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Standardabweichung

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Standardabweichung

Nach einem Test oder einer Klausur schreiben Lehrer häufig einen Notenspiegel an die Tafel, meistens direkt mit der daraus berechneten Durchschnittsnote. Jetzt liegst Du vielleicht nicht genau im Durchschnitt, aber Du würdest trotzdem gerne wissen, ob Deine Note im „Normalbereich“ liegt. Als Referenz könnte Dir die Standardabweichung weiterhelfen, sie beschreibt die durchschnittliche Abweichung vom Mittelwert. In diesem Beispiel beschreibt sie also, wie nah die Schüler durchschnittlich am Mittelwert dran sind.

Standardabweichung Definition

Die Standardabweichung spielt eine wichtige Rolle in der Statistik. Ihre Funktion könntest Du dadurch beschreiben, dass sie das Verhalten von Variablen untersucht.

Die Standardabweichung ist eine der wichtigsten Streuungsmaße der Stochastik und beschreibt die durchschnittliche Abweichung vom Mittelwert. Sie wird hauptsächlich dazu eingesetzt, die Streuung von Verteilungen zu berechnen.

Zu der Standardabweichung gibt es vier Grundsätze, die Du Dir merken solltest:

  • Die Standardabweichung wird niemals negativ, sie kann nur positiv oder gleich 0 sein
  • Die Standardabweichung ist proportional zur Wurzel der Varianz, weshalb eine größere Varianz auch eine größere Standardabweichung bedeutet
  • Wenn Du Werte einberechnest, die weit von den anderen Werten entfernt sind, steigt die Standardabweichung stark
  • Die Standardabweichung hat die gleiche Einheit, wie die Messwerte

Standardabweichung der Grundgesamtheit – Formel

Es gibt zwei Formeln für die Standardabweichung, die Standardabweichung der Grundgesamtheit wird mit dem Formelzeichen σ beschrieben. Die Standardabweichung der Grundgesamtheit wird dann verwendet, wenn entweder die Grundgesamtheit (also zum Beispiel in einer Statistik über Ärzte Europas ALLE Ärzte in Europa) befragt werden, oder die Stichprobe die einzigen ist, auf die die Statistik bezogen wird. Also das Ergebnis der Statistik wird nur auf die Teilnehmenden Ärzte bezogen und nicht auf die Allgemeinheit der Ärzte.

Die Formel der Standardabweichung der Grundgesamtheit ist gleich der Wurzel der Varianz:

Standardabweichung Wurzel der Varianz StudySmarter

xi entspricht dem i-ten Messwert, μ dem Erwartungswert (Mittelwert), pi dem Gewichtungsfaktor und n der Anzahl der Messwerte.

Standardabweichung der Stichprobe – Formel

Die zweite Formel für die Standardabweichung ist die Standardabweichung der Stichprobe mit dem Formelzeichen s. Die Standardabweichung der Stichprobe wird dann verwendet, wenn eine Stichprobe für die Statistik verwendet wurde, die nicht der Gesamtheit entspricht, aber auf die Gesamtheit bezogen wird. Diese Formel ist die heutzutage am häufigsten verwendete.

Die Formel der Standardabweichung der Stichprobe ist ähnlich der Standardabweichung der Grundgesamtheit:

Standardabweichung Stichprobe StudySmarter

Es kann sein, dass Dir in der Mathematik der Begriff absolute Standardabweichung begegnet. Das ist nicht etwa eine dritte Form der Standardabweichung, sondern ist ein Oberbegriff für die Standardabweichungen der Stichprobe und der Grundgesamtheit und bedeutet, dass die Standardabweichung nicht im Verhältnis zu einem anderen Wert gesetzt wird. Das Gegenstück zur absoluten Standardabweichung ist die relative Standardabweichung, diese wird weiter unten erklärt.

Standardabweichung Anwendung

Bisher wurde in dieser Erklärung nur die Theorie behandelt, in diesem Abschnitt lernst Du deshalb alles rund um die Anwendung kennen.

