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Spannweite

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Mathe
In diesem Artikel erfährst du alles, was du zur Spannweite wissen solltest. Die Spannweite gehört inhaltlich zum Thema Zufallsgrößen im Fach Mathematik. 


Spannweite Erklärung 


Die Spannweite ist ein Streuungsmaß der deskriptiven Statistik. Da sie im Englischen als "range" bezeichnet wird, wird sie mit einem R abgekürzt. Im Deutschen wird sie auch Variationsbreite genannt. 


Die Spannweite gibt den Abstand zwischen dem kleinsten und größten Messwert einer Datenreihe an. Um sie zu berechnen, bildest du die Differenz zwischen Maximalwert und Minimalwert. Die Spannweite hat deshalb die gleiche Maßeinheit wie die ihr zugrundeliegenden Messwerte.


Die Formel für die Spannweite sieht so aus:


Um die Spannweite einer Verteilung angeben zu können, muss mindestens Ordinalskalenniveau gegeben sein. Auf Ordinalskalenniveau ist die Angabe der Spannweite jedoch nur verbal möglich. 

Erst bei metrischem Skalenniveau der Messwerte ist die Subtraktion der Extremwerte und damit die numerische Angabe der Spannweite möglich. 


Ein großes Problem der Spannweite ist, dass sie nicht robust gegenüber Ausreißern ist. Das heißt, dass sie von extremen Werten - sowohl am unteren als auch am oberen Skalenende - stark verzerrt werden kann. Dadurch verliert die Spannweite an Informationsgehalt. Wenn in einer Verteilung Ausreißer vorliegen, sollte deshalb auf ein anderes Streuungsmaß wie die Varianz oder die Standardabweichung zurückgegriffen werden.


Spannweite berechnen


Nachdem du nun die theoretischen Grundlagen für die Berechnung der Spannweite kennengelernt hast, erfährst du in diesem Abschnitt, wie man die Spannweite in der Praxis berechnet. 


Spannweite berechnen - Vorgehensweise


Wenn du die Spannweite eines Datensatzes bestimmen möchtest, kannst du dich an diesen Schritten orientieren:


  1. Ordne die Daten anhand ihrer Größe vom kleinsten Wert bis zum größten Wert. Dadurch erhältst du einen groben Überblick über den Datensatz.

    Bei sehr großen Datensätzen ist das Ordnen der Datenreihe ziemlich aufwendig. Wenn du nur die Spannweite ermitteln willst und keine weiteren Informationen aus den Werten gewinnen möchtest, kannst du diesen Schritt auch überspringen. 

  2. Bestimme den kleinsten Wert () und den größten Wert ().
  3. Nutze diese Formel, um die Spannweite zu er

    mitteln:

  4. Und schon bist du fertig!


Spannweite berechnen - Beispiel 1


Nimm an, du hast diesen Datensatz vorliegen: 3, 2, 11, 19, 7, 5, 14, 18, 12, 4

Jetzt kannst du ganz einfach die Spannweite berechnen, indem du dich an die oben erläuterten Schritte hältst:


  1. Ordnung der Datenreihe nach Größe: 2, 3, 4, 5, 7, 11, 12, 14, 18, 19
  2. Bestimmung der Extremwerte:
  3. Berechnung der Spannweite:


Die Spannweite beträgt 17. 

So einfach funktioniert die Berechnung der Spannweite!


Spannweite berechnen - Beispiel 2

Nimm an, du hast fast den gleichen Datensatz vorliegen. Es wurde nur eine weitere Beobachtung aufgenommen: 3, 2, 11, 19, 7, 5, 14, 18, 12,4, 100

Die Spannweite für den leicht veränderten Datensatz berechnest du so:


  1. Ordnung der Datenreihe nach Größe: 2, 3, 4, 5, 7, 11, 12, 14, 18, 19, 100
  2. Bestimmung der Extremwerte:
  3. Berechnung der Spannweite:


Die Spannweite beträgt 98. 

Du siehst, was für einen großen Effekt Ausreißer in der Datenreihe auf die Spannweite haben.


Spannweite in Excel berechnen 

Die Spannweite kannst du auch mithilfe von Excel berechnen. 

Dir liegt erneut der Datensatz vor, den du schon aus Beispiel 1 kennst: 3, 2, 11, 19, 7, 5, 14, 18, 12, 4


Wenn du die Daten in Excel eingegeben hast, sieht die Datei zum Beispiel so aus:



Um nun direkt in Excel die Spannweite zu berechnen, verwendest du diese Formel: =MAX(  :  ) - MIN(  :  )

In die freien Felder der Formel fügst du ein, aus welchen Zellen die Spannweite berechnet werden soll. 


