Mathe für die Informatik B an der Christian-Albrechts-Universität zu Kiel

A)  Addition: keine Korrektur nötig

V)  Vertauschen: VZ wechsel

M)  Multiplikation (mit a) : *1/a

f : M→N, x → f(x),

∀a,b ∈M : a∗b = b∗a.

Sei (M,∗) eine Halbgruppe und e ∈M.
(a) Wir nennen e neutrales Element (von M bzgl. ∗), wenn folgende Aussage gilt:
∀a ∈M : e∗a = a ∧ a∗e = a.

(b) Ist e ein neutrales Element, so nennen wir das Tripel (M;;e) Monoid. In
diesem Fall sagt man auch „M ist ein Monoid“, wenn  und e im Kontext klar
sind.

Sei M eine Menge. Seien ∗ und ◦ Verknüpfungen
aufM. Dann heißt ∗ distributiv über ◦, falls die folgenden Aussagen gelten:
∀a,b,c ∈M : a∗ (b◦c) = (a∗b) ◦ (a∗c),
∀a,b,c ∈M : (a◦b) ∗c = (a∗c) ◦ (b∗c).

Seien (R,+, ·,0R) ein kommutativer Ring und sei X eine Unbekannte. Seien weiter
n ∈ N und a0, . . . ,an ∈ R und definiere den formalen Ausdruck
n
p(X) := a0 +a1X+. . .+anXn = ∑aiXi.
i=0
(a) Der Ausdruck p heißt Polynom (über R). Die Elemente a0, . . . ,an heißen Koef-
fizienten von p(X).
(b) Die Menge aller Polynome über R bezeichnen wir mit R[X]. (Sprich: „R adjun-
giert X.“)
(c) Sind nicht alle Koeffizienten a0, . . . ,an gleich 0R, so nennen wir
deg(p(X)) := max{k ∈ {0, . . . ,n} | ak = 0R }
den Grad von p(X) und adeg(p(X)) den höchsten Koeffizienten von p(X).
(d) Sind alle Koeffizienten a0, . . . ,an gleich 0R und damit p(X) das sogenannte
Nullpolynom, so definieren wir den Grad von p(X) durch
deg(p(X)) = deg(0R) :=−∞.

Sei (R,+, ·,0) ein kommutativer Ring und p(X) :=∑n
R[X]. Dann nennen wir
p : R→R, x → ∑aix^i,
die zu p(X) gehörige Polynomfunktion.

Sei (K,+, ·,0,1) ein Körper. Für a,b ∈ K mit b = 0 setzen wir a,b := a · b−1.
Insbesondere gilt 1 /b = 1 · b−1 = b^−1.

Seien (K,+, ·,0,1) ein Körper und p(X) ∈ K[X]. Ein
Element a ∈ K heißt Nullstelle von p(X) oder Nullstelle von p, falls p(a) = 0 für
die zu p(X) gehörige Polynomfunktion p gilt.

(a) Ist a ∈ K eine Nullstelle von p(X), so gibt es genau ein q(X) ∈ K[X] mit
p(X) = (X−a) · q(X).
Für dieses q(X) gilt deg(q(X)) = deg(p(X))−1.
(b) Das Polynom p(X) hat höchstens deg(p(X)) Nullstellen.

⊕ : R2 ×R2 →R2, (a,b)⊕(c,d) := (a+c,b+d).
macht (R2,⊕, (0,0)) zu einer abelschen Gruppe.

Wurzel aus -1