Standardabweichung berechnen

Um die Standardabweichung zu berechnen, benötigst Du die Formeln von oben. Wie Du die Berechnung durchführst, siehst Du hier Schritt-für-Schritt.

  1. Den Erwartungswert (Mittelwert) berechnen
  2. Die Werte in die Formel einsetzten
  3. Formel innerhalb der Wurzel (Varianz) berechnen
  4. Wurzel ziehen

Nimm Dir doch wieder das Beispiel mit dem Notenspiegel vor.

Aufgabe 1

Deine Klasse hat letzte Woche einen Mathetest geschrieben und Eurer Lehrer schreibt Euch jetzt folgenden Notenspiegel an die Tafel:

Note
1
2
3
4
5
6
Anzahl
3
4
4
5
3
1
Berechne die Standardabweichung.Lösung1. Schritt: Mittelwert berechnenUm den Mittelwert zu berechnen, multiplizierst Du jeweils die Note mit der Anzahl der Note, die Ergebnisse, die Du dann jeweils herausbekommst, addierst Du und teilst das durch die Gesamtmenge an Noten

2. Schritt: Werte einsetzten

Mithilfe des Mittelwerts kannst Du jetzt auch die Formel für die Standardabweichung der Gesamtheit anwenden:

In diesem Beispiel wird die Standardabweichung der Gesamtheit verwendet, da hier nur Deine Klasse betrachtet wird und Eure Ergebnisse auf niemanden außerhalb Deiner Klasse bezogen werden.

3. Schritt: Innerhalb der Wurzel berechnen

In den Klammern wird jeweils der Mittelwert von der Note abgezogen, da diese Differenzen auch negativ werden könnten, wird die Klammer noch anschließend quadriert. Das wird dann noch mit der Häufigkeit multipliziert und alle Zwischenergebnisse addiert. Als Letztes teilst Du dann nur noch durch die Anzahl der Schüler.

4. Schritt: Wurzel ziehen

Für die Standardabweichung brauchst Du jetzt nur noch die Wurzel aus Deinem Ergebnis von Schritt 3 zu ziehen:

Die Standardabweichung Eures Klassenspiegels beträgt also 1,44.

Standardabweichung interpretieren

Bisher hast Du gelernt, wie Du die Standardabweichung berechnest, aber was bedeutet dieser Wer, den Du am Ende herausbekommst?

Als Veranschaulichung kannst Du Dir wieder Euren Notenspiegel für den Mathetest vornehmen:

Zu Erinnerung, der Notenspiegel lautetet:

Note

1

2

3

4

5

6

Anzahl

3

4

4

5

3

1

Als Mittelwert hattest Du die Note 3,2 herausbekommen, es wurde also durchschnittlich die Note 3,2 im Mathetest erreicht. Die von Dir berechnete Standardabweichung 1,44 bedeutet in diesem Fall folgendes: Von der durchschnittlich erreichten Note 3,2 liegen die Noten Deiner Mitschüler im Durchschnitt plus oder minus die Note 1,44 um die Note 3 herum.

Um das noch einmal zu verdeutlichen, kannst Du Dir eine noch extremere Notenverteilung mit dem gleichen Mittelwert ausdenken:

Note

1

2

3

4

5

6

Anzahl

7

4

0

1

3

5

Der Mittelwert liegt also wieder bei 3,2, doch wie sieht das mit der Standardabweichung aus?

Zwar haben beide Notenspiegel, den gleichen Durchschnitt, aber die einzelnen Noten der Schüler sind in diesem Fall vorwiegend in den sehr guten oder sehr schlechten Bereichen verteilt und damit um einiges weiter weg vom Durchschnitt als beim ersten Beispiel. Dieser große Abstand spiegelt sich in der Standardabweichung wider, die deutlich größer ist als beim ersten Beispiel.

