Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor
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Mathe

Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor

Dieser Artikel dreht sich um die Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor. Was es damit auf sich hat, welche Begriffe und Regeln für dich wichtig sind und wie du diese in Beispielen anwendest erfährst du in diesem Kapitel. Das Kapitel können wir den Matrizen und damit dem Fach Mathematik zuordnen.


Grundlagen

Bevor wir uns mit der Berechnung des Produkts einer Matrix und einem Vektor befassen, wiederholen wir kurz einige Grundlagen zu den Matrizen.


Allgemeine Matrizen

Aus dem Kapitel Matrizen kennen wir bereits die verschiedenen Formen einer Matrix. So kann beispielsweise eine Matrix A in einer typischen Schreibweise dargestellt werden. Sie besitzt in der allgemeinen Form m Zeilen und n Spalten, weshalb allgemein gilt:



Als Koeffizienten der Matrix werden dabei die einzelnen Komponenten (wie beispielweise ) bezeichnet. Diesen sind exakte Werte zugeteilt und so kann eine (2,3)-Matrix zum Beispiel wie folgt aussehen:



Jedem Koeffizienten ist ein Zahlenwert zugeteilt und die Matrix besitzt in diesem Beispiel zwei Zeilen und drei Spalten, weshalb sie auch als (2,3)-Matrix charakterisiert werden kann. 

Für die Multiplikation wird neben der Matrix noch eine weitere Komponente benötigt: der Vektor.


Vektoren

Vektoren sollten dir bereits bekannt sein. Dies sind Größen, bei denen zur vollständigen Beschreibung der Betrag (Zahl) sowie eine Angabe der Richtung und Orientierung erforderlich ist. Sie werden meist mit Pfeilen über den Buchstaben gekennzeichnet, wie beispielweise. Je nachdem, ob es sich dabei um zwei- oder dreidimensionale Vektoren handelt, werden zu vollständigen Charakterisierung zwei bzw. drei Komponenten benötigt. Beispiele für Vektoren wären damit folgende:



Sie stellen damit einen Sonderfall von Matrizen dar, mit jeweils einer Spalte und zwei bzw. drei Zeilen. Die beiden Beispiele der Vektoren können somit auch als (2,1)-Matrix bzw. (3,1)-Matrix bezeichnet werden.

Graphisch lassen sich Vektoren in einem Koordinatensystem veranschaulichen. Nachfolgend wird der zweidimensionale Vektor mit Anfangspunkt im Koordinatenursprung in ein kartesisches Koordinatensystem eingezeichnet.



Abbildung 1: Vektor im KOS

 

Dabei haben wir bereits auch die Grundlagen zur zweiten Komponente für die Multiplikation wiederholt. Falls du noch mehr Informationen dazu benötigst, kannst du im entsprechenden Kapitel noch einmal nachlesen.

 

Multiplikation mit einem Vektor

Somit kennen wir bereits beide Teilkomponenten für die Multiplikation: eine Matrix und einen Vektor. Aber wie gehen wir bei der Berechnung vor und müssen bestimmte Voraussetzungen erfüllt sein, um das Produkt berechnen zu können?


Voraussetzungen zur Berechnung

Wird eine Matrix mit einer reellen Zahl multipliziert, so müssen keine Voraussetzungen erfüllt sein, um die Berechnung durchzuführen. Es kann also jede beliebige Matrix des Typs (m,n) mit einer beliebigen reellen Zahl multipliziert werden. Anders verhält es sich aber bei der Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor. Hierbei gelten dieselben Bedingungen, wie bei einem Produkt aus zwei Matrizen, denn ein Vektor ist ebenso ein Sonderfall einer Matrix. Für die Multiplikation einer Matrix A mit einem Vektor muss die Spaltenanzahl der Matrix A mit der Zeilenanzahl des Vektors  übereinstimmen. Allgemein gilt damit:



In diesem Fall ist die Bedingung für das Multiplizieren erfüllt. Ein Beispiel für eine erfüllte Voraussetzung wäre folgendes:



Die Matrix A besitzt hierbei drei Spalten und der Vektor drei Zeilen. Somit lassen sich die beiden Komponenten miteinander multiplizieren. Entspricht die Spaltenanzahl der Matrix nicht der Zeilenanzahl des Vektors, so ist die Berechnung des Produkts nicht möglich. 


