Zahlenlehre: Definition, Übersicht & Beispiele | StudySmarter
StudySmarter - Die all-in-one Lernapp.
4.8 • +11k Ratings
Mehr als 5 Millionen Downloads
Free

Zahlenlehre

Save Speichern
Print Drucken
Edit Bearbeiten
Melde dich an und nutze alle Funktionen. Jetzt anmelden
X
Du hast bereits eine Erklärung angesehen Melde dich kostenfrei an und greife auf diese und tausende Erklärungen zu
Mathe


In diesem Kapitel geht es um einige grundlegende Dinge in der Algebra. Kennst du den Unterschied zwischen Zahlen und Ziffern? Weißt du, was der Betrag einer Zahl ist? Oder was Ordinalzahlen und Kardinalzahlen sind? All das wirst du hier in diesem Kapitel erfahren. 


Das Kapitel Zahlenlehre gehört in das Fach Mathe und dort in den Bereich Algebra




Was lernst du in diesem Kapitel?

In diesem Kapitel lernst du einige Algebra-Basics kennen. Diese sind: 

  • Zahlen und Ziffern
  • Zahlenstrahl und Zahlengerade
  • Anordnung von Zahlen
  • Betrag
  • Gegenzahl
  • Kehrwert
  • Kehrbruch
  • Römische Zahlen
  • Ordinalzahl und Kardinalzahl
  • Zahlensysteme
  • Stellenwertsystem
  • Vielfaches
  • Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)
  • Teiler
  • Teilbarkeitsregeln
  • Größter gemeinsamer Teiler (ggT)
  • Quersumme
  • Primfaktorzerlegung



Was solltest du vor diesem Kapitel wissen?

Es wäre gut, wenn du bereits die natürlichen Zahlen und die ganzen Zahlen kennst. Für das ein oder andere Thema ist es auch von Vorteil, wenn du Brüche schon kennst, aber dieses Vorwissen brauchst du auf keinen Fall für alle Artikel. 


Viel Spaß beim Lernen!   

Häufig gestellte Fragen zum Thema Zahlenlehre

Nein. 1,5 ist eine rationale Zahl.
Die nächsten natürlichen Zahlen sind die 1 oder die 2.

Zu den reellen Zahlen gehören die natürlichen Zahlen, die ganzen Zahlen, die rationalen Zahlen und die irrationalen Zahlen. Alle Zahlen, die du in der Schule lernst, sind reelle Zahlen.

Den Begriff "unnatürliche Zahl" gibt es nicht. Aber was du wahrscheinlich meintest: alle negativen Zahlen sowie alle Dezimalzahlen, also Zahlen mit Nachkommastellen, sind keine natürlichen Zahlen.

Die Menge, die mit einem mathematischen ℤ  bezeichnet wird, ist die Menge der ganzen Zahlen. Das sind alle positiven und negativen Zahlen, die keine Nachkommastellen haben.

Finales Zahlenlehre Quiz

Frage

Was ist die 1. binomische Formel?

Antwort anzeigen

Antwort

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Frage anzeigen

Frage

Was ist die 2. binomische Formel?

Antwort anzeigen

Antwort

(a – b)² = a² – 2ab + b²

Frage anzeigen

Frage

Was ist die 3. binomische Formel?

Antwort anzeigen

Antwort

(a + b) * (a – b) = a² – b²

Frage anzeigen

Frage

Wende die 1. binomische Formel an: (3x + 4)²


Antwort anzeigen

Antwort

(3x + 4)²
= (3x)² + 2 ⋅ 3x ⋅ 4 + 42 

= 9x² + 24x + 16

Frage anzeigen

Frage

Wende die 2. binomische Formel an: (y-2)²

Antwort anzeigen

Antwort

(y – 2)²
= y² – 2 ⋅ y ⋅ 2 + 2²
= y² – 4y + 4

Frage anzeigen

Frage

Wende die 3. binomische Formel an: (4x + 5) * (4x - 5)

Antwort anzeigen

Antwort

(4x + 5) ⋅ (4x – 5) 

= (4x)² – 52

= 16x² – 25

Frage anzeigen

Frage

Löse die Klammern auf.


