Addition von Vektoren

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 In diesem Kapitel geht es um die Addition von Vektoren. Dieses Thema ist in das Fach „Mathematik“ einzuordnen. Die Addition von Vektoren gehört zum Thema der Vektoren.


Wir erklären dir in den folgenden Abschnitten die wichtigsten Begriffe zu diesem Thema und verdeutlichen dir das Ganze noch an Beispielen. 


Am Ende dieses Kapitels bist du sicher ein Profi! ☺

Am Schluss haben wir dir noch einmal das Wichtigste zu zum Thema „Addition von Vektoren“ zusammengefasst!


Um ein breiteres Verständnis für das Überthema Vektoren zu erhalten, schau dir doch unseren anderen Artikel zum Thema Vektoren an!




Addition von Vektoren– die Basics zuerst!  


Neben der Subtraktion von Vektoren, kannst du natürlich Vektoren auch addieren. Wir veranschaulichen dir das Ganze an Grafiken, so kannst du dir die Addition von Vektoren nämlich besser vorstellen. 



Voraussetzungen für die Addition von Vektoren


Wichtig bei der Vektoraddition ist, dass die zu addierenden Vektoren die gleiche Art haben. Außerdem müssen sie die gleiche Dimension haben, also entweder müssen beide Vektoren im zweidimensionalen Raum sein oder beide im dreidimensionalen Raum, etc., sein.


Schauen wir uns dazu ein paar Beispiele an:


  • : gleiche Art und Dimension, deshalb ist eine Addition möglich

  • : gleiche Art, allerdings nicht die gleiche Dimension, deshalb ist keine Addition möglich

  • : gleiche Dimension, allerdings nicht die gleiche Art ( ist ein Zeilenvektor, während ein Spaltenvektor ist) deshalb ist keine Addition möglich

  • : gleiche Art und die gleiche Dimension, deshalb ist eine Addition möglich





Addition von Vektoren - grafisch 


Stell dir vor, du möchtest die beiden Vektoren   addieren. Zuerst schauen wir uns das einmal bildlich an. Wir haben zwei Vektoren gegeben und addieren diese jetzt.




Dazu legen wir an die Spitze des ersten Vektors, den Anfang des zweiten Vektors . Allerdings ist es egal mit welchem Vektor, also Pfeil, du beginnst. Du kannst auch den Anfang des zweiten Vektors , an die Spitze des ersten Vektors legen, das Ergebnis bleibt gleich (Kommutativgesetz). Das Ergebnis dieses Vorgangs ist wieder ein Vektor, der Vektor .


Der Ergebnisvektor reicht vom Fuß des ersten Vektors  bis zu der Spitze des zweiten Vektors .






Schreibweise


Wie oben kurz angesprochen, ist es aufgrund des Kommutativgesetzes egal, in welcher Reihenfolge du die zu addierenden Vektoren schreibst. 




Addition von Vektoren – rechnerisch 


Wenn du zwei Vektoren rechnerisch addieren möchtest, musst du jeweils die Komponenten der beiden Vektoren  und addieren. Die Vektoren können auch mehr als zwei Werte in der Matrix haben und beispielsweise so aussehen: .



Formel zur Addition von Vektoren 


Du berechnest die Addition der Vektoren  wie folgt:


Schau, die Addition von Vektoren ist eigentlich doch gar nicht so schwer! ☺ Wir müssen bloß die einzelnen Komponenten addieren und schon haben wir den resultierenden Vektor!




Beispielaufgaben zur Addition von Vektoren 



Beispielaufgabe 1


Die Aufgabe lautet:

Berechne die Summe der beiden Vektoren


Lösung:

  1. Wir können diese Aufgabe berechnen, da beide Vektoren die gleiche Art und die gleiche Dimension haben.
  2. Wir setzen die Werte der beiden Vektoren in die Formel  von oben ein und erhalten:


 




Beispielaufgabe 2


Die Aufgabe lautet:

Berechne die Summe der beiden Vektoren  


Lösung:

Wir können diese Aufgabe nicht berechnen, da die beiden Vektoren zwar die gleiche Art, aber nicht die gleiche Dimension (ein Vektor ist im dreidimensionalen Raum und ein Vektor im zweidimensionalen Raum) haben.



Addition von Vektoren - Alles Wichtige auf einen Blick 


In diesem Kapitel haben wir uns mit der Addition von Vektoren beschäftigt.


