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Addiere die beiden Matrizen miteinander!



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Addiere die beiden Matrizen miteinander!


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Addiere die beiden Matrizen miteinander!



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Addieren Sie die Funktionen wie vorgegeben miteinander.

x: 3x^2 + 4x - 2

y: 5x^3 - 3x + 6

z: 5x^2 - 3x + 7


a. x + y

b. y + z

c. z + x

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a. 5x^3 + 3x^2 + x + 4

b. 5x^3 + 5x^2 - 6x + 13

c. 8x^2 + x + 5

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Addieren Sie die Funktionen wie vorgegeben miteinander.

x: 3x^2 + 8x - 2

y: 2x^3 - 3x + 1

z: x^2 - 5x + 7


a. x + y

b. y + z

c. z + x

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a. 2x^3 + 3x^2 + 5x - 1

b. 2x^3 + x^2 -8x + 8

c. 4x^2 + 3x + 5

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Addieren Sie die Funktionen wie vorgegeben miteinander.

x: 2x^2 + 8x - 5

y: 2x^3 - 5x + 6

z: 4x^2 - x + 7


a. x + y

b. y + z

c. z + x

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a. 2x^3 + 2x^2 + 3x + 1

b. 2x^3 + 4x^2 - 6x + 13

c. 6x^2 + 7x + 2

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Addieren Sie die Funktionen wie vorgegeben miteinander.

x: -4x^2 + 7x - 10

y: 6x^2 - 2x + 6

z: 4x^2 - 5x + 2


a. x + y

b. y + z

c. z + x

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a. 2x^2 + 5x - 4

b. 10x^2 - 7x + 8

c. 2x - 8

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Addieren Sie die Funktionen wie vorgegeben miteinander.

x: -2x^2 + 7x - 5

y: 6x^2 - 5x + 2

z: 5x^2 - 5x + 2


a. x + y

b. y + z

c. z + x

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a. 4x^2 + 2x - 3

b. 11x^2 - 10x + 4

c. 3x^2 + 2x - 3

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Addieren Sie die Funktionen wie vorgegeben miteinander.

x: -2x^2 + 1x - 3

y: 6x^2 - 3x + 2

z: 3x^2 - 5x + 1


a. x + y

b. y + z

c. z + x

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a. 4x^2 - 2x - 1

b. 9x^2 - 8x + 3

c. x^2 - 4x - 2

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Addieren Sie die Funktionen wie vorgegeben miteinander.

x: -2x^2 + 4x - 2

y: 2x^2 - 3x + 2

z: 3x^2 - 2x + 4


a. x + y

b. y + z

c. z + x

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a. x 

b. 5x^2 - 5x + 6

c. x^2 + 2x + 2

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Addieren Sie die Funktionen wie vorgegeben miteinander.

x: -5x^2 + 6x - 2

y: 2x^2 - 3x + 2

z: 2x^2 - 5x + 4


a. x + y

b. y + z

c. z + x

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a. -3x^2 + 3x 

b. 4x^2 - 8x + 6

c. -3x^2 + x + 2

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Addieren Sie die Funktionen wie vorgegeben miteinander.

x: -5x^2 + x - 4

y: 4x^2 - 3x + 2

z: 2x^2 - 3x + 4


a. x + y

b. y + z

c. z + x

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a. -x^2 - 2x - 2

b. 6x^2 - 6x + 6

c. -3x^2 - 2x 

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Addieren Sie die Funktionen wie vorgegeben miteinander.

x: -4x^2 + x - 3

y: x^2 - 4x + 2

z: 2x^2 - 3x + 2


a. x + y

b. y + z

c. z + x

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a. -3x^2 - 3x - 1

b. 3x^2 - 7x + 4

c. -2x^2 - 2x - 1

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Addieren Sie die Funktionen wie vorgegeben miteinander.

x: -4x^2 + 5x - 3

y: 2x^2 - 4x + 5

z: 5x^2 - 3x + 1


a. x + y

b. y + z

c. z + x

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a. -2x^2 + x + 2

b. 7x^2 - 7x + 6

c. x^2 + 2x - 2

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Addieren Sie die Funktionen wie vorgegeben miteinander.

x: -3x^2 + x - 3

y: x^2 - 4x + 2

z: 2x^2 - 3x + 1


a. x + y

b. y + z

c. z + x

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a. -2x^2 - 3x - 1

b. 3x^2 - 7x + 3

c. -x^2 - 2x - 2

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Führe eine Skalarmultiplikation durch!