(16 + m)²

Antwort anzeigen

Antwort

(16 + m)²
= 162 + 2 ⋅ 16 ⋅ m + m²
= 256 + 32m + m²

Frage anzeigen

Frage

Löse die Klammern auf.


(s – 20)²


Antwort anzeigen

Antwort

(s – 20)²

= s² – 2 ⋅ 20 ⋅ s + 202 

= s² – 40s + 400

Frage anzeigen

Frage

Löse die Klammer auf


(5x + 4)²

Antwort anzeigen

Antwort

(5x + 4)²

= (5x)²  + 2 ⋅ 5 ⋅ x ⋅ 4 + 4²

= 25x²  + 40x + 16

Frage anzeigen

Frage

Löse die Klammern auf 


(t – 12) ⋅ (t + 12)

Antwort anzeigen

Antwort

(t – 12) ⋅ (t + 12)

= t² – 122
= t² – 144

Frage anzeigen

Frage

Welcher Fehler wurde hier gemacht?


(x + 3)² = 2x + 6x + 9

Antwort anzeigen

Antwort

Richtig ist: (x + 3)² = x² + 6x + 9

Frage anzeigen

Frage

Welcher Fehler wurde hier gemacht? 


(2x – 6)² = 4x² + 12x + 36

Antwort anzeigen

Antwort

Richtig ist: (2x – 6)² = 4x² - 12x + 36

Frage anzeigen

Frage

Welcher Fehler wurde hier gemacht? 


36 + 48a + 16a² = (6 + 4a²)

Antwort anzeigen

Antwort

Richtig ist: 36 + 48a – 16a² = (6 + 4a)²

Frage anzeigen

Frage

Forme die Terme zu Klammertermen um


4x² + 4x + 1

Antwort anzeigen

Antwort

4x² + 4x + 1 

= (2x + 1)²

Frage anzeigen

Frage

Forme den Term zu einem Klammerterm um


s² – 4


Antwort anzeigen

Antwort

s² – 4 

= (s + 2)*(s – 2)

Frage anzeigen

Frage

Forme den Term zu einem Klammerterm um


0,04n²– 0,4n + n2

Antwort anzeigen

Antwort

0,04n² – 0,4n + n2
= (0,2n – n)²

Frage anzeigen

Frage

Forme den Term zu einem Klammerterm um


16 – 8b + b²

Antwort anzeigen

Antwort

16 – 8b + b²

= (4 – b)²

Frage anzeigen

Frage

Wie heißt unser Zahlensystem? 


Antwort anzeigen

Antwort

Zehnersystem. Die zehn Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 genügen, um jede beliebige Zahl darzustellen.

Frage anzeigen

Frage

Was sind natürliche Zahlen? 

Antwort anzeigen

Antwort

Die Zahlen (1, 2, 3, 4, …), mit denen du abzählst, nennt man natürliche Zahlen

Frage anzeigen

Frage

Was ist die Menge der ganzen Zahlen? 

Antwort anzeigen

Antwort

Man erweitert die natürlichen Zahlen um ihre negativen Gegenzahlen und erhält die Menge der ganzen Zahlen

Frage anzeigen

Frage

Was ist der Betrag einer Zahl? 

Antwort anzeigen

Antwort

Der Abstand einer Zahl a von 0 wird ihr Betrag IaI genannt. Der Betrag einer Zahl ist immer positiv oder null.

Frage anzeigen

Frage

Wann entstehen Brüche? 

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn man ein Ganzes oder mehrere Ganze in gleich große Teile zerlegt.

Frage anzeigen

Frage

Was sagt der Zähler und Nenner eines Bruchs aus?

Antwort anzeigen

Antwort

Am Nenner eines Bruches erkennt man, in wie viele Teile ins- gesamt zerlegt wird. 


Der Zähler gibt an, wie viele dieser Teile genommen werden.

Frage anzeigen

Frage

Was sind gemischte Zahlen? 

Antwort anzeigen

Antwort

Gemischte Zahlen setzen sich aus einer ganzen Zahl und einem Bruch zusammen.

Frage anzeigen

Frage

Was bilden alle positiven und negativen Brüche zusammen? 