  • Dazu legen wir an die Spitze des ersten Vektors , den Anfang des zweiten Vektors .
    Der Vektor, der das Ende des ersten Vektors und die Spitze des zweiten Vektors verbindet, ist das Ergebnis dieser Vektoraddition.


  • Natürlich kannst du das Ergebnis auch einfach berechnen. Du berechnest die Addition der Vektoren mit dieser Formel: (dabei ist es egal in welcher Reihenfolge die Vektoren stehen) 






Finales Addition von Vektoren Quiz

Frage

Verrechne die folgenden Vektoren wie vorgegeben.


u = (2, 1, 3)

v = (3, 0, 3)

w = (0, 2, 1)


a. u + v

b. u + w

c. v - w

Antwort anzeigen

Antwort

a. (5, 1, 6)

b. (2, 3, 4)

c. (3, -2, 2)

Frage anzeigen

Frage

Verrechne die folgenden Vektoren wie vorgegeben.


u = (3, 5, 0)

v = (4, 6, 2)

w = (0, 2, 1)


a. u + v

b. u + w

c. v - w

Antwort anzeigen

Antwort

a. (7, 11, 2)

b. (3, 7, 1)

c. (4, 4, 1)

Frage anzeigen

Frage

Verrechne die folgenden Vektoren wie vorgegeben.


u = (2, 5, 0)

v = (3, 0, 4)

w = (2, 2, 2)


a. u + v

b. u + w

c. v - w

d. w - u

Antwort anzeigen

Antwort

a. (5, 5, 4)

b. (4, 7, 2)

c. (1, -2, 2)

d. (0, -3, 2)

Frage anzeigen

Frage

Verrechne die folgenden Vektoren wie vorgegeben.


u = (4, 2, 1)

v = (0, 3, 1)

w = (3, 1, 3)


a. u + v

b. u + w

c. v - w

d. w - u

Antwort anzeigen

Antwort

a. (4, 5, 2)

b. (7, 3, 4)

c. (-3, 2, -2)

d. (-1, -1, 2)

Frage anzeigen

Frage

Verrechne die folgenden Vektoren wie vorgegeben.


u = (3, 2, 3)

v = (2, 0, 3)

w = (1, 1, 4)


a. u + v

b. u + w

c. v - w

d. w - u

Antwort anzeigen

Antwort

a. (5, 2, 6)

b. (4, 3, 7)

c. (1, -1, -1)

d. (-2, -1, 1)

Frage anzeigen

Frage

Verrechne die folgenden Vektoren wie vorgegeben.


u = (4, 0, 4)

v = (2, 3, 2)

w = (2, 1, 4)


a. u + v

b. u + w

c. v - w

d. w - u

Antwort anzeigen

Antwort

a. (6, 3, 6)

b. (6, 1, 8)

c. (0, 2, -2)

d. (-2, 1, 0)

Frage anzeigen

Frage

Verrechne die folgenden Vektoren wie vorgegeben.


u = (3, 1, 4)

v = (5, 2, 3)

w = (2, 3, 0)


a. u + v

b. u + w

c. v - w

d. w - u

Antwort anzeigen

Antwort

a. (8, 3, 7)

b. (5, 4, 4)

c. (3, -1, 3)

d. (-1, 2, -4)

Frage anzeigen

Frage

Verrechne die folgenden Vektoren wie vorgegeben.


u = (3, 5, 0)

v = (1, 3, 4)

w = (3, 3, 3)


a. u + v

b. u + w

c. v - w

d. w - u

Antwort anzeigen

Antwort

a. (4, 8, 4)

b. (6, 8, 3)

c. (-2, 0, 1)

d. (0, -2, 3)

Frage anzeigen

Frage

Verrechne die folgenden Vektoren wie vorgegeben.


u = (2, 2, 3)

v = (4, 6, 3)

w = (8, 3, 6)


a. u + v

b. u + w

c. v - w

d. w - u


Antwort anzeigen

Antwort

a. (6, 8, 6)

b. (10, 5, 9)

c. (-4, 3, -3)

d. (6, 1, 3)

Frage anzeigen

Frage

Verrechne die folgenden Vektoren wie vorgegeben.


u = (0, 1, 3)

v = (0, 6, -1)

w = (-4, 2, -2)



a. u + v

b. u + w

c. v - w

d. w - u

Antwort anzeigen

Antwort

a. (0, 7, 2)

b. (-4, 3, 1)

c. (4, 4, 1)

d. (-4, 1, -5)

Frage anzeigen
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