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Lernmaterialien für LinAlg II (CAU-LAG) wichtige Defs und Sätze an der Christian-Albrechts-Universität zu Kiel

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Wann heißt eine Bilinearform ausgeartet.

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Falls v ∈ V \ {0} existiert, so dass s(v, w) = 0 für alle w ∈ V

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Definition diagonalisierbarer Endomorphismen

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Wir nennen einen Endomorphismus F : V → V diagonalisierbar, wenn für V eine Basis bestehend aus Eigenvektoren von F existiert. Wir nennen eine Matrix A ∈ Mat(n, K) diagonalisierbar, wenn LA diagonalisierbar ist.

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Def. von Trigonalisierbarkeit

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Eine Matrix A ∈ Mat(n, K) heißt trigonalisierbar, wenn sie zu einer oberen Dreiecksmatrix ähnlich ist, also wenn S ∈ GL(n, K) existiert, so dass S −1AS eine obere Dreiecksmatrix ist.

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Spektralsatz für selbstadjungierte Endomorphismen 


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Sei (V, s) unitär oder euklidisch und sei F : V → V ein selbstadjungierter Endomorphismus. Dann hat V eine Orthonormalbasis von Eigenvektoren von F zu reellen Eigenwerten.

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Definition von algebraisch

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Sei A eine K-Algebra. Man nennt ein Element x ∈ A algebraisch (über K), falls ker Φx /= {0}, also wenn ein f /= 0 existiert, so dass Φx(f) = f(x) = 0.

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Wann heißt eine Bilinearform symmetrisch?

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Wenn s(v, w) = s(w, v) für alle v, w ∈ V.

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Wann nennen wir eine Bilinearform antisymmetrisch bzw. schiefsymmetrisch

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TESTE DEIN WISSEN

Wenn s(v, w) = −s(w, v) für alle v, w ∈ V

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Wann nennen wir eine Bilinearform alternierend?

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Wenn s(v, v) = 0 für alle  v ∈ V.

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Wie ist ein Skalarprodukt für euklidische Vektorräume definiert?

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positiv-definite, symmetrische Bilinearform.

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Wann heißt eine Bilinearform nicht-ausgeartet?

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Wenn zu jedem v aus V\{0} ein w aus V existiert, so dass s(v,w) nicht-null ist.

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Was besagt der Satz von Caley-Hamilton

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Er besagt, dass das Minimalpolynom einer Matrix beziehungsweise eines Endomorphismus eines endlich-dimensionalen Vektorraums das charakteristische Polynom teilt. Insbesondere gilt also deg(µA) ≤ deg(χA) für jede Matrix A ∈ Mat(n, K).

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Was ist ein Skalarprodukt in unitären Vektorräumen?

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Eine positiv-definite, hermitesche Sesquilinearform.

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  • 122639 Karteikarten
  • 1743 Studierende
  • 34 Lernmaterialien

Beispielhafte Karteikarten für deinen LinAlg II (CAU-LAG) wichtige Defs und Sätze Kurs an der Christian-Albrechts-Universität zu Kiel - von Kommilitonen auf StudySmarter erstellt!

Q:

Wann heißt eine Bilinearform ausgeartet.

A:

Falls v ∈ V \ {0} existiert, so dass s(v, w) = 0 für alle w ∈ V

Q:

Definition diagonalisierbarer Endomorphismen

A:

Wir nennen einen Endomorphismus F : V → V diagonalisierbar, wenn für V eine Basis bestehend aus Eigenvektoren von F existiert. Wir nennen eine Matrix A ∈ Mat(n, K) diagonalisierbar, wenn LA diagonalisierbar ist.

Q:

Def. von Trigonalisierbarkeit

A:

Eine Matrix A ∈ Mat(n, K) heißt trigonalisierbar, wenn sie zu einer oberen Dreiecksmatrix ähnlich ist, also wenn S ∈ GL(n, K) existiert, so dass S −1AS eine obere Dreiecksmatrix ist.

Q:

Spektralsatz für selbstadjungierte Endomorphismen 


A:

Sei (V, s) unitär oder euklidisch und sei F : V → V ein selbstadjungierter Endomorphismus. Dann hat V eine Orthonormalbasis von Eigenvektoren von F zu reellen Eigenwerten.

Q:

Definition von algebraisch

A:

Sei A eine K-Algebra. Man nennt ein Element x ∈ A algebraisch (über K), falls ker Φx /= {0}, also wenn ein f /= 0 existiert, so dass Φx(f) = f(x) = 0.

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Q:

Wann heißt eine Bilinearform symmetrisch?

A:

Wenn s(v, w) = s(w, v) für alle v, w ∈ V.

Q:

Wann nennen wir eine Bilinearform antisymmetrisch bzw. schiefsymmetrisch

A:

Wenn s(v, w) = −s(w, v) für alle v, w ∈ V

Q:

Wann nennen wir eine Bilinearform alternierend?

A:

Wenn s(v, v) = 0 für alle  v ∈ V.

Q:

Wie ist ein Skalarprodukt für euklidische Vektorräume definiert?

A:

positiv-definite, symmetrische Bilinearform.

Q:

Wann heißt eine Bilinearform nicht-ausgeartet?

A:

Wenn zu jedem v aus V\{0} ein w aus V existiert, so dass s(v,w) nicht-null ist.

Q:

Was besagt der Satz von Caley-Hamilton

A:

Er besagt, dass das Minimalpolynom einer Matrix beziehungsweise eines Endomorphismus eines endlich-dimensionalen Vektorraums das charakteristische Polynom teilt. Insbesondere gilt also deg(µA) ≤ deg(χA) für jede Matrix A ∈ Mat(n, K).

Q:

Was ist ein Skalarprodukt in unitären Vektorräumen?

A:

Eine positiv-definite, hermitesche Sesquilinearform.

LinAlg II (CAU-LAG) wichtige Defs und Sätze

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