Antwort anzeigen

Antwort

Die Menge der rationalen Zahlen.

Frage anzeigen

Frage

Was hat jede Zahl?

Antwort anzeigen

Antwort

Jede natürliche Zahl hat eine bestimmte Anzahl von Teilern, d. h. Zahlen, durch die sie ohne Rest teilbar ist, und eine unendliche Anzahl von Vielfachen.

Frage anzeigen

Frage

Was ist die Teilermenge einer Zahl? 

Antwort anzeigen

Antwort

Sämtliche Teiler einer natürlichen Zahl n bilden die endliche Teilermenge Tn.


Tn enthält stets die Teiler 1 und n, die deshalb auch als uneigentliche Teiler bezeichnet werden.

Frage anzeigen

Frage

Was ist die Teilermenge von 16?

Antwort anzeigen

Antwort

T = {1; 2; 4; 8; 16}

Frage anzeigen

Frage

Was ist die Vielfachmenge einer Zahl?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Menge aller Vielfachen einer natürlichen Zahl n, die Vielfachenmenge Vn, ist im Gegensatz zur Teilermenge Tn eine unendliche Menge


Vn = (n; 2 ∙ n; 3 ∙ n; …)

Frage anzeigen

Frage

Was ist die Vielfachmenge von 3?

Antwort anzeigen

Antwort

V3 = {3; 6; 9; 12; 15; …}

Frage anzeigen

Frage

Was ist der größte gemeinsame Teiler? 

Antwort anzeigen

Antwort

Der größte gemeinsame Teiler (ggT) zweier oder mehrerer natürlicher Zahlen ist die größte Zahl, die alle diese Zahlen teilt.

Frage anzeigen

Frage

Was ist der größte gemeinsame Teiler von 12 und 18?

Antwort anzeigen

Antwort

T12 = {1; 2; 3; 4; 6; 12} 

T18 = {1; 2; 3; 6; 9; 18} 

ggT(12; 18) = 6

Frage anzeigen

Frage

Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache? 

Antwort anzeigen

Antwort

Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zweier oder mehrerer natürlicher Zahlen ist die kleinste Zahl, die durch alle diese Zahlen teilbar ist.

Frage anzeigen

Frage

Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 12 und 18?

Antwort anzeigen

Antwort

V12 = {12; 24; 36; 48; 60; 72; …} 

V18 = {18; 36; 54; 72; 90; …} 

kgV(12; 18) = 36

Frage anzeigen

Frage

Welche Endstellenregeln gibt es?

Antwort anzeigen

Antwort

  • Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn ihre Endziffer gerade (0, 2, 4, 6 oder 8) ist.
  • Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die beiden letzten Ziffern der Zahl 00 sind oder eine durch 4 teilbare Zahl bilden.
  • Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn sie auf 0 oder 5 endet.
  • Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn sie auf 0 endet.
Frage anzeigen

Frage

Ist die Zahl 916 durch 2, 4, 5 oder 10 teilbar?


Antwort anzeigen

Antwort

Die Zahl 916 ist durch 2 teilbar, weil ihre Endziffer gerade ist. 


Sie ist auch durch 4 teilbar, weil die letzten beiden Ziffern (16) durch 4 teilbar sind. 


916 ist aber nicht durch 5 bzw. 10 teilbar, weil die Zahl weder auf 0 noch auf 5 endet.

Frage anzeigen

Frage

Was ist die Quersummenregel?

Antwort anzeigen

Antwort

  • Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.
  • Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
Frage anzeigen

Frage

Wie berechnet man die Quersumme einer Zahl?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Quersumme einer Zahl ist die Summe aller Ziffern der Zahl.

Frage anzeigen

Frage

ist die Zahl 2154 durch 3 und 9 teilbar? 

Antwort anzeigen

Antwort

Quersumme = 2 + 1 + 5 + 4 = 12


Die Quersumme der Zahl und damit auch die Zahl selbst ist durch 3, aber nicht durch 9 teilbar.

Frage anzeigen

Frage

Wann ist eine Teilbarkeit durch 6 gegeben?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Teilbarkeit durch 6 = 2 ∙ 3 ergibt sich, wenn die Zahl durch 2 und durch 3 teilbar ist. 


