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Hypergeometrische Verteilung

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Mathe

Wenn man den Namen hypergeometrische Verteilung hört, denkt man zunächst, dass es sich bei dieser Verteilung um eine total komplizierte Verteilung handelt. Aber keine Sorge, mit diesem Artikel wird die hypergeometrische Verteilung kein Problem mehr für dich darstellen. 


Die hypergeometrische Verteilung hat große Ähnlichkeiten mit der Binomialverteilung. Deshalb wird in diesem Artikel an einigen Stellen ein Bezug zur Binomialverteilung hergestellt. 

Wenn du nicht mehr genau weißt, was die Binomialverteilung ist und was ihre Eigenschaften sind, empfehle ich dir zuerst einmal unseren Artikel zur Binomialverteilung anzuschauen. 



Hypergeometrische Verteilung - Erklärung 


Bei der hypergeometrischen Verteilung handelt es sich um eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung

Sie wird - ebenso wie die Binomialverteilung - für Zufallsereignisse verwendet, bei denen es nur zwei mögliche Ergebnisse gibt: Erfolg und Misserfolg.


Die einzelnen Elemente, die der hypergeometrischen Verteilung folgen, können daher in Treffer und Nieten unterteilt werden. Die Verteilung ist also dichotom.


Die hypergeometrische Verteilung unterscheidet sich von der Binomialverteilung dadurch, dass sie von Versuch zu Versuch schwankende Wahrscheinlichkeiten für Erfolg und Misserfolg berücksichtigt. Ein typisches Beispiel, in dem die Erfolgsrate mit der hypergeometrischen Verteilung berechnet werden kann, ist das Lottospielen: dadurch, dass die gezogenen Kugeln in einer Ziehung nicht zurück in die Urne gelegt werden, verändern sich die Wahrscheinlichkeiten für das Ziehen der übrigen Kugeln. 


Bei der Binomialverteilung hingegen sind die Wahrscheinlichkeiten für Erfolg bzw. Misserfolg konstant. Das ist zum Beispiel bei dem Ziehen von Kugeln aus einer Urne der Fall, wenn man die gezogene Kugel im Anschluss zurück in die Urne legt.



Hypergeometrische Verteilung - Berechnung


In diesem Abschnitt lernst du die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion der hypergeometrischen Verteilung kennen.  

Außerdem erfährst du, wie der Erwartungswert und die Varianz der hypergeometrischen Verteilung berechnet wird. 


Um die Formeln anwenden zu können, solltest du wissen, welche Bedeutung die hier aufgeführten mathematischen Abkürzungen haben:


  • X: beobachtete Zufallsvariable, folgt der hypergeometrischen Verteilung
  • N: Anzahl aller Elemente, die Ergebnisse sein können; N= Anzahl "Treffer" + Anzahl "Nieten"
  • M: Anzahl der Elemente, die als "Treffer" gelten
  • n: Stichprobenumfang; Anzahl an Elementen, die in dieser Stichprobe gezogen werden
  • k: Anzahl der in der Stichprobe erzielten "Treffer"


Hypergeometrische Verteilung: Wahrscheinlichkeitsfunktion


Folgt eine Variable der hypergeometrischen Verteilung mit den Parametern N, M und n, schreibt man auch:


 




Die Wahrscheinlichkeitsfunktion für X = k sieht folgendermaßen aus:


Hypergeometrische Verteilung Berechnung StudySmarter



Mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion kannst du die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer berechnen. 

Wenn du aber wissen möchtest, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist zum Beispiel höchstens 2 Treffer zu erzielen, musst die die Einzelwahrscheinlichkeiten für k = 0, k = 1 und k = 2 addieren:



Hypergeometrische Verteilung: Erwartungswert


Mithilfe dieser Formel kannst du den Erwartungswert einer Variablen bestimmen, die hypergeometrisch verteilt ist:



Der Erwartungswert einer hypergeometrischen Verteilung berechnet sich aus:


Hypergeometrische Verteilung Berechnung Erwartungswert StudySmarter



Anhand des Erwartungswertes kannst du abschätzen wie viele Treffer im Schnitt erzielt werden, wenn die Werte für n, M und N konstant bleiben. 


Hypergeometrische Verteilung: Varianz


Mithilfe dieser Formel kannst du die Varianz einer Variablen bestimmen, wenn diese hypergeometrisch verteilt ist:


Der Varianz einer hypergeometrischen Verteilung berechnet sich aus:


Hypergeometrische Verteilung Berechnung Varianz StudySmarter


Die Varianz liefert dir Informationen darüber, wie stark die Werte der Verteilung um den Erwartungswert streuen. 



Hypergeometrische Verteilung - Beispiel


Nachdem du nun alle theoretischen Grundlagen für das Rechnen mit der hypergeometrischen Verteilung kennengelernt hast, werden diese im folgenden Abschnitt auf ein praktisches Beispiel übertragen. 


Stell dir vor, du sollst die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, beim Lottospielen genau drei Richtige zu tippen. Außerdem möchtest du den Erwartungswert und die Varianz beim Lotto bestimmen. 


Beim Lottospiel werden 6 aus 49 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Die Anzahl aller Elemente (N) beträgt 49, da sich so viele Kugeln in der Urne befinden. Weil insgesamt 6 Kugeln aus der Urne gezogen werden und als "Treffer" gelten, gilt für M und n:   und  .