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Führe eine Skalarmultiplikation durch!


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Führe eine Skalarmultiplikation durch!


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Bestimme den Skalar λ! 


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Bestimme den Skalar λ! 



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Bestimme den Skalar λ!


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Bestimme den Skalar λ!



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Bestimme den Skalar λ!


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Berechne den Lösungsvektor!


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Berechne den Lösungsvektor!


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B sei die inverse Matrix zu A. Das Produkt A*B ergibt...

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die Einheitsmatrix

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Bestimme den Richtungsvektor!


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Bestimme den Richtungsvektor!


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Prüfe, ob die Matrizen invers zueinander sind.



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Ja, die Matrizen sind invers zueinander. A*B und B*A ergeben jeweils die Einheitsmatrix.

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Prüfe, ob Matrix B die inverse Matrix von A ist.




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A*B ergibt nicht die Einheitsmatrix. Daher ist B nicht die inverse Matrix von A.

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Bestimme die Matrix B so, dass sie die Inverse Matrix zu A bildet.


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Berechne die inverse Matrix (B) von A. 


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Bestimme eine Matrix B, die die Inverse zu A bildet.


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Bestimme die Matrix B, die zu A invers ist.


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Finde die inverse Matrix zu A.


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Es gibt keine inverse Matrix zu A, da die Zeilenvektoren linear abhängig sind.

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Bestimme die zu A inverse Matrix B.


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Zeige, dass B die inverse Matrix von A ist.


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Zeige, dass B die inverse Matrix von A ist. 


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Frage

Ist B die inverse Matrix von A?

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Antwort

Nein, bei der Multiplikation A*B kommt nicht die Einheitsmatrix heraus.

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Frage

Was gilt für die inverse Matrix der Einheitsmatrix?

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Antwort

Die inverse Matrix der Einheitsmatrix ist die Einheitsmatrix selbst.

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Frage

Matrix B sei die inverse Matrix von Matrix A.  Berechne die inverse Matrix von B und stelle eine Schlussfolgerung auf. 


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Frage

Wie kannst du, ohne zu rechnen, feststellen, ob die Matrix invertierbar ist (also eine inverse Matrix existiert)?


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Frage

Bilde eine 5x5 Matrix, die nicht invertierbar ist.

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z.B. 



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Frage

Wähle die korrekten Rechenregeln aus:

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Frage

Die inverse Matrix sei definiert durch die untenstehende Beziehung. A* ist die sog. adjungierte Matrix. Kannst du, auch ohne detailliertes Wissen über die adjungierte Matrix, eine Bedingung bzgl. der Existenz einer inversen Matrix aufstellen?


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Antwort

Die Determinante steht im Nenner. Wird der Nenner gleich Null, ist die Gleichung nicht lösbar und es gibt keine inverse Matrix. Zusammengefasst:


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Frage

Berechne die inverse Matrix von A.


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Frage

Zeige durch zwei unterschiedliche Ansätze, dass A keine inverse Matrix besitzt.


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1) die Determinante ist Null, sodass es keine inverse Matrix gibt.

2) Beim Versuch, die Inverse zu berechnen, entsteht ein Gleichungssystem ohne Lösungen.

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Frage

Löse die Matrizengleichung nach X auf.


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Löse die Matritzengleichung nach X auf.


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Löse die Matritzengleichung nach X auf.


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Welcher Rechenschritt wurde korrekt ausgeführt?

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Frage

Löse die Matritzengleichung nach X auf.


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Löse die Matritzengleichung nach X auf.



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Löse die Matritzengleichung nach X auf.



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Welcher Rechenschritt ist korrekt?

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Frage

Löse die Matritzengleichung nach X auf.

 


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Frage

Zeige, dass X eine Einheitsmatrix sein muss.



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Frage

Was hat das lineare Gleichungssystem mit linearen Funktionen zu tun?

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Die Grundlage für ein lineares Gleichungssystem bilden lineare Funktionen. Dafür sind mehrere Funktionen mit mehreren Variablen notwendig.

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Frage

Was bedeutet die Abkürzung LGS?