Standardabweichung Zeichnen

Wie die Wahrscheinlichkeitsverteilungen, lässt sich die Standardabweichung auch grafisch darstellen. Dazu zeichnest Du zuerst die Wahrscheinlichkeitsverteilung Deiner Aufgabe in einem Koordinatensystem und verdeutlichst dann, wo die Standardabweichung liegt.

Wie genau Du die Standardverteilung einzeichnest, ist nicht vorgegeben. Wichtig ist, dass Du kennzeichnest, dass die Standardabweichung in einem bestimmten Abstand sowohl rechts als auch links vom Mittelwert liegen. In einigen Fällen ist es zudem sinnvoll, die Vielfachen von der Standardabweichung einzutragen.

In einer Normalverteilung würde das zum Beispiel so aussehen:

Standardabweichung Normalverteilung StudySmarterAbbildung 1: Standardabweichung in Normalverteilung

Die blaue Kurve beschreibt die Normalverteilung und die türkisfarbene Linie stellt den Mittelwert μ dar. Die magentafarbenen Linien stehen jeweils in einem Abstand zum Mittelwert, der dem Vielfachen von der Standardabweichung σ entspricht.

Eine Normalverteilung ist eine stetige und symmetrische Wahrscheinlichkeitsverteilung. Der Höhepunkt der Kurve liegt immer auf dem Mittelwert und die x-Achse wird mit \(x=\sigma\) beschrieben.

Aber die nicht jede Wahrscheinlichkeitsverteilung ist auch eine Normalverteilung, deshalb siehst Du hier einmal wie die Standardabweichung für den Mathetest eingezeichnet werden würde.

Aufgabe 2

Stelle die Standardabweichung des Notenspiegels in geeigneter Weise grafisch dar.

Lösung

1. Schritt:

Um die Standardabweichung in diesem Beispiel darzustellen, fehlt Dir erst noch die grafische Darstellung des Notenspiegels. Du kannst in einem Koordinatensystem auf der x-Achse die Noten abtragen und auf der y-Achse die Anzahl der Schüler, die diese Note erreicht haben. Die Werte zeichnest Du für die einzelnen Noten in der Form von Balken ein – und schon hast Du eine Wahrscheinlichkeitsverteilung des Notenspiegels aufgezeichnet.

Standardabweichung Wahrscheinlichkeitsverteilung StudySmarterAbbildung 2: Wahrscheinlichkeitsverteilung Notenspiegel

2. Schritt

Jetzt fehlt nur noch das Einzeichnen der Standardabweichung. Damit die Standardabweichung nicht zusammenhangslos dasteht, zeichnest Du zuerst den Mittelwert, in diesem Fall die Note 3,2, ein. Als Nächstes zeichnest Du zwei Linien in einem Abstand zum Mittelwert ein, der der Standardabweichung, hier also 1,44, entspricht. Das machst Du links und rechts vom Mittelwert. Beschrifte das ganze noch verständlich und Du hast die Aufgabe gelöst.

Standardabweichung Standardabweichung grafisch StudySmarterAbbildung 3: Standardabweichung grafisch

Relative Standardabweichung

Neben den zwei bereits genannten Arten der Standardabweichung – die Standardabweichung der Stichprobe und die Standardabweichung der Grundgesamtheit – gibt es noch eine andere Art von Standardabweichung. Sie wird aus der jeweiligen Standardabweichung abgeleitet und setzt die absolute Standardabweichung im Verhältnis zum Mittelwert.

Die relative Standardabweichung berechnet sich, indem die absolute Standardabweichung durch den Mittelwert geteilt wird:

Standardabweichung relative Standardabweichung StudySmarter

Wie würde das für den Notenspiegel Deiner Klasse aussehen?

Die relative Standardabweichung beträgt für Euren Klassenspiegel demnach 0,45.

Standardabweichung – Übungsaufgaben

Du würdest gerne das bisher gelernte weiter verfestigen? Dann rechne doch die folgenden Aufgaben einmal durch.