Ebenso ist der umgedrehte Fall, also die Multiplikation eines Vektors mit einer Matrix, nur möglich, wenn die entsprechenden Voraussetzungen erfüllt sind. Dabei muss die Spaltenanzahl des Vektors mit der Zeilenanzahl der Matrix übereinstimmen. Allgemein:



Das oben genannte Beispiel nutzen wir im nächsten Schritt für die Berechnung der Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor.


Berechnung des Produkts

Die Voraussetzungen für das Multiplizieren der beiden Komponenten sind nun bekannt. Für die Matrizenrechnung wird meist das sogenannte "Falk-Schema" angewandt. Dies wird ebenfalls bei der Multiplikation zweier Matrizen verwendet. Anhand unseres Beispiels von oben, gehen wir das Vorgehen Schritt für Schritt durch.


1. Kreuz einzeichnen

Wir haben bereits festgestellt, dass die Bedingungen für die Berechnung des Produkts  für das folgende Beispiel erfüllt sind und zeichnen zunächst ein Kreuz.




Die erste Komponente der Multiplikation steht dabei immer links, weshalb links unten so viele Kästchen vorhanden sein sollten, um die Matrix A eintragen zu können. Rechts oben ist für die Werte des Vektors  ebenfalls die richtige Anzahl an Kästchen zu beachten.


2. Matrix A eintragen

Nun kann die Matrix A links unten in das Feld eingeschrieben werden.



3. Vektor  eintragen

Im nächsten Schritt werden die Kästchen rechts oben mit den Werten des Vektors befüllt.



4. Ergebnismatrix (Vektor) berechnen

Bei der Berechnung sind nun die einzelnen Teilschritte zu betrachten. Der erste Koeffizient des Ergebnisvektors berechnet sich durch die anliegende Zeile der Matrix A und der Spalte des Vektors .



Zum Verständnis zeichnen wir noch einige Hilfslinien ein, die die jeweiligen Komponenten miteinander verbinden. Die erste Berechnung setzt sich aus den mit den Hilfslinien verbundenen Zahlen zusammen. Dabei werden die verbundenen Zahlen einzeln miteinander multipliziert und anschließend addiert. In unserem Beispiel wäre dies:



Damit ist bereits der erste Koeffizient der Ergebnismatrix berechnet. Mit den anderen Elementen verfahren wir ebenso.




Durch die Berechnung haben wir nun alle Koeffizienten der Ergebnismatrix, oder auch Produktmatrix, erhalten. Anschließend müssen die Werte aus dem karierten Feld nur noch in die Vektorschreibweise überführt werden. Es zeigt sich, dass das Ergebnis ebenfalls ein Vektor ist, jedoch nur mit zwei Zeilen.




Auch im umgekehrten Fall, also bei der Multiplikation eines Zeilenvektors mit einer Matrix, ist die Vorgehensweise dieselbe. Wir zeigen dies kurz anhand eines weiteren Beispiels für x·A.



Die Voraussetzungen zur Multiplikation sind auch hierbei wieder erfüllt, da der Zeilenvektor drei Spalten und die Matrix drei Zeilen besitzt. Die beiden Komponenten können wieder mithilfe des Falk-Schemas in das Kreuz eingezeichnet und berechnet werden.




Als Ergebnis erhalten wir wieder einen Zeilenvektor, jedoch nur noch mit 2 Spalten.



