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Lagebeziehungen Gerade Ebene
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Lagebeziehungen Gerade Ebene

Frage

Wieviele Möglichkeiten für die Lagebeziehugen zwischen zwei Ebenen gibt es ?

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Antwort


1. Fall:
Das Gleichungssystem besitzt
keine Lösung:Die beiden Ebenen haben keinen
gemeinsamen Punkt und sind parallel.
2. Fall:
Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Von den insgesamt vier Unbekannten kann man …
a) … eine Unbekannte beliebig
wählen:
Die beiden Ebenen schneiden
sich in einer Geraden.

b) … zwei Unbekannte beliebig
wählen:
Die beiden Ebenen sind identisch.

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Frage

Wonach ist bei Abstandsproblemen meistens gefragt? 

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Antwort

Bei allen Abstandsproblemen ist nach dem jeweils kürzesten Abstand zwischen den betrachteten geometrischen Objekten gefragt. Das bedeutet, dass bei dem Abstandsproblem Punkt – Ebene nach der Länge eines Vektors gesucht wird, der
senkrecht auf der Ebene steht und den Punkt als End- oder Anfangspunkt besitzt.

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Frage

Was passiert mit dem nun ermittelten Wert t?

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Antwort

Der so ermittelte Wert für t wird in die Geradengleichung eingesetzt, sodass man den Ortsvektor zum Punkt F berechnen kann. Die Länge des Vektors FP ergibt dann den gesuchten Abstand d: d=|FP|

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Frage

Welche Lagebeziehung können 2 Ebenen haben?

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Antwort

Zwei Ebenen können sich schneiden, sie können identisch sein oder echt parallel zueinander liegen. Nur im letzten Fall ist es sinnvoll, von einem Abstand zwischen den beiden Ebenen zu sprechen.

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Frage

Welche Eigenschaft muss eine Gerade g haben, damit man den Abstand zwischen g und einer Ebene e berechnen kann?

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Antwort

Der Abstand zwischen einer Geraden g und
einer Ebene E kann ebenfalls nur dann sinnvoll berechnet werden, wenn die Gerade parallel zur Ebene verläuft.

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Frage

Wie berechnet man den Abstand zweier paralleler Geraden g1 und g2?

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Antwort

Die Berechnung des Abstands zweier paralleler Geraden g1 und g2 kann genauso
behandelt werden wie das Abstandsproblem Punkt – Gerade: Man wählt z. B. einen beliebigen Punkt P, der auf der Geraden g1 liegt, und berechnet nach einer der drei im Übungsbuch dargestellten Methoden den Abstand des Punktes P von der
Geraden g2.

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Frage

Was muss als Hilfe gebildet werden, um den Abstand zweier windschiefer Geraden zu berechnen?

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Antwort

Man bildet dazu zwei Hilfsebenen E1 und E2, die parallel zueinander liegen. Die Gerade g1 soll dabei in der Ebene E1 enthalten sein, die Gerade g2 in der Ebene E2

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Frage

Wie steht der Normaleneinheitsvektor n0 zu den Ebenen E1 und E2?

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Antwort

Er steht senkrecht auf den beiden Ebenen 

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Frage

Welche 3 Lagebeziehungen können eine Gerade und eine Ebene haben?

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Antwort

Es können drei verschiedene Lagen auftreten: Die Gerade g liegt in der Ebene E, sie ist echt parallel zu ihr oder sie schneidet sie in einem Punkt.

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Frage

Die Gerade g verläuft durch die Punkte A(1;-1;3) und B(2;-3;0). Die Ebene E wird von g orthogonal geschnitten und enthält den Punkt C(4;3;-8)


a. Bestimmen Sie den Schnittpunkt S von g und E.

b. Untersuchen Sie, ob S zwischen A und B liegt.