Aufgabe 3

Berechne die Standardabweichung der folgenden Tabelle:

Größe in cm610121418
Anzahl25601

Lösung

1. Schritt: Mittelwert berechnen

2. Schritt: Werte einsetzten

3. Schritt: Innerhalb Wurzel ausrechnen

4. Schritt: Wurzel ziehen

Die Standardabweichung beträgt 2,8 cm.

Aufgabe 4

Berechne die Standardabweichung der folgenden Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Standardabweichung Wahrscheinlichkeitsverteilung StudySmarterAbbildung 4: Wahrscheinlichkeitsverteilung

Lösung

1. Schritt: Mittelwert berechnen

2. Schritt: Werte einsetzten

3. Schritt: Innerhalb Wurzel ausrechnen

4. Schritt: Wurzel ziehen

Die Standardabweichung beträgt 16,85 g.

Aufgabe 5

Berechne die relative Standardabweichung für das Beispiel aus Aufgabe 4.

Lösung

Für die Berechnung der relativen Standardabweichung teilst Du die absolute Standardabweichung durch den Mittelwert. Aus der Aufgabe 4 erhältst Du die Werte für beides, und .

Die relative Standardabweichung beträgt 0,53.

Standardabweichung – Das Wichtigste

  • Die Standardabweichung ist eine der wichtigsten Streuungsmaße der Stochastik und beschreibt die durchschnittliche Abweichung vom Mittelwert. Sie wird hauptsächlich dazu eingesetzt, die Streuung von Verteilungen zu berechnen.
    • Die Standardabweichung wird niemals negativ, sie kann nur positiv oder gleich 0 sein
    • Die Standardabweichung ist proportional zur Wurzel der Varianz, weshalb eine größere Varianz auch eine größere Standardabweichung bedeutet
    • Wenn Du Werte einberechnest, die weit von den anderen Werten entfernt sind, steigt die Standardabweichung stark
    • Die Standardabweichung hat die gleiche Einheit, wie die Messwerte
  • die Standardabweichung der Grundgesamtheit wird mit dem Formelzeichen σ beschrieben
  • Die Formel der Standardabweichung der Grundgesamtheit ist gleich der Wurzel der Varianz
  • Die Standardabweichung der Stichprobe wird mit dem Formelzeichen s beschrieben
  • Die Formel der Standardabweichung der Stichprobe ist ähnlich der Standardabweichung der Grundgesamtheit:
  • Die Standardabweichung berechnet sich wie folgt:
    1. Den Erwartungswert (Mittelwert) berechnen
    2. Die Werte in die Formel einsetzten
    3. Formel innerhalb der Wurzel (Varianz) berechnen
    4. Wurzel ziehen
  • Du zeichnest die Standardabweichung, indem Du zuerst die Wahrscheinlichkeitsverteilung Deiner Aufgabe in einem Koordinatensystem zeichnest und dann verdeutlichst, wo die Standardabweichung liegt

  • Die relative Standardabweichung berechnet sich, indem die absolute Standardabweichung durch den Mittelwert μ geteilt wird:

Nachweise

  1. Ludwig Fahrmeir et al. (2016). Statistik : der Weg zur Datenanalyse. Springer Verlag

Häufig gestellte Fragen zum Thema Standardabweichung

Du berechnest die Standardabweichung, indem Du zuerst den Mittelwert Deiner Verteilung berechnest. Dieses Ergebnis benutzt Du, um die Varianz der Verteilung zu erhalten. Wenn Du die Wurzel aus der Varianz ziehst, erhältst Du die Standardabweichung.

Es gibt die Standardabweichung der Gesamtheit und die Standardabweichung der Stichprobe. Beide werden als absolute Standardabweichungen bezeichnet. Wenn Du eine absolute Standardabweichung ins Verhältnis mit dem Mittelwert setzt, heißt dies relative Standardabweichung.