Eine natürliche Zahl ist also durch 6 teilbar, wenn ihre Endziffer 0, 2, 4, 6 oder 8 ist und wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.

Frage anzeigen

Frage

Was sind Primzahlen? 

Antwort anzeigen

Antwort

Eine natürliche Zahl heißt Primzahl, wenn sie genau zwei Teiler besitzt. Eine Primzahl ist nur durch sich selbst und 1 teilbar.


Die Zahl 1 hat nur einen Teiler, daher ist 1 keine Primzahl. Die kleinste und gleichzeitig die einzige gerade Primzahl ist 2.

Frage anzeigen

Frage

Welche Regeln gelten für römische Zahlzeichen? 

Antwort anzeigen

Antwort

  • Bei absteigenden Werten der Zahlzeichen von links nach rechts werden die Werte addiert
  • Steht ein Zahlzeichen mit geringerem Wert links von einem Zeichen mit höherem Wert, wird das kleinere vom größeren subtrahiert.
  • Es werden höchstens drei gleiche Hauptzeichen hinter- einander notiert.
  • Nebenzeichen werden nicht wiederholt.
Frage anzeigen

Frage

Berechne die römische Ziffern: XI 

Antwort anzeigen

Antwort

XI = 10 + 1 = 11

Frage anzeigen

Frage

Berechne die römische Ziffern: IX

Antwort anzeigen

Antwort

IX = 10 - 1 = 9

Frage anzeigen

Frage

Berechne die römische Ziffern: LXXXVIII

Antwort anzeigen

Antwort

LXXXVIII = 50 + 10 +10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1 = 88

Frage anzeigen

Frage

Berechne die römische Ziffern: XCIX

Antwort anzeigen

Antwort

XCIX = (100 - 10) + (10 -1) = 90 + 9 = 99

Frage anzeigen

Frage

Berechne die römische Ziffern: MCDXIX

Antwort anzeigen

Antwort

MCDXIX = 1000 +(500 - 100) + 10 + (10-1) = 1419

Frage anzeigen

Frage

Wieso kann es sinnvoll sein Werte zu runden? 

Antwort anzeigen

Antwort

Manchmal ist es nicht sinnvoll, für eine Größe ganz genaue Zahlenwerte anzugeben, etwa bei der Einwohnerzahl einer Großstadt, die sich täglich ändert. 


In einem solchen Fall gibt man gerundete Zahlenwerte an. Ein (genauer) Wert wird dann durch einen Näherungswert ersetzt.

Frage anzeigen

Frage

Wann wird abgerundet? 

Antwort anzeigen

Antwort

Vor dem Runden wird die gewünschte Stelle bestimmt, auf die gerundet werden soll.


Folgt als nächste Ziffer eine 0, 1, 2, 3 oder 4, wird abgerundet. Die Ziffer an der gewünschten Stelle bleibt stehen.

Frage anzeigen

Frage

Wann wird aufgerundet? 

Antwort anzeigen

Antwort

Vor dem Runden wird die gewünschte Stelle bestimmt, auf die gerundet werden soll.


Folgt als nächste Ziffer eine 5, 6, 7, 8 oder 9, wird aufgerundet. Die Ziffer an der gewünschten Stelle wird um 1 erhöht.

Frage anzeigen
Mehr zum Thema Zahlenlehre
60%

der Nutzer schaffen das Zahlenlehre Quiz nicht! Kannst du es schaffen?

Quiz starten

Über 2 Millionen Menschen lernen besser mit StudySmarter

  • Tausende Karteikarten & Zusammenfassungen
  • Individueller Lernplan mit Smart Reminders
  • Übungsaufgaben mit Tipps, Lösungen & Cheat Sheets

Finde passende Lernmaterialien für deine Fächer

Hol dir jetzt die Mobile App

Die StudySmarter Mobile App wird von Apple & Google empfohlen.

Zahlenlehre
Lerne mit der Web App

Alle Lernunterlagen an einem Ort mit unserer neuen Web App.

JETZT ANMELDEN Zahlenlehre