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Antwort

a. S(3;-5;-3)

b. Nein

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Frage

Schneiden sich die folgenden Geraden und falls ja in welchem Punkt?


e = (1, 1, 1) + s * (0, 2, 0)

f = (0, 2, -1) + t * (1, -1, 2)

g = (2, 0, 0) + u * (2, 0, 1)


a. Vergleiche die Geraden e und f

b. Vergleiche die Geraden f und g

Antwort anzeigen

Antwort

a. SP bei (1, 1, 1)

b. kein SP der beiden Geraden

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Frage

Schneiden sich die folgenden Geraden und falls ja in welchem Punkt?


e = (1, 2, 1) + s * (1, 2, 0)

f = (1, 2, -1) + t * (1, 2, 2)

g = (2, 3, 0) + u * (3, 0, 2)


a. Vergleiche die Geraden e und f

b. Vergleiche die Geraden f und g

Antwort anzeigen

Antwort

a. Schnittpunkt der Geraden bei (2, 4, 1)

b. Kein Schnittpunkt der beiden Geraden

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Frage

Schneiden sich die folgenden Geraden und falls ja in welchem Punkt?


e = (1, 2, 1) + s * (1, 0, 1)

f = (0, 2, -2) + t * (1, 0, 2)

g = (2, 3, 1) + u * (1, -1, 3)


a. Vergleiche die Geraden e und f

b. Vergleiche die Geraden f und g

Antwort anzeigen

Antwort

a. Schnittpunkt bei (2, 2, 2)

b. Schnittpunkt bei (3, 2, 4)

Frage anzeigen

Frage

Schneiden sich die folgenden Geraden und falls ja in welchem Punkt?


e = (1, 2, 1) + s * (1, 0, 3)

f = (0, 2, -2) + t * (1, 1, 1)

g = (2, 3, 1) + u * (-1, 0, 2)


a. Vergleiche die Geraden e und f

b. Vergleiche die Geraden f und g

Antwort anzeigen

Antwort

a. Schnittpunkt bei (0, 2, -2)

b. kein Schnittpnukt

Frage anzeigen

Frage

Schneiden sich die folgenden Geraden und falls ja in welchem Punkt?


e = (2, 3, 2) + s * (1, 0, 3)

f = (0, 2, -2) + t * (2, 1, 4)

g = (2, 3, 1) + u * (0, 0, 1)


a. Vergleiche die Geraden e und f

b. Vergleiche die Geraden f und g

Antwort anzeigen

Antwort

a. Schnittpunkt bei (2, 3, 2)

b. Schnittpunkt bei (2, 3, 2)

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Frage

Schneiden sich die folgenden Geraden und falls ja in welchem Punkt?


e = (2, 3, 2) + s * (1, 2, 1)

f = (0, 2, -2) + t * (3, 3, 5)

g = (2, 1, 4) + u * (0, 0, 1)


a. Vergleiche die Geraden e und f

b. Vergleiche die Geraden f und g

Antwort anzeigen

Antwort

a. Schnittpunkt bei (3, 5, 3)

b. kein Schnittpunkt der Geraden

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Frage

Schneiden sich die folgenden Geraden und falls ja in welchem Punkt?


e = (2, 3, 2) + s * (1, 0, 2)

f = (0, 2, -2) + t * (1, 0, 3)

g = (2, 1, 3) + u * (0, 1, 1)


a. Vergleiche die Geraden e und f

b. Vergleiche die Geraden f und g

Antwort anzeigen

Antwort

a. kein Schnittpunkt der Geraden

b. Schnittpunkt bei (2, 2, 4)

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Frage

Schneiden sich die folgenden Geraden und falls ja in welchem Punkt?


e = (2, 4, 0) + s * (3, 0, 2)

f = (0, 2, -2) + t * (2, -1, 2)

g = (1, 1, 2) + u * (1, 0, -2)


a. Vergleiche die Geraden e und f

b. Vergleiche die Geraden f und g


Antwort anzeigen

Antwort

a. Kein Schnittpunkt der Geraden

b. Schnittpunkt bei (2, 1, 0)

Frage anzeigen

Frage

Schneiden sich die folgenden Geraden und falls ja in welchem Punkt?


e = (0, 4, 0) + s * (3, 0, 2)

f = (0, 2, -2) + t * (2, 0, 1)

g = (1, 2, 3) + u * (1, 0, -1)


a. Vergleiche die Geraden e und f

b. Vergleiche die Geraden f und g

Antwort anzeigen

Antwort

a. kein Schnittpunkt der Geraden

b. Schnittpunkt bei (4, 2, 0)