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Antwort

Die Abkürzung LGS steht für Lineares GleichungsSystem.

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Frage

In welcher Beziehung können beispielsweise zwei Funktionen miteinander stehen?

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Antwort

Die Funktionen können:

  • identisch sein
  • parallel sein
  • einen Schnittpunkt besitzen
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Frage

Was lässt sich über die Darstellungsform in folgenden Beispiel eines linearen Gleichungssystems sagen?


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Antwort

Das lineare Gleichungssystem ist in der allgemeinen Form dargestellt mit 3 Gleichungen und 3 Variablen.

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Frage

Wie kann das folgende Beispiel in der Matrizendarstellung angegeben werden?



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Antwort

Das Beispiel in der Matrizendarstellung lautet:



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Frage

Was ist die Koeffizientenmatrix A bei einem linearen Gleichungssystem?

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Antwort

Die Koeffizientenmatrix A eines linearen Gleichungssystems ist die Matrix mit den Werten der linken Seite einer Gleichung.



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Frage

Mit welcher allgemeinen Schreibweise lässt sich ein lineares Gleichungssystem mit der erweiterten Matrix darstellen?

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Antwort

Ein lineares Gleichungssystem lässt sich durch die erweiterte Matrix wie folgt darstellen:



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Frage

Welche Kateogorien von linearen Gleichungssystemen können hinsichtlich der Anzahl an Gleichungen und Variablen unterschieden werden?

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Antwort

Bei linearen Gleichungssystemen mit m Gleichungen und n Variablen kann wie folgt unterschieden werden:

  • quadratisches Gleichungssystem (m=n)
  • unterbestimmtes Gleichungssystem (m<n)
  • überbestimmtes Gleichungssystem (m>n)
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Frage

Was ist ein homogenes und ein inhomogenes Gleichungssystem?

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Antwort

Ein homogenes Gleichungssystem mit Ax=b liegt vor, wenn alle Werte von b gleich 0 sind (b=0).

Ein inhomogenes Gleichungsystem mit Ax=b hat beim Ergebnisvektor b mindestens einen Wert ungleich 0 (b0).

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Mit welchen Verfahren können lineare Gleichungssysteme gelöst werden?

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Antwort

Lineare Gleichungssysteme können mit folgenden Verfahren gelöst werden:

  • Gleichsetzungsverfahren
  • Additionsverfahren
  • Einsetzungsverfahren
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Frage

Welches Vorgehen wird bei der Lösung eines linearen Gleichungssystems mit dem Gleichsetzungsverfahren angewandt?

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Antwort

Die Lösung linearer Gleichungssysteme mithilfe des Gleichsetzungsverfahren kann wie folgt vorgenommen werden:

1. Beide Gleichungen nach beliebiger Variable auflösen

2. Gleichungen gleichsetzen

3. Gleichung berechnen (1. Variable)

4. Berechnete Variable in beliebige Gleichung einsetzen und berechnen (2. Variable)

5. Lösungsmenge definieren

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Frage

Welches Vorgehen wird bei der Lösung eines linearen Gleichungssystems mit dem Additionsverfahren angewandt?

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Antwort


Die Lösung linearer Gleichungssysteme mithilfe des Additionsverfahren kann wie folgt vorgenommen werden:

1. Gleichungen umformen, um Variable zu eliminieren

2. Gleichungen addieren (linke und rechte Seite)

3. Gleichung berechnen (1. Variable)

4. Berechnete Variable in beliebige Gleichung einsetzen und berechnen (2. Variable)

5. Lösungsmenge definieren


Frage anzeigen

Frage

Welches Vorgehen wird bei der Lösung eines linearen Gleichungssystems mit dem Einsetzungsverfahren angewandt?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Lösung linearer Gleichungssysteme mithilfe des Einsetzungsverfahren kann wie folgt vorgenommen werden:

1. Eine Gleichung nach beliebiger Variable auflösen

2. Aufgelöste Gleichung in andere Gleichung einsetzen

3. Gleichung berechnen (1. Variable)

4. Berechnete Variable in beliebige Gleichung einsetzen und berechnen (2. Variable)

5. Lösungsmenge definieren

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Frage

Welche Lösungen und zugehörige Lösungsmengen können bei der Berechnung von linearen Gleichungssystemen auftreten?