Sonderfälle

Grundsätzlich ist die Vorgehensweise für jede beliebige Matrix und jeden beliebigen Vektor diesselbe, vorausgesetzt die Bedingungen für die Multiplikation sind erfüllt. Trotzdem möchten wir an dieser Stelle noch auf zwei Sonderfälle eingehen. Dies betrifft (m,1)-Matrizen (Spaltenvektoren) und (1,n)-Matrizen (Zeilenvektoren).



Das Matrizenprodukt aus einem Spaltenvektor und einem Zeilenvektor ergibt sich wieder über das genannte Berechnungsverfahren. Im folgenden Beispiel sind die Voraussetzungen erfüllt, da der Spaltenvektor nur eine Spalte und der Zeilenvektor ebenfalls nur eine Zeile besitzt. Die Multiplikation kann damit für dieses Beispiel durchgeführt werden. Statt der vorher verwendeten Matrix A bezeichnen wir den zweiten Vektor nachfolgend als y.


Nach Eintragen der Komponenten und anschließender Berechnung ergibt sich als Ergebnis eine (4,3)-Matrix.





Auch im zweiten Beispiel bilden wir wieder das Produkt aus einzeiligen bzw. einspaltigen Matrizen. Diesmal steht der Zeilenvektor an erster Stelle der Multiplikation. Wir benennen die beiden Matrizen (Vektoren) wieder mit den Buchstaben x und y.


Wir berechnen das Produkt erneut über das Falk-Schema.





Dieses Mal erhalten wir jedoch nach der Multiplikation keine Matrix mit mehreren Spalten und Zeilen, sondern ein Skalar (eine Zahl), weshalb diese Berechnung auch als Skalarprodukt bezeichnet wird. Weitere Informationen zum Skalarprodukt findest du in einem separaten Kapitel.

Damit können wir nun feststellen, wann wir verschiedene Matrizen und Vektoren miteinander multiplizieren können und wie wir dabei vorgehen. Unbedingt ist dabei jedoch zu beachten, dass die jeweiligen Komponenten nicht vertauscht werden können. Zumeist ist eine Berechnung in den meisten Fällen dann eh nicht möglich. Es gilt also:



Weitere Beispiele zum Rechnen und Üben findest du in den zugehörigen Karteikarten auf Studysmarter, sowie weitere hilfreiche Artikel rund um das Thema Matrizen. Nachfolgend sind noch einmal die wichtigsten Informationen aus dem Kapitel Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor zusammengefasst.

Multiplikation mit einem Vektor - Alles Wichtige auf einen Blick

  • (m,n)-Matrizen können in der allgemeinen Schreibweise mit m Zeilen und n Spaltendefiniert werden:
  • Vektoren benötigen zur vollständigen Charakterisierung folgende Komponenenten:
    • Betrag (Zahl)
    • Richtung
    • Orientierung
  • Vektoren stellen somit einen Sonderfall von Matrizen mit einer Spalte bzw. einer Zeile dar.
  • Um das Produkt A·x aus einer Matrix A und einem Spaltenvektor x bilden zu können, muss die die Spaltenanzahl der Matrix A mit der Zeilenanzahl des Vektors x übereinstimmen.
  • Entsprechend muss bei einer Multiplikation eines Zeilenvektors x mit einer Matrix A (x·A) die Spaltenanzahl des Zeilenvektors mit der Zeilenanzahl der Matrix übereinstimmen.
  • Die Berechnung des Produkts erfolgt mithilfe des sogenannten "Falk-Schema", bei der wie folgt vorgegangen wird:
    • Kreuz einzeichnen
    • Erste Komponente links unten eintragen
    • Zweite Komponente rechts oben eintragen
    • Ergebnismatrix (Vektor) berechnen
  • Einen Sonderfall stellt das Multiplizieren von (m,1)-Matrizen (Spaltenvektoren) mit (1,n)-Matrizen (Zeilenvektoren) dar und umgekehrt:
    • Multiplikation Spaltenvektor mit Zeilenvektor (Ergebnis: (m,n)-Matrix)
    • Multiplikation Zeilenvektor mit Spaltenvektor (Ergebnis: Skalar)


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