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Normalverteilung

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Mathe

Normalverteilung

In diesem Kapitel geht es um die Normalverteilung. Dieses Thema ist in das Fach Mathematik und genauer in das Unterthema Zufallsgrößen einzuordnen.

Wir erklären dir in den folgenden Abschnitten die wichtigsten Begriffe zum Thema Normalverteilung. Falls du noch mehr über Zufallsgrößen wissen möchtest, würde ich dir empfehlen, unseren anderen Artikel dazu anzusehen.

Normalverteilung - die Basics zuerst!

Die Normalverteilung gehört zu den stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Sie wird manchmal auch als Gauß-Verteilung oder Glockenkurve bezeichnet. Intelligenz und Körpergröße sind die häufigsten genannten Beispiele. Menschen sind durchschnittlich groß, nur selten sind sie sehr klein oder sehr groß. Die Skala der Intelligenz wurde so zugeschnitten, dass der Durchschnitt genau bei 100 liegt.

Die folgende Abbildung zeigt zwei Normalverteilungskurven in Bezug auf die Körpergröße. Du kannst hier zum Beispiel gut sehen, dass es nur wenige Frauen gibt, die kleiner sind als 150 cm, aber viele die ca. 165 cm groß sind.

Beachte der Mittelwert aus der Normalverteilung ist auch der Erwartungswert !

de.wikipedia.org

 

Das führt uns auf den sogenannten zentralen Grenzwertsatz, welcher die Normalverteilung noch wichtiger werden lässt.

Der zentrale Grenzwertsatz

Der zentrale Grenzwertsatz besagt, dass der Durchschnitt einer großen Anzahl an Zufallsvariablen (aus derselben Verteilung) annähernd normalverteilt sein muss.

Wenn du also eine große Stichprobe hast, so entspricht der Mittelwert dieser Stichprobe ungefähr dem Mittelwert der sogenannten Grundgesamtheit. Außerdem sind alle solcher Stichproben dann normalverteilt. Die Varianz und Standardabweichung kannst du dann wie gewohnt mit deinen bereits gelernten Formeln errechnen!

Die allgemeine Formel der Normalverteilung

Dabei ist:

Da die Berechnung der Verteilungsfunktion mit dieser Formel sehr schwierig oder sogar unmöglich sein kann, gibt es die sogenannte Standardnormalverteilung.

Die Standardnormalverteilung

Die Standardnormalverteilung tritt ein, wenn μ=0 und σ2=ist. Dann vereinfacht sich obige Gleichung wie folgt:

ϕ(x)=12π·e-0,5x2

Du kannst jede Normalverteilung in die Standardnormalverteilung transformieren. Dies kannst du ganz einfach tun, indem du folgenden Schritten folgst:

  1. Schritt: Z=X-μσ

  2. Schritt: F(x)=ϕx-μσ

  3. Schritt: falls z < 0 dann rechnest du einfach:

  • 1-ϕx-μσ .Die entsprechenden Ergebnisse liest man dann aus der entsprechenden Verteilungstabelle ab.

    Wir brauchen die der Tabelle der Standardnormalverteilung:

    Tabelle der Standardnormalverteilung richtig lesen

    Nachdem du deine Werte standardisiert hast und deine z - Werte bestimmt hast, kannst du in der Tabelle die zugehörige Wahrscheinlichkeit ablesen.

    Zu beachten ist, dass die ersten zwei Ziffern in der ersten Spalte und die zweite Nachkommastelle in der ersten Zeile dargestellt wird.

    Berechnung der Wahrscheinlichkeiten

    Nun fragst du dich vielleicht, was uns das alles bringt. Die Fläche unter dem Graphen einer Normalverteilung ist immer 1. Wenn du die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnen möchtest, tut man dies im Prinzip durch die Integralrechnung. Die errechnete Fläche ergibt dann die Wahrscheinlichkeit. Die Stammfunktion der Normalverteilung kann schwer auszurechnen sein, deshalb wurde die Normierung eingeführt. Dann spricht man von der Standardnormalverteilung. Die Ergebnisse wurden in einer Tabelle zusammengefasst (siehe oben), sodass du fast gar nichts mehr rechnen brauchst!

    Das ist alles sehr theoretisch also schauen wir uns gemeinsam ein Beispiel an:

    Beispiel zur Darstellung der Normalverteilung

    Die Körpergröße eines Menschen ist für ein Geschlecht betrachtet normalverteilt. Die Durchschnittsgröße eines Mannes liegt bei 170 cm und die Standardabweichung bei 10 cm.

    Daher wissen wir nun, dass:

    μ=170 und σ=10

    Aufgabe:

    Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Mann zwischen 160 cm und 180 cm groß ist.

    Lösung

    • 1. Schritt: Berechne Z

            Z1=180-17010=1 und Z2=150-17010=-1

    • 2. Schritt: Bekanntlich kann dies nun ausgerechnet werden durch:
      P(160x180)=F(180)-F(160)F(180)-F(160) = ϕ(Z1)-ϕ(Z2)=ϕ(1)-ϕ(-1)
    • 3. Schritt: Da ϕ(-1) negativ ist, müssen wir diesen in einen positiven Wert umwandeln also:
      ϕ(1)-(1-ϕ(1)) = 2·ϕ(1)-1
    • 4. Schritt: Wir schauen den Wert in der obigen Tabelle nach:
    • 5. Schritt: Einsetzen und wir sind fertig!
      2·0,8413 -1 = 0,6826 = 68,26%

    Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Mann 160-180cm groß ist, beträgt rund 68%!

    Normalverteilung - Das Wichtigste auf einen Blick

    Die Normalverteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Der Erwartungswert ist gleich dem Mittelwert der Verteilung.

    Da die allgemeine Formel schwer zu integrieren ist, gibt es eine normierte Form, wobei wir diese nicht integrieren müssen, sondern die Ergebnisse direkt aus der Tabelle ablesen können.

    Die Formel der Standardnormalverteilung:ϕ(x)=12π·e-0,5x2

    Um zu normieren, benutzen wir die Transformation: Z=X-μσ

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