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Antwort

Folgende Lösungen können sich bei der Berechnung von LGS ergeben:

  • eindeutige Lösung:
  • keine Lösung:
  • unendlich viele Lösungen:
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Frage

In welcher Beziehung können zum Beispiel zwei Gleichungen zueinander stehen, wenn es keine Lösung bei der Berechnung des Gleichungssystems gibt?

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Antwort

Eine leere Lösungsmenge und damit keine Lösung bei der Berechnung des Gleichungssystems können beispielsweise zwei parallele Geraden sein.

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Frage

Welche Besonderheit ergibt sich bei der Lösung eines linearen Gleichungssystem mit zwei identischen Geraden?

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Antwort

Bei der Lösung eines Gleichungssystems mit zwei identischen Geraden erhalten wir unendlich viele Lösungen und damit die allgemeine Lösungsmenge .

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Frage

Welche Lösung erhalten wir bei der Berechnung des folgenden Beispiels mithilfe eines beliebigen Verfahren?



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Antwort

Die Lösungen für das lineare Gleichungssystem sind: x=0,5 und y=0. 

Damit ergibt sich folgende Lösungsmenge: .

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Welche Matrizen können transponiert werden?

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Es kann jede beliebige Matrix transponiert werden.

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Was passiert mit einer Matrix, die 2 Zeilen und 3 Spalten besitzt, nachdem sie transponiert wurde?

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Antwort

Eine Matrix mit 2 Zeilen und 3 Spalten besitzt nach dem Transponieren 3 Zeilen und 2 Spalten.

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Was bedeutet der Begriff "transponieren" und was wird dabei mit der Koeffizienten in der Matrix gemacht?

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Der Begriff "transponieren" bedeutet so viel wie "versetzen" oder "umsetzen". Die Koeffizienten werden in der Matrix umgesetzt, indem die Zeilen und Spalten vertauscht werden.

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Welche Möglichkeiten gibt es, eine Matrix zu transponieren?

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Antwort

Es gibt drei Möglichkeiten eine Matrix zu transponieren:

  • Zeilen der Matrix A zu Spalten der Matrix
  • Spalten der Matrix A zu Zeilen der Matrix
  • Spiegeln der Matrix A an der Hauptdiagonalen
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Wie wird eine transponierte Matrix gekennzeichnet?

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Die transponierte Matrix wird mit einem hochgestellten T gekennzeichnet.


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Was passiert mit einer transponierten Matrix, die noch einmal transponiert wird?

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Durch Transponieren einer bereits transponierten Matrix erhalten wir wieder die ursprüngliche Matrix A, denn es gilt:


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Welche Rechenregeln gelten für die Addition und Multiplikation von transponierten Matrizen?

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Antwort

Für die Addition von transponierten Matrizen gilt:

Für die Multiplikation von transponierten Matrizen gilt:


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Frage

Welche Aussage kann über die folgenden Angaben gemacht werden?



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Falls die transponierte Matrix gleich der ursprünglichen Matrix A ist (), so wird sie als symmetrisch bezeichnet. 

Bei kann die Matrix als antisymmetrisch/schiefsymmetrisch betitelt werden.

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Bitte transponiere folgende Matrix A:



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Die transponierte Matrix A lautet:



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Die transponierte Matrix soll wieder in die ursprüngliche Matrix A umgewandelt werden.



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Die ursprüngliche Matrix A erhalten wir durch Transponieren der transponierten Matrix .


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Bitte zeige anhand der Matrix A, dass gilt: .



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Durch zweimaliges Transponieren der Matrix A erhalten wir wieder die ursprüngliche Matrix.

1. Schritt:



2. Schritt:



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Bitte transponiere die folgende Matrix A:



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Die transponierte Matrix lautet:



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Warum ist die folgende Matrix A symmetrisch?



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Die Matrix A ist symmetrisch, weil die transponierte Matrix gleich der Matrix A ist.



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Bitte transponiere die Matrix C:



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Die transponierte Matrix C lautet:



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Die folgende Matrix B ist gegeben. Bitte transponiere sie zu Matrix .



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Die transponierte Matrix lautet:



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Frage

Welche Rechenoperationen können bei der Matrizenrechnung durchgeführt werden?

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Folgende Rechenoperationen sind bei der Matrizenrechnung möglich:

  • Addition und Subtraktion
  • Multiplikation (Matrizen und Skalare)
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Was muss bei der Addition von Matrizen beachtet werden?