Im Beispiel berechnen wir die Spannweite der Werte der Zellen B4 bis K4. In der Excel-Datei sieht das dann so aus:




Die Spannweite beträgt 17. 


Spannweite - Problematik und Lösung


In Beispiel 2 hast du gesehen, wie die Spannweite von Ausreißern im Datensatz beeinflusst wird. Das liegt daran, dass sie ausschließlich von den Extremwerten der Verteilung abhängt. Im Folgenden erfährst du Genaueres zur Problematik der Spannweite und lernst mögliche Lösungsansätze kennen. 


Spannweite - Problematik


Die Spannweite soll als Streuungsmaß darüber informieren, wie breit die Streuung einer Verteilung ist. 


Wenn du die Verteilungen aus Beispiel 1 und 2 vergleichst, merkst du, dass sie sich bis auf einen Wert nicht unterscheiden. Die Spannweiten 17 und 98 allerdings weichen ziemlich stark voneinander ab. 


Die Problematik der Spannweite liegt also darin, dass sich alleine auf ihrer Grundlage nur vage Rückschlüsse auf die Streuung der Verteilung schließen lassen. Das gilt besonders dann, wenn die Verteilung Ausreißer beinhaltet. 


Spannweite - Lösung der Problematik


Die Problematik kann gelöst werden, indem die Spannweite nicht als einziger Parameter für die Streuung der Verteilung betrachtet wird. 


Eine Möglichkeit ist es, zusätzlich den Quartilsabstand zu berechnen. Dieser ist robust gegenüber Ausreißern, da er den Bereich angibt, in dem die mittleren 50% der Verteilung liegen. 

Der Quartilsabstand wird berechnet, indem man die Differenz zwischen oberem Angelpunkt () und unterem Angelpunkt () bildet:


Schau dir nochmal diese Datenreihe an: 2, 3, 4, 5, 7, 11, 12, 14, 18, 19, 100

Der Median ist der Wert, der genau in der Mitte liegt. Er beträgt 11. Damit teilt er den Datensatz in zwei gleich große Hälften. 

Wenn du nun den Median der unteren und oberen Datenhälfte ermittelst, erhältst du für  und :


Damit gilt für den Quartilsabstand: IQA=Q3-Q1=18-4=14


Auch die zusätzliche Verwendung anderer Streuungsmaße wie der Varianz oder der Standardabweichung kann dabei helfen, die Streuung der Verteilung genauer zu beschreiben. 


Spannweite - Vor- und Nachteile


Die Verwendung der Spannweite als Streuungsmaß hat sowohl Vor- als auch Nachteile. Details zu den Vor- und Nachteilen erhältst du in diesem Abschnitt. 


Vorteile


Die Berechnung der Spannweite ist im Vergleich zur Ermittlung anderer Streuungsmaße relativ einfach. Außerdem ist das Konzept der Spannweite leicht zu verstehen: Die Spannweite gibt die Breite des Bereichs an, in dem alle Werte der Verteilung liegen.


Nachteile


Dadurch, dass bei der Bestimmung der Spannweite nur die beiden Extremwerte betrachtet werden, ist der Informationsgehalt der Spannweite im Vergleich zu anderen Streuungsmaßen eher gering. 

Ein weiterer Nachteil der Spannweite ist ihre fehlende Robustheit gegenüber Ausreißern. Die Spannweite wird schnell durch extreme Werte der Verteilung verzerrt. 


Fazit


Die Spannweite als einziges Streuungsmaß einer Verteilung zu verwenden ist - besonders wenn die Verteilung Ausreißer beinhaltet - weniger sinnvoll. Um eine gute Aussage über die Streuung einer Verteilung treffen zu können, solltest du weitere Streuungsmaße wie die Varianz, die Standardabweichung oder den Quartilsabstand berücksichtigen. 


Spannweite - das Wichtigste auf einen Blick!


In diesem Artikel hast du eine Menge zum Thema Spannweite gelernt. Super!

Hier findest du eine Zusammenfassung der Punkte, die du dir unbedingt merken solltest:


  • Die Spannweite ist ein Streuungsmaß der deskriptiven Statistik
  • Die Spannweite gibt den Abstand zwischen dem größten und kleinsten Messwert einer Datenreihe an: R = xmax - xmin
  • Vorteile: leichte Berechnung, leichtes Verstehen
  • Nachteile: geringe Aussagekraft, fehlende Robustheit gegenüber Ausreißern


Merke: Die Spannweite als einziges Streuungsmaß einer Verteilung hat eine zu geringe Aussagekraft. 

