 𝛼 ∙ 𝑦(𝑡) Homogenität
𝑇 {𝑥1(𝑡) + 𝑥2(𝑡)} = 𝑇 {𝑥1 (𝑡)} + 𝑇 {𝑥2(𝑡)} = 𝑦1(𝑡) + 𝑦2(𝑡) Additivität
Ein System ist also linear, wenn das Ausgangssignal auf eine beliebige Linearkombination von Eingangssignalen gleich der Linearkombination der Ausgangssignale auf die einzelnen Eingangssignale ist.

Q:

Zeitliche Verschiebung von Signalen

A:

Das Signal 𝑥(𝑡 − 𝑡0) ist das um 𝑡0 verschobene Signal 𝑥(𝑡). Dabei handelt es sich um eine Verschiebung nach
links (voreilend) für t0 < 0
rechts (nacheilend) für t0 > 0

Q:

Gedächtnislose Systeme

A:

Ein System, dessen Ausgangssignal nur vom aktuellen Wert des Eingangssignals abhängt, bezeichnet man als gedächtnisloses System oder als ein System ohne Gedächtnis.

Q:

Was ist ein Signal?

A:

Ein Signal ist eine Abstraktion einer beliebigen messbaren Quantität. Im Allgemeinen verstehen wir darunter eine abstrakte Beschreibung einer veränderlichen Größe.


Q:

Rechteckimpuls

A:

Der Rechteckpuls rectT(t) ist wie folgt definiert: rectT(𝑡) = { 1 𝑓ü𝑟 | 𝑡 | ≤ 𝑇/ 2 ; 0 𝑓ü𝑟 | 𝑡 | > 𝑇 /2

Q:

Kausale Systeme

A:

Ein System ist kausal, wenn das Ausgangssignal zum Zeitpunkt t1 nur von Eingangswerten 𝑥(𝑡) abhängt, für die gilt 𝑡 ≤ 𝑡1. Es gilt also: 𝑦(𝑡1 ) = 𝑇 {𝑥(𝑡)} 𝑓ü𝑟 𝑡 ≤ 𝑡1

Signale und Systeme

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