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Matrizen können nur miteinander addiert werden, wenn sie die gleiche Form besitzen. Sie müssen also die gleiche Anzahl an Zeilen und Spalten besitzen.

Zum Beispiel kann eine 2x2-Matrix nur mit einer 2x2-Matrix addiert werden.

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Frage

Bitte addiere folgende Matrizen.



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Durch Addition der Matrizen ergibt sich:



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Frage

Führe eine Addition für folgende Matrizen A und B aus.



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Durch Addition der Matrizen erhalten wir:



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Wie wird die Ergebnismatrix nach einer Addition von zwei Matrizen noch bezeichnet?

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Die Ergebnismatrix nach einer Addition wird als Summenmatrix bezeichnet.

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Welche Rechenregeln gelten bei der Addition von Matrizen?

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Folgende Rechenregeln gelten bei der Addition von Matrizen:

  • Kommutativgesetz:
  • Assoziativgesetz: 
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Was muss bei der Subtraktion von Matrizen beachtet werden?

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Bei der Subtraktion müssen beide Matrizen die gleiche Form und somit die gleiche Anzahl an Zeilen und Spalten aufweisen.

Zum Beispiel kann nur eine 3x3-Matrix von einer 3x3-Matrix subtrahiert werden.

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Bitte subtrahiere folgende Matrix B von der Matrix A.



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Durch Subtraktion ergibt sich:



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Wie wird die Ergebnismatrix einer Subtraktion von Matrizen noch bezeichnet?

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Die Ergebnismatrix bei einer Subtraktion wird zudem auch als Differenzmatrix bezeichnet.

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Welche Voraussetzung gibt es bei der Multiplikation von Matrizen?

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Beim Multiplizieren einer Matrix A mit einer Matrix B muss die Spaltenanzahl der Matrix A mit der Zeilenanzahl der Matrix B übereinstimmen.

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Können folgende Multiplikation ausgeführt werden?



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Die Multiplikation lässt sich nicht ausführen, da die Matrix A zwei Spalten und die Matrix B drei Zeilen. Möglich wäre aber .

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Welches Schema wird bei der Matrizenmultiplikation verwendet und welche Schritte sind dabei auszuführen?

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Die Matrizenmultiplikation erfolgt nach dem "Falk-Schema" mit folgendem Vorgehen:

  1. Kreuz einzeichnen
  2. Matrix A links unten eintragen
  3. Matrix B rechts oben eintragen
  4. Ergebnismatrix berechnen


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Welche Bezeichnung trägt die Ergebnismatrix einer Multiplikation von Matrizen?

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Die Ergebnismatrix einer Multiplikation wird auch als Produktmatrix bezeichnet.

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Welche Rechenregeln gelten für das Multiplizieren von Matrizen?

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Folgende Rechenregeln gelten bei der Multiplikation von Matrizen:

  • Ungleich:
  • Assoziativgesetz:
  • Distributivgesetz:
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Bitte multipliziere folgenden Matrizen miteinander .



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Nach Multiplikation erhalten wir:



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Frage

Wie kann eine Matrix mit einem Skalar multipliziert werden? Gib dazu auch ein Beispiel an.

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Wenn eine Matrix mit einem Skalar multipliziert wird, muss jede Komponente der Matrix einzeln mit dem Skalar multipliziert werden.

Zum Beispiel:




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Wie viele Zeilen und Spalten hat die Ergebnismatrix bei der Multiplikation folgender Matrizen ?



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Die Ergebnismatrix der Multiplikation besitzt eine Spalte und zwei Zeilen.


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Welche Form hat eine Einheitsmatrix? Wie sieht eine 3x3-Einheitsmatrix aus?

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Eine Einheitsmatrix besitzt keine beliebigen Zahlen, sondern nur die Werte 0 und 1. Entlang der Hauptdiagonalen haben die Komponenten die Werte 1, alle anderen sind 0. Zudem ist eine Einheitsmatrix quadratisch.

Eine 3x3-Einheitsmatrix ist:



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Frage

Was bedeutet der Begriff "orthogonal"?

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Der Begriff orthogonal bedeutet so viel wie senkrecht zueinanderstehend oder rechtwinklig.