Um die Streuung einer Verteilung gut wiedergeben zu können, solltest du weitere Streuungsmaße wie die Varianz oder die Standardabweichung berücksichtigen.



Häufig gestellte Fragen zum Thema Spannweite

Die Spannweite ist ein Streuungsmaß der deskriptiven Statistik.

Sie gibt den Abstand zwischen dem kleinsten und größten Messwert einer Datenreihe an. Um sie zu berechnen, bildest du die Differenz zwischen Maximalwert und Minimalwert. 

Die Spannweite gibt den Abstand zwischen dem kleinsten und größten Messwert einer Datenreihe an. Um sie zu berechnen, bildest du die Differenz zwischen Maximalwert und Minimalwert: R = MAX - MIN

Die Spannweite gibt den Abstand zwischen dem kleinsten und größten Messwert einer Datenreihe an. Um sie zu berechnen, bildest du die Differenz zwischen Maximalwert und Minimalwert: R = MAX - MIN

Die Spannweite ist ein Streuungsmaß der deskriptiven Statistik. Man verwendet sie zur Bestimmung der Breite des Bereichs, in dem alle Werte der Verteilung liegen. 

Finales Spannweite Quiz

Frage

Die Spannweite ist ein...

Antwort anzeigen

Antwort

Streuungsmaß

Frage anzeigen

Frage

Wie wird die Spannweite auch bezeichnet?

Antwort anzeigen

Antwort

Variationsbreite oder range

Frage anzeigen

Frage

Wie wird die Spannweite mathematisch ausgedrückt?

Antwort anzeigen

Antwort

R

Frage anzeigen

Frage

Was gibt die Spannweite an?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Spannweite gibt den Abstand zwischen dem kleinsten und größten Messwert einer Datenreihe an.

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die Formel für die Spannweite?

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Welches Skalenniveau ist Voraussetzung für die Spannweite?

Antwort anzeigen

Antwort

Ordinalskalenniveau, besser aber metrisches Skalenniveau, um die Spannweite als Zahl angeben zu können

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Schritte zur Berechnung der Spannweite!

Antwort anzeigen

Antwort

  1. Ordne die Daten anhand ihrer Größe vom kleinsten bis zum größten Wert. 
  2. Ermittle  und .
  3. Berechne die Spannweite mit dieser Formel:
Frage anzeigen

Frage

Was sind die Vorteile der Spannweite?

Antwort anzeigen

Antwort

  • einfache Berechnung
  • einfaches Verständnis
Frage anzeigen

Frage

Was sind die Nachteile der Spannweite?

Antwort anzeigen

Antwort

  • geringer Informationsgehalt
  • berücksichtigt nur Extremwerte
  • nicht robust gegenüber Ausreißern
Frage anzeigen

Frage

Was sind Alternativen zur Spannweite?

Antwort anzeigen

Antwort

  • Varianz 
  • Standardabweichung
  • Quartilsabstand
Frage anzeigen

Frage

Berechne die Spannweite dieses Datensatzes:

26, 15, 22, 88, 77, 53, 36

Antwort anzeigen

Antwort


Die Spannweite beträgt 73. 

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die Formel für den Quartilsabstand?

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Reicht die Spannweite im Normalfall als einziges Streuungsmaß?

Antwort anzeigen

Antwort

Nein!

Die Spannweite als einziges Streuungsmaß einer Verteilung hat eine zu geringe Aussagekraft

Um die Streuung einer Verteilung gut wiedergeben zu können, solltest du weitere Streuungsmaße wie die Varianz oder die Standardabweichung berücksichtigen.

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Quartilsabstand dieses Datensatzes!

15, 17, 21, 22, 23, 25, 29, 31, 35, 40, 47

Antwort anzeigen

Antwort

Median: 25


Der Quartilsabstand beträgt 14. 

Frage anzeigen

Frage

Was bedeutet diese Aussage?

"Die Spannweite ist nicht robust gegenüber Ausreißern."

Antwort anzeigen

Antwort

Die Spannweite berechnet man, indem man die Differenz zwischen Maximum und Minimum der Daten bildet. Wenn der Datensatz einen Ausreißer enthält - also einen Wert, der im Vergleich zu den anderen Werten sehr klein oder sehr groß ist - wird die Spannweite deshalb verzerrt. 

Frage anzeigen

Frage

Es gilt:  und R = 70.

Welchen Wert hat ?

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen
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