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Frage

Schneiden sich die folgenden Geraden und falls ja in welchem Punkt?


e = (0, 2, 0) + s * (1, 1, 2)

f = (0, 2, -2) + t * (2, 2, -3)

g = (2, 0, 3) + u * (2, 0, 1)


a. Vergleiche die Geraden e und f

b. Vergleiche die Geraden f und g

Antwort anzeigen

Antwort

a. kein Schnittpunkt der Geraden

b. Schnittpunkt bei (-2, 0, 1)

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Frage

Schneiden sich die folgenden Geraden und falls ja in welchem Punkt?


e = (0, 3, 2) + s * (1, 0, 2)

f = (0, 2, -1) + t * (2, 2, 2)

g = (2, 0, 3) + u * (0, 4, -2)


a. Vergleiche die Geraden e und f

b. Vergleiche die Geraden f und g

Antwort anzeigen

Antwort

a. kein Schnittpunkt der Geraden

b. Schnittpunkt bei (2, 4, 1)

Frage anzeigen

Frage

Schneiden sich die folgenden Geraden und falls ja in welchem Punkt?


e = (2, 2, 2) + s * (1, 0, 0)

f = (0, 2, -1) + t * (1, 0, 3)

g = (2, 0, 3) + u * (-1, 1, -2)


a. Vergleiche die Geraden e und f

b. Vergleiche die Geraden f und g

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Antwort

a. Schnittpunkt bei (1, 2, 2)

b. Schnittpunkt bei  (0, 2, -1)

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Frage

Kreuze die richtigen Antworten an:



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Antwort

Eine Gerade und Ebene haben immer einen Schnittpunkt.

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Frage

Kreuze die richtigen Antworten an: 


Die Richtungsvektoren der Ebene und der Gerade erfüllen folgende Eigenschaften, wenn sich Ebene und Gerade schneiden.

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Antwort

Der Richtungsvektor der Geraden ist orthogonal zu den Richtungsvektoren der Ebene.

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Frage

Berechne den Abstand der angegebenen Koordinaten.

X (3, 5, 0)

Y (2, 2, 3)

Z (0, 4, 1)


a. Abstand X zu Y

b. Abstand Y zu Z

c. Abstand X zu Z

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Antwort

a. 4,36

b. 3,46

c. 3,32

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Frage

Berechne den Abstand der angegebenen Koordinaten.

X (0, 2, 4)

Y (1, 0, 3)

Z (3, 5, 0)


a. Abstand X zu Y

b. Abstand Y zu Z

c. Abstand X zu Z

Antwort anzeigen

Antwort

a. 2,45

b. 6,16

c. 5,83

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Frage

Stellen Sie die Parametergleichung durch drei gegebene Punkte der Ebene auf.


a. X(1, 2, 3);   Y(2, 0, 4);   Z (5, 2, 0)

b. X(2, 4, 3);   Y(2, 0, 2);   Z (5, 1, 2)

c. X(2, 2, 2);   Y(4, 2, 2);   Z (4, 2, 0)

Antwort anzeigen

Antwort

a. (1,2,3) + s* (1, -2, 1) + t*(4, 0, -3)

b. (2, 4, 3) + s*(0, -4, -1) + t*(3, -3, -1)

c. 2, 2, 2) + s*(2, 0, 0) + t*(2, 0, -2)

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Frage

Stellen Sie die Parametergleichung durch drei gegebene Punkte der Ebene auf.


a. X(3, 4, 3);   Y(4, 0, 4);   Z (5, 2, 4)

b. X(2, 3, 3);   Y(2, 0, 3);   Z (5, 1, 3)

c. X(3, 2, 4);   Y(4, 3, 2);   Z (4, 4, 0)





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Antwort

a. (3, 4, 3) + s* (1, -4, 1) + t*(2, -2, 1)

b. (2, 3, 3) + s* (0, -3, 0) + t*(3, -2, 0)

c. (3, 2, 4) + s* (1, 1, -2) + t*(1, 2, -4)