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Frage

Wie lassen sich rechnerisch zwei Vektoren auf Orthogonalität prüfen?

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Mithilfe des Skalarprodukts lassen sich zwei Vektoren auf Orthogonalität prüfen. Ist das Skalarprodukt gleich 0, dann sind die Vektoren orthogonal.

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Wann bedeutet es, wenn Vektoren orthonormal zueinander stehen?

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Normierte Vektoren (Länge 1), die orthogonal zueinander stehen, werden als orthonormal bezeichnet.

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Wann ist eine Matrix orthogonal?

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Eine Matrix ist orthogonal (oder besser gesagt orthonormal), wenn deren Zeilen- und Spaltenvektoren orthonormal zueinander sind.

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Mit welchem Buchstaben werden meist orthogonale Matrizen gekennzeichnet?

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Orthogonale Matrizen werden oft mit dem Buchstaben Q versehen.

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Was gilt für die Multiplikation einer orthogonalen Matrix mit ihrer transponierten Matrix?

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Durch die Multiplikation einer orthogonalen Matrix mit ihrer transponierten Matrix erhalten wir eine Einheitsmatrix.



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Welche Aussage über die Inverse und Transponierte einer orthogonalen Matrix kann gemacht werden?

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Die Transponierte einer Matrix entspricht der Inversen einer Matrix.



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Welche Werte kann die Determinante einer orthogonalen Matrix annehmen?

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Die Determinante einer orthogonalen Matrix kann lediglich die Werte 1 und -1 annehmen.



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Wozu können orthogonale Matrizen verwendet werden?

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Orthogonale Matrizen werden meist bei folgenden zwei Bereichen angewandt:

  • Drehungen
  • Spiegelungen
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Wie kann ich eine Matrix auf Orthogonalität prüfen?

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Der Gleichung kann als Grundlage für die Prüfung einer Matrix auf Orthogonalität herangezogen werden.

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Welche Werte nimmt die Determinante einer orthogonalen Matrix jeweils bei Drehung und Spiegelung an?

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Die Werte der Determinante nehmen folgende Werte an:


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Überprüfe folgende Matrix auf Orthogonalität.



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Prüfung der Orthogonalität:



Damit ergibt sich, dass die Matrix Q orthogonal ist.

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Kann mit folgender Matrix Q eine Spiegelung ausgeführt werden?



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Bei einer Spiegelung muss die Determinante der Matrix gleich -1 sein. 



Die Matrix Q ist damit für eine Spiegelung geeignet.

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Wie kann ein Vektor mithilfe einer orthgonalen 2x2-Matrix Q beispielsweise um den Winkel gedreht werden?

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Antwort

Durch Multiplikation der folgenden Matrix Q mit dem Vektor, kann dieser entsprechend gedreht werden.



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Was bedeutet der Begriff "invers"?

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Der Begriff invers bedeutet so viel wie "umgekehrt".

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Was ist eine inverse Matrix und wie ist sie gekennzeichnet?

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Eine inverse Matrix ist die Kehrmatrix einer Matrix und wird mit einer hochgestellten -1 gekennzeichnet.


Inverse Matrix:

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Welche Matrizen können invertiert werden?

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Nicht jede Matrix kann invertiert werden. Folgende Voraussetzungen müssen erfüllt sein:

  • die Matrix ist quadratisch
  • die Determinante der Matrix ist ungleich null
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Kann folgende Matrix B invertiert werden?



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Antwort

Überprüfung der Voraussetzungen:

  • Matrix B ist quadratisch
  • Determinante B ungleich 0 
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Wie werden invertierbare und nicht-invertierbare Matrizen noch bezeichnet?

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Matrizen können wie folgt bezeichnet werden:

  • Invertierbare Matrix               ->    reguläre Matrix
  • Nicht-invertierbare Matrix    ->    singuläre Matrix
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Was passiert beim Invertieren einer bereits invertierten Matrix?

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Durch Invertieren einer invertieren Matrix erhalten wir wieder die ursprüngliche Matrix.



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Was muss beim Invertieren eines Matrizenprodukts beachtet werden?

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Das Invertieren eines Matrizenprodukts entspricht der Multiplikation der inversen Matrizen, jedoch in umgekehrter Reihenfolge.



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Mit welchen Verfahren lassen sich Matrizen invertieren?

