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Vektoren

Frage

Gegeben ist das Dreieck ABC. Bestimmen Sie den Punkt D, sodass das Viereck ABCD ein Parallelogramm ist. Zeichnen Sie die Punkte und die entsprechenden Ortsvektoren in ein Diagramm:

Berechnen Sie die folgenden Vektoren und zeichnen diese in das Diagramm ein. Welcher ist der Vektor zu Punkt D?



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Antwort

D = (1 | 0)

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Frage

Zeichne die folgenden Vektoren in ein passendes Koordinatensystem ein:


a.) 




b.)




c.)




d.)



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Antwort

Lösung:



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Frage

Zeichne die Vektoren a und b:

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Antwort

a: blau b: grün

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Frage

Zeichne die Vektoren a und b:

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blau: Vektor a

grün: Vektor b


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Frage

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Frage

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Frage

Was versteht man unter einem Vektor?

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Antwort

Unter einem Vektor versteht man die Menge aller gleich lan-
gen, gleich gerichteten und parallelen Pfeile (= parallelglei-
chen Pfeile).

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Frage

Was versteht man unter einem Vektor?

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Unter einem Vektor versteht man die Menge aller gleich lan-
gen, gleich gerichteten und parallelen Pfeile (= parallelglei-
chen Pfeile).

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Frage

Gegeben sind die Punkte A(5;3;2) und B(2;-1;1). Berechnen Sie mit Hilfe der Ortsvektoren zu den Punkten A und B folgende Vektoren:



Welche Länge hat die Strecke von A nach B und welche Koordinaten hat der Mittelpunkt M der Strecke von A nach B?

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Frage

Durch Welche Gegenkraft lassen sich die Kräfte F1, F2 und F3 im Gleichgewicht halten?

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Frage

Prüfen Sie, ob die Punkte A, B, C und D in einer gemeinsamen Ebene liegen. 

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Die Punkte liegen auf einer gemeinsamen Geraden und somit in einer Ebene.

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Frage

Prüfen Sie, ob Matrix Q orthogonal ist. Welche Wirkung hat Q auf einen Vektor x. Betrachten Sie dazu Zylinderkoordinaten. 

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Antwort

Die Matrix Q ist orthogonal, da die beiden Spaltenvektoren senkrecht zueinander sind. Die Matrix bewirkt die Drehung eines Vektors x um den Winkel.

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Frage

Zeige, dass die Matrix

orthogonal ist, also die Bedingung

erfüllt und bestimme den Vorfaktor Lambda.

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Frage

Zeige, dass die Matrix

orthogonal ist, also die Bedingung

erfüllt.

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Frage

Addiere die folgenden drei Vektoren

grafisch.

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Frage

Löse die folgende Vektorrechnung

für die gegebenen Vektoren

grafisch.


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Frage

Stelle die folgenden Vielfachen eines Vektors

grafisch dar.


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Frage

Bestimme die folgenden Vektoraddition

grafisch.

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Frage

Bestimme grafisch jenen Vektor, der die gleiche Richtung und den gleichen Betrag wie die Summe der Vektoren

hat, aber bzgl. diesem Summenvektor entgegengesetzt orientiert ist.

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Frage

Bestimme grafisch jenen Vektor x, für den die Bedingung





erfüllt ist!


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Frage

Zeichne die folgenden Vektoren, die alle den Anfangspunkt (0|0) haben, in ein zweidimensionales Koordinatensystem :


  1. u(3|2)
  2. v(4|-1)
  3. w(-2|5)
  4. z(-3|-2)
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Antwort


  1. siehe den roten Vektor
  2. siehe den blauen Vektor
  3. siehe den grünen Vektor
  4. siehe den schwarzen Vektor
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Frage

Zeichne folgende Vektoren




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Zeichne folgende Vektoren



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Frage

Bestimme zeichnerich die Endpunkte der Vektoren indem du zum Anfangspunkt den Vektor addierst:




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Frage

Addiere die folgenden drei Vektoren

grafisch.

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Frage

Bestimme grafisch jenen Vektor, der die gleiche Richtung und den gleichen Betrag wie die Summe der Vektoren

hat, aber bzgl. diesem Summenvektor entgegengesetzt orientiert ist.

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Bestimme grafisch jenen Vektor x, für den die Bedingung

erfüllt ist!


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Bestimme die folgenden Vektoraddition

grafisch.


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Frage

Zeige, dass die Drehmatrix

orthogonal ist, also die Bedingung

erfüllt.




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Antwort

Bedingung erfüllt, vgl. Lösungsweg!

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Frage

Überprüfe, ob es sich bei den folgenden Matrizen um orthogonale Matrizen handelt!










 



 

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Antwort

  1. Die angegebene Matrix ist keine orthogonale Matrix.
  2. Die angegebene Matrix ist eine orthogonale Matrix.
  3. Die angegebene Matrix ist eine orthogonale Matrix.
  4. Die angegebene Matrix ist keine orthogonale Matrix.

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Frage

Bestimme die Parameter a > 0 und b,c,d ≥ 0, so dass

orthogonal ist, also die Bedingung

erfüllt.


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Frage

Zeige, dass die Matrix

orthogonal ist, also die Bedingung

erfüllt.

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Bedingung erfüllt, vgl. Lösungsweg!

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Frage

Gegeben sei die folgende Matrix:

 

Für welche a und b ist die Matrix A orthogonal?

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Frage

Zeige, dass die Matrix

orthogonal ist, also die Bedingung

erfüllt.

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Bedingung erfüllt, vgl. Lösungsweg! 

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Zeige, dass die Matrix

orthogonal ist!

Welche Bedingung muss sie erfüllen?

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Zeige, dass die Matrix


orthogonal ist, also die Bedingung

erfüllt.

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Bedingung erfüllt, vgl. Lösungsweg!

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Welche Aussage(n) bzw. Eigenschaft(en) trifft/treffen auf eine orthogonale Matrix A zu?

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Welche der beiden Matrizen ist orthogonal?

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Welche der beiden Matrizen ist orthogonal?


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Welche der beiden Matrizen ist orthogonal?


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Welche der beiden Matrizen ist orthogonal?

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Welche der beiden Matrizen ist orthogonal?

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Welche der beiden Matrizen ist orthogonal? 

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Welche der beiden Matrizen ist orthogonal?


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