Frage anzeigen

Frage

Stellen Sie die Parametergleichung durch drei gegebene Punkte der Ebene auf.


a. X(3, 1, 3);   Y(4, 0, 4);   Z (1, 2, 4)

b. X(2, 3, 1);   Y(2, 1, 3);   Z (5, 1, 3)

c. X(1, 1, 4);   Y(4, 3, 1);   Z (4, 1, 0)

Antwort anzeigen

Antwort

a. (3, 1, 3) + s* (1, -1, 1) + t*(-2, 1, 1)

b. (2, 3, 1) + s* (0, -2, 2) + t*(3, -2, 2)

c. (1, 1, 4) + s* (3, 2, -3) + t*(3, 0, -4)

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Frage

Stellen Sie die Parametergleichung durch drei gegebene Punkte der Ebene auf.


a. X(3, 1, 2);   Y(4, 2, 4);   Z (2, 2, 4)

b. X(2, 2, 1);   Y(2, 2, 3);   Z (5, 2, 3)

c. X(2, 1, 4);   Y(4, 2, 1);   Z (4, 1, 2)

Antwort anzeigen

Antwort

a. (3, 1, 2) + s* (1, 1, 2) + t*(-1, 1, 2)

b. (2, 2, 1) + s* (0, 0, 2) + t*(3, 0, 2)

c. (2, 1, 4) + s* (2, 1, -3) + t*(2, 0, -2)

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Frage

Stellen Sie die Parametergleichung durch drei gegebene Punkte der Ebene auf.


a. X(4, 1, 2);   Y(4, 4, 4);   Z (2, 4, 4)

b. X(2, 4, 1);   Y(2, 2, 3);   Z (5, 4, 3)

c. X(2, 1, 4);   Y(4, 4, 1);   Z (4, 1, 2)

Antwort anzeigen

Antwort

a. (4, 1, 2) + s* (0, 3, 2) + t*(-2, 3, 2)

b. (2, 4, 1) + s* (0, -2, 2) + t*(3, 0, 2)

c. (2, 1, 4) + s* (2, 3, -3) + t*(2, 0, -2)

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Frage

Stellen Sie die Parametergleichung durch drei gegebene Punkte der Ebene auf.


a. X(4, 1, 5);   Y(5, 4, 4);   Z (2, 5, 4)

b. X(2, 4, 5);   Y(2, 5, 3);   Z (5, 4, 3)

c. X(2, 1, 5);   Y(5, 4, 1);   Z (4, 5, 2)

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Antwort

a. (4, 1, 5) + s* (1, 3, -1) + t*(-2, 4, -1)

b. (2, 4, 5) + s* (0, 1, -2) + t*(3, 0, -2)

c. (2, 1, 5) + s* (3, 3, -4) + t*(2, 4, -3)

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Frage

Stellen Sie die Parametergleichung durch drei gegebene Punkte der Ebene auf.


a. X(4, 3, 5);   Y(3, 4, 4);   Z (2, 5, 4)

b. X(2, 4, 3);   Y(3, 5, 3);   Z (5, 3, 3)

c. X(3, 1, 5);   Y(3, 4, 1);   Z (4, 5, 2)

Antwort anzeigen

Antwort

a. (4, 3, 5) + s* (-1, 1, -1) + t*(-2, 2, -1)

b. (2, 4, 3) + s* (1, 1, 0) + t*(3, -1, 0)

c. (3, 1, 5) + s* (0, 3, -4) + t*(1, 4, -3)

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Frage

Stellen Sie die Parametergleichung durch drei gegebene Punkte der Ebene auf.


a. X(4, 3, 2);   Y(3, 4, 2);   Z (2, 5, 4)

b. X(2, 2, 3);   Y(3, 2, 3);   Z (5, 3, 3)

c. X(2, 1, 5);   Y(2, 4, 1);   Z (4, 5, 2)