Eine Standardabweichung ist genau dann zu hoch, wenn ein Zimmer zu bunt ist. Es kommt also ganz auf den Betrachter und den Verwendungszweck an, wann eine Standardabweichung zu hoch oder ein Zimmer zu bunt ist.

Die Formel für die Standardabweichung s entspricht der Wurzel aus dem folgenden Term: 1 durch n minus 1 multipliziert mit der Summe i = 1 bis n von dem Quadrat der Differenz xi minus μ .

Finales Standardabweichung Quiz

Frage

Was beschreibt die Standardabweichung?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Standardabweichung beschreibt die durchschnittliche Abweichung vom Mittelwert.

Frage anzeigen

Frage

Wozu wird die Standardabweichung hauptsächlich angewendet?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Standardabweichung wird hauptsächlich dazu eingesetzt, die Streuung von Verteilungen zu berechnen.

Frage anzeigen

Frage

Kann die Standardabweichung negativ werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Standardabweichung wird niemals negativ, sie kann nur positiv oder gleich 0 sein.

Frage anzeigen

Frage

In welchem Verhältnis stehen Varianz und Standardabweichung?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Standardabweichung ist die Wurzel der Varianz.

Frage anzeigen

Frage

Wie verändert sich die Standardabweichung, wenn Du Werte einberechnest, die weit von den anderen Werten entfernt sind?

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn Du Werte einberechnest, die weit von den anderen Werten entfernt sind, steigt die Standardabweichung stark.

Frage anzeigen

Frage

Welche Einheit hat die Standardabweichung?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Standardabweichung hat die gleiche Einheit, wie die Messwerte.

Frage anzeigen

Frage

Mit welchem Formelzeichen wird die Standardabweichung der Grundgesamtheit beschrieben?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Standardabweichung der Grundgesamtheit wird mit dem Formelzeichen  beschrieben.

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die Formel zur Berechnung der Standardabweichung der Grundgesamtheit?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Formel der Standardabweichung der Grundgesamtheit ist gleich der Wurzel der Varianz:



Frage anzeigen

Frage

Mit welchem Formelzeichen wird die Standardabweichung der Stichprobe beschrieben?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Standardabweichung der Stichprobe wird mit dem Formelzeichen  beschrieben.

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die Formel zur Berechnung der Standardabweichung der Stichprobe?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Formel der Standardabweichung der Stichprobe ist ähnlich der Standardabweichung der Grundgesamtheit



Frage anzeigen

Frage

In welchen Schritten wird die Standardabweichung berechnet?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Standardabweichung berechnet sich wie folgt:

  1.  Den Erwartungswert (Mittelwert) berechnen
  2. Die Werte in die Formel einsetzten
  3. Formel innerhalb der Wurzel (Varianz) berechnen
  4. Wurzel ziehen
Frage anzeigen

Frage

Wie zeichnest Du die Standardabweichung?

Antwort anzeigen

Antwort

Du zeichnest die Standardabweichung, indem Du zuerst die Wahrscheinlichkeitsverteilung Deiner Aufgabe in einem Koordinatensystem zeichnest und dann verdeutlichst, wo die Standardabweichung liegt.

Frage anzeigen

Frage

Wie wird die relative Standardabweichung berechnet?

Antwort anzeigen

Antwort

Die relative Standardabweichung berechnet sich, indem die absolute Standardabweichung durch den Mittelwert geteilt wird: 



Frage anzeigen

Frage

Berechne die Standardabweichung für folgende Werte:


Insgesamt zehn Wohnungen, davon drei mit einem Zimmer, 5 mit zwei Zimmer, eins mit drei Zimmer und eins mit vier Zimmern.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Standardabweichung beträgt 0,89 Zimmer.

Frage anzeigen

Frage

Berechne die relative Standardabweichung folgender Werte:


 Zimmer und  Zimmer

Antwort anzeigen

Antwort

Die relative Standardabweichung beträgt .

Frage anzeigen
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