Du bist also an dieser Verteilung interessiert:



Wenn du an der Wahrscheinlichkeit für genau drei Richtige im Lotto interessiert bist, beträgt .
Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, musst du nun einfach nur die gegebenen Werte in die Formel einsetzen:



Es folgt:



Die Wahrscheinlichkeit beim Lotto genau 3 Richtige zu tippen beträgt 1,765%. Bei etwa jedem 50. Spiel, an dem du teilnimmst, stimmen genau 3 Zahlen deines Tippscheins mit den tatsächlich gezogenen Zahlen überein.

Um den Erwartungswert zu berechnen, setzt du die Werte für n, M und N in die dazugehörige Formel ein:



Daraus resultiert:



Der Erwartungswert liegt bei etwa 0,735 und damit unter 1. Das bedeutet, dass man beim Lottospiel in der Regel nicht einmal eine einzige Zahl richtig tippt.

Nun muss nur noch die Varianz berechnet werden. Aber keine Sorge, auch hier müssen nur die oben bestimmten Werte in die Formel eingesetzt werden:



Nach Einsetzen der Werte folgt:



Die Varianz beim Lottospielen beträgt etwa 0,5776. 


Hypergeometrische Verteilung und Binomialverteilung - Vergleich


Die hypergeometrische Verteilung und die Binomialverteilung haben einige Gemeinsamkeiten, aber auch Unterschiede. 

Welche das genau sind und wann du welche der beiden Verteilungsformen anwendest, erfährst du in diesem Abschnitt. 


Hypergeometrische Verteilung und Binomialverteilung - Gemeinsamkeiten


Sowohl die hypergeometrische Verteilung als auch die Binomialverteilung sind diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Außerdem berücksichtigen beide Verteilungsformen nur zwei mögliche Ergebnisse: Erfolg und Misserfolg. Es handelt sich also um dichotome Verteilungen.

Mit beiden Wahrscheinlichkeitsverteilungen soll die Wahrscheinlichkeit für das Erzielen von genau k Treffern berechnet werden. 


Hypergeometrische Verteilung und Binomialverteilung - Unterschiede


Bei der Binomialverteilung sind die Wahrscheinlichkeiten für Erfolg und Misserfolg in allen Zügen gleich groß. Das entspricht dem Prinzip "Ziehen mit Zurücklegen". 

Bei der hypergeometrischen Verteilung hingegen ändern sich die Erfolgs- und Misserfolgswahrscheinlichkeiten mit jedem Zug, da es sich hier um den Fall "Ziehen ohne Zurücklegen" handelt.

Das hat zur Folge, dass die Menge, aus der gezogen wird bei der hypergeometrischen Verteilung begrenzt ist. Bei der Binomialverteilung kann diese Menge sowohl begrenzt als auch unbegrenzt sein. 



Hypergeometrische Verteilung - Das Wichtigste

  • Die hypergeometrische Verteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung. 
  • Sie wird für Zufallsexperimente verwendet, in denen es nur zwei Ergebnisse gibt: Erfolg und Misserfolg. 
  • Die hypergeometrische Verteilung berücksichtigt sich verändernde Wahrscheinlichkeiten für Erfolg und Misserfolg. 
  • Ein typisches Beispiel für die Berechnung der Erfolgswahrscheinlichkeit mithilfe der hypergeometrischen Verteilung ist das Lottospielen. 
  • Von der Idee her ist die hypergeometrische Verteilung der Binomialverteilung sehr ähnlich. 
  • Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von X = k Treffern wird mit dieser Formel berechnet:  




Häufig gestellte Fragen zum Thema Hypergeometrische Verteilung

Bei der Binomialverteilung sind die Wahrscheinlichkeiten für Erfolg und Misserfolg in allen Zügen gleich groß. Das entspricht dem Prinzip "Ziehen mit Zurücklegen". 

Bei der hypergeometrischen Verteilung hingegen ändern sich die Erfolgs- und Misserfolgswahrscheinlichkeiten mit jedem Zug, da es sich hier um den Fall "Ziehen ohne Zurücklegen" handelt. 

Bei der hypergeometrischen Verteilung handelt es sich um eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie wird für Zufallsereignisse verwendet, bei denen es nur zwei mögliche Ergebnisse gibt: Erfolg und Misserfolg. Die Verteilung ist also dichotom. 

Die hypergeometrische Verteilung berücksichtigt sich verändernde Wahrscheinlichkeiten für Erfolg und Misserfolg, wie es bei einer Urne ohne Zurücklegen der Fall ist. 


Die Poisson-Verteilung ist eine Verteilung, die bei seltenen Ereignissen genutzt wird. 

Sie stellt die genaue Binomialverteilung vereinfacht dar, da diese bei seltenen Ereignissen sehr aufwändig zu berechnen ist. 

Die Konvention ist, dass die Poisson-Verteilung verwendet wird, wenn n größer als 100 und p kleiner als 0,1 ist. 

Bei der Binomialverteilung sind die Wahrscheinlichkeiten für Erfolg bzw. Misserfolg konstant. Das entspricht dem Prinzip "Ziehen mit Zurücklegen". 

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