Antwort anzeigen

Antwort

a. (4, 3, 2) + s* (-1, 1, 0) + t*(-2, 2, 2)

b. (2, 2, 3) + s* (1, 0, 0) + t*(3, 1, 0)

c. (2, 1, 5) + s* (0, 3, -4) + t*(2, 4, -3)

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Frage

Stellen Sie die Parametergleichung durch drei gegebene Punkte der Ebene auf.


a. X(1, 3, 2);   Y(3, 4, 1);   Z (2, 5, 4)

b. X(1, 2, 3);   Y(3, 1, 3);   Z (5, 3, 3)

c. X(1, 1, 5);   Y(1, 4, 1);   Z (4, 5, 2)

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Antwort

a. (1, 3, 2) + s* (2, 1, -1) + t*(1, 2, 2)

b. (1, 2, 3) + s* (2, -1, 0) + t*(4, 1, 0)

c. (1, 1, 5) + s* (0, 3, -4) + t*(3, 4, -3)

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Stellen Sie die Parametergleichung durch drei gegebene Punkte der Ebene auf.


a. X(1, 4, 2);   Y(3, 4, 4);   Z (2, 4, 4)

b. X(1, 4, 3);   Y(3, 1, 4);   Z (5, 4, 3)

c. X(4, 1, 5);   Y(1, 4, 4);   Z (4, 5, 2)

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Antwort

a. (1, 4, 2) + s* (2, 0, 2) + t*(1, 0, 2)

b. (1, 4, 3) + s* (2, -3, 1) + t*(4, 0, 0)

c. (4, 1, 5) + s* (-3, 3, -1) + t*(0, 4, -3)

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Frage

Stellen Sie die Parametergleichung durch drei gegebene Punkte der Ebene auf.


a. X(3, 4, 2);   Y(3, 4, 4);   Z (3, 4, 0)

b. X(1, 3, 3);   Y(3, 1, 4);   Z (5, 3, 3)

c. X(4, 1, 3);   Y(1, 4, 4);   Z (4, 5, 3)

Antwort anzeigen

Antwort

a. (3, 4, 2) + s* (0, 0, 2) + t*(0, 0, -2)

b. (1, 3, 3) + s* (2, -2, 1) + t*(4, 0, 0)

c. (4, 1, 3) + s* (-3, 3, 1) + t*(0, 4, 0)

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Frage

Stellen Sie die Parametergleichung durch drei gegebene Punkte der Ebene auf.


a. X(3, 2, 2);   Y(3, 4, 2);   Z (3, 4, 0)

b. X(2, 3, 3);   Y(3, 2, 4);   Z (5, 3, 3)

c. X(4, 1, 2);   Y(1, 4, 2);   Z (4, 5, 3)

Antwort anzeigen

Antwort

a. (3, 2, 2) + s* (0, 2, 0) + t*(0, 2, -2)

b. (2, 3, 3) + s* (1, -1, 1) + t*(3, 0, 0)

c. (4, 1, 2) + s* (-3, 3, 0) + t*(0, 4, 1)

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Frage

Stellen Sie die Parametergleichung durch drei gegebene Punkte der Ebene auf.


a. X(0, 2, 2);   Y(3, 0, 2);   Z (3, 4, 0)

b. X(2, 3, 0);   Y(3, 2, 4);   Z (5, 0, 3)

c. X(4, 0, 2);   Y(1, 0, 2);   Z (4, 5, 3)

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Antwort

a. (0, 2, 2) + s* (3, -2, 0) + t*(3, 2, -2)

b. (2, 3, 0) + s* (1, -1, 4) + t*(3, -3, 3)

c. (4, 0, 2) + s* (-3, 0, 0) + t*(0, 5, 1)

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Berechne den Schnittwinkel der angegebenen Geraden.


f: y = 2x + 6

g: y = 0,2x - 5

h: y = -0,5x + 3


a. Winkel zwischen f und g

b. Winkel zwischen g und h

c. Winkel zwischen f und h

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Antwort

a. 52,1°

b. 37,9°

c. 90°

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Frage

Berechne den Schnittwinkel der angegebenen Geraden.