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Das Invertieren einer Matrix kann mithilfe folgender Verfahren durchgeführt werden:

  • Gauß-Jordan-Algorithmus
  • Adjunkte
  • Cramersche Regel
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Frage

Welches Vorgehen ergibt sich beim Invertieren einer Matrix mit dem Gauß-Jordan-Verfahren?

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Das Invertieren einer Matrix mithilfe des Gauß-Verfahren kann wie folgt vorgenommen werden:

  1. Blockmatrix bilden
  2. Umformungen
  3. Inverse Matrix ablesen
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Welches Ziel ist beim Invertieren einer Matrix mithilfe des Gauß-Jordan-Algorithmus anzustreben?

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Mithilfe des Gauß-Jordan-Algorithmus soll die Blockmatrix in die Form umgewandelt werden. Es soll also auf der linken Blockseite durch Umformung eine Einheitsmatrix erzeugt werden. Damit kann auf der entstandenen rechten Seite die inverse Matrix abgelesen werden.

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Bitte berechne die inverse Matrix der folgenden Matrix A.



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Die Inverse der Matrix berechnet sich durch Umformen der Blockmatrix.




Damit lautet die Inverse:



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Bestimme die inverse Matrix der Matrix B.



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Mithilfe des Gauß-Jordan-Verfahren ergibt sich:



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Ist folgende Matrix invertierbar?



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Durch Überprüfung der Voraussetzungen ergibt sich, dass die Matrix A nicht invertierbar ist, denn die Matrix ist nicht quadratisch.

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Prüfe die Matrix A auf Invertierbarkeit.



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Prüfung der Voraussetzungen:

  • die Matrix A ist quadratisch
  • die Determinante der Matrix A ist

Damit ist die Matrix nicht invertierbar.

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Bestimme die Inverse der Matrix A.



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Durch Berechnung ergibt sich:



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Was ist ein Eigenvektor? Was ist der Eigenwert einer Matrix?

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Antwort

Ein Eigenvektor verändert bei der Multiplikation mit einer Matrix nicht die Richtung, sondern wird nur gestreckt. Der Streckungsfaktor ist dabei der Eigenwert der Matrix.

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Wie definiert sich das Eigenwertproblem?

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Folgende Gleichung ist als Eigenwertproblem bekannt.


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Was ist das charakteristische Polynom?

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Das charakteristische Polynom ist die Determinante der Matrix .



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Bei welchen Matrizen können Eigenwerte berechnet werden?

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Eigenwerte können grundsätzlich nur bei quadratischen Matrizen berechnet werden.

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Bei welcher Art Matrix sind die Eigenwerte reell?

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Antwort

Wenn die Matrix symmetrisch ist, dann sind ihre Eigenwerte reell.

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Wie können Eigenwerte einer Matrix berechnet werden?

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Mithilfe eines Algorithmus lassen sich die Eigenwerte einer Matrix berechnen:

  1. Matrix bilden
  2. Charakteristisches Polynom
  3. Nullstellen
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Berechne die Eigenwerte der Matrix A.



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Die Eigenwerte der Matrix A sind und .

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Bilde die Matrix mit folgender Matrix A.



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Die Matrix  lautet:



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Mithilfe welcher Gleichung können die Eigenvektoren berechnet werden?

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Antwort

Die Eigenvektoren lassen sich mithilfe folgender Gleichung berechnen.



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Welche Eigenwerte ergeben sich nach der Lösung des folgenden charakteristischen Polynoms?



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Durch Berechnung der Determinante ergeben sich folgende Werte:

und

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Welche Eigenwerte hat das folgende charakteristische Polynom?



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Antwort

Mithilfe der Mitternachtsformel lassen sich die Eigenwerte bestimmen.

und

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Berechne die Eigenwerte der Matrix A.



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Antwort

Die Matrix hat die Eigenwerte und .

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Welches charakteristische Polynom ergibt die folgende Matrix A?



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Antwort

Zunächst wird die Matrix  gebildet und dann die Determinante berechnet. Es ergibt sich:


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Erstelle das charakteristische Polynom der folgenden 3x3-Matrix.



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Antwort

Das charakteristische Polynom der Matrix A lautet:



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Wie kann das Eigenwertproblem mithilfe einer Einheitsmatrix umformuliert werden?

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