f: y = 2x + 2

g: y = 0,7x - 3

h: y = -2x + 2


a. Winkel zwischen f und g

b. Winkel zwischen g und h

c. Winkel zwischen f und h

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Antwort

a. 28,4°

b. 81,6°

c. 53,1°


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Frage

Berechne den Schnittwinkel der angegebenen Geraden.


f: y = 2x + 4

g: y = 4x - 3

h: y = -5x + 1


a. Winkel zwischen f und g

b. Winkel zwischen g und h

c. Winkel zwischen f und h

Antwort anzeigen

Antwort

a. 12,5°

b. 25,3°

c. 37,9°

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Frage

Berechne den Schnittwinkel der angegebenen Geraden.


f: y = 2x + 2

g: y = 5x - 6

h: y = -3x


a. Winkel zwischen f und g

b. Winkel zwischen g und h

c. Winkel zwischen f und h

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Antwort

a. 15,3°

b. 29,7°

c. 45°

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Frage

Berechne den Schnittwinkel der angegebenen Geraden.


f: y = 2x + 2

g: y = 6x - 10

h: y = -x + 2


a. Winkel zwischen f und g

b. Winkel zwischen g und h

c. Winkel zwischen f und h

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Antwort

a. 17,1°

b. 54,5°

c. 71,6°

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Frage

Berechne den Schnittwinkel der angegebenen Geraden.


f: y = 2x + 21

g: y = 4x - 12

h: y = -2x + 20


a. Winkel zwischen f und g

b. Winkel zwischen g und h

c. Winkel zwischen f und h

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Antwort

a. 12,5°

b. 40,6°

c. 53,1°

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Berechne den Schnittwinkel der angegebenen Geraden.


f: y = 2x + 8

g: y = 8x - 1

h: y = -5x + 30


a. Winkel zwischen f und g

b. Winkel zwischen g und h

c. Winkel zwischen f und h

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a. 19,4°

b. 18,4°

c. 37,9°

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Berechne den Schnittwinkel der angegebenen Geraden.


f: y = 2x + 7

g: y = 10x - 6

h: y = -7x + 7


a. Winkel zwischen f und g

b. Winkel zwischen g und h

c. Winkel zwischen f und h

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a. 20,9°

b. 13,8°

c. 34,7°

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Wandle die folgenden Ebenen aus Koordinatenform in Achsenabschnittsform um und lies danach die Spurpunkte, also die Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen ab:

  1. 4x -3y +z = 12
  2. 5x +2y -8z = 20
  3. 3x +y -2z = 11
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  1. x/3 -y/4 +z/12 =1.
    Die Spurpunkte sind: (3|0|0); (0|-4|0); (0|0|12)
  2. x/4 +y/10 -z/2,5 = 1
    Die Spurpunkte sind: (4|0|0); (0|10|0); (0|0|-2,5)
  3. x/(11/3) +y/11 -z/5,5 = 1
    Die Spurpunkte sind: (11/3|0|0); (0|11|0); (0|0|-5,5)
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Zwei Ebenen haben einen Schnittwinkel vorzuweisen, wenn...

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...die Normalenvektoren linear unabhängig sind.

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Eine Schülerin schaut sich die Berechnung des Schnittwinkels zweier Ebenen an und stellt fest, dass die Ortsvektoren überhaupt nicht in die Berechnung einfließen. Warum ist das so?

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Der Ortsvektor gibt nur an, wo die Ebene aufgespannt wird. Die beiden Richtungsvektoren bestimmen die Ausrichtung der Ebene im Raum. Ob die Ebene nun weiter auf der x-, y, oder z-Achse aufgespannt wird, ändert nichts an der Richtung und somit auch nichts an einem Winkel zu einer anderen Ebene. Man kann eine Ebene, die eine bestimmte Lage hat, also über den Ortsvektor verschieben, ohne, dass sich der Winkel zu anderen festen Ebenen oder Achsen ändert.


Beispiel: Stelle dir vor, du hast zwei Blätter A4 Papier und richtest sie im rechten Winkel zueinander aus. Änderst du nun den Ort der Ebenen im Raum, aber nicht die Ausrichtung, so ändert sich der Winkel zwischen den Ebenen auch nicht. 

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