Wertebereich

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In diesem Artikel wollen wir dir alles über den Wertebereich erklären und dir alle Fragen dazu beantworten. Der Wertebereich ist ein Thema der Kurvendiskussion und wird im Fach Mathematik unterrichtet.



Was ist der Wertebereich? 


Der Wertebereich kann auch Wertemenge genannt werden. Mit dem Wertebereich kannst du bestimmen, welche y-Werte eine Funktion annimmt. Der Wertebereich einer Funktion f(x) wird auch mit  gekennzeichnet.


! Der Wertebereich beantwortet die Frage: “Welche y-Werte nimmt die Funktion f an?” !




Allgemeines Beispiel zum Wertebereich


Als Beispiel untersuchen wir die Funktion f(x) = x². Der Definitionsbereich sei vorgegeben und beinhaltet  = {1,2,3,4,5}. Das heißt, der Definitionsbereich gibt dir vor, dass du nur die Werte 1, 2, 3, 4 und 5 in die Funktion f(x) = x² einsetzen darfst. Der Wertebereich entspricht somit der Menge von y-Werten, die du erhältst, nachdem du jedes x aus dem Definitionsbereich in die Funktion einsetzt.


Setzen wir die Werte aus dem Definitionsbereich einmal ein:


f(1) = 1² = 1

f(2) = 2² = 4

f(3) = 3² = 9

f(4) = 4² = 16

f(5) = 5² = 25


Die fett markierten Zahlen sind die Werte für den Wertebereich. Demnach gilt für den Wertebereich:  ={1,4,9,16,25}.




Wertebereich linearer Funktionen 


Wie du bereits wissen solltest, werden lineare Funktionen in ganz R definiert. Das heißt, für jedes x einer linearen Funktion kannst du jede reelle Zahl einsetzen. Das führt dazu, dass bei linearen Funktionen jeder y-Wert angenommen wird. Somit gilt für den Wertebereich:  = R.


Um es besser zu verstehen haben wir dir ein Beispiel vorbereitet.



Beispiel 1: Wertebereich linearer Funktionen


Gegeben sei der Graph der Funktion f(x)= x+2.

Der Definitionsbereich der Funktion ist wie folgt:  = R

Der Wertebereich der Funktion ist:  = R


Quelle: mathebibel.de


In der Aufgabenstellung kann der Definitionsbereich einer Funktion beliebig eingeschränkt werden. Wenn wir uns jetzt das obige Beispiel anschauen: f(x) = x+2, nehmen wir mal an, dass der Definitionsbereich beschränkt ist auf = {0;2}.


Wie berechnest du jetzt den Wertebereich?


Ganz einfach: Zunächst setzt du die untere Grenze des Intervalls (0) in die Funktion ein, um den kleinsten y-Wert herauszufinden. Dann setzt du die obere Grenze des Intervalls (2) in die Funktion ein, um den größten y-Wert zu bekommen:


f(0) = 0+2 = 2

f(2) = 2+2 = 4


Der kleinste y-Wert (2) und der größte y-Wert (4) sind die Grenzen des gesuchten Wertebereichs. Somit gilt:   = {2,4}


Graphisch betrachtet entspricht der Definitionsbereich (alle erlaubten x-Werte) der x-Achse und der Wertebereich (alle möglichen y-Werte) lässt sich dagegen an der y-Achse ablesen.




Wertebereich quadratischer Funktionen 


Wie du bereits wissen solltest, werden quadratische Funktionen in ganz R definiert. Das heißt, für jedes x einer linearen Funktion kannst du jede reelle Zahl einsetzen. Aber im Gegensatz zu linearen Funktionen nehmen quadratische Funktionen grundsätzlich nicht jeden y-Wert an.


Für den Wertebereich einer quadratischen Funktion gilt daher:

  • , wenn das Vorzeichen von x² positiv ist
  • , wenn das Vorzeichen von x² negativ ist


Dabei ist  die Koordinate des Scheitelpunkts .


Im nächsten Beispiel solltest du bereits wissen, wie man Scheitelpunkt berechnet 

Wir  bestimmen die Wertemenge mit den folgenden Rechenschritten:

  1. Vorzeichen von x² ablesen
  2. Scheitelpunkt berechnen
  3. Wertebereich bestimmen



Beispiel 1: Wertebereich quadratischer Funktionen


Es sei der Graph der Funktion f(x) = x²-6x+10 gegeben.

Der Definitionsbereich der Funktion ist  = R.

Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei S (3 |1).

Für den Wertebereich gilt   = [1; ∞].


Quelle: mathebibel.de



Beispiel 2: Wertebereich quadratischer Funktionen 


Gegeben sei der Graph der Funktion f(x) = -x² +8x -14.

Der Definitionsbereich der Funktion ist .

Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei S (4 |2).

Für den Wertebereich gilt  = [- ∞; 2].


Quelle: mathebibel.de


Die Grenzen für den Wertebereich von quadratischen Funktionen hängen von zwei Faktoren ab:

  • y - Koordinate des Scheitelpunktes
  • Vorzeichen von x²


Warum?

Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Und der Scheitelpunkt der Parabel ist der Punkt, wo der Graph der Funktion den höchsten y-Wert (= Hochpunkt HP) oder den niedrigsten y-Wert (=Tiefpunkt TP) annimmt. Um herauszufinden, ob es ein HP oder TP ist, musst du dir einfach das Vorzeichen von x²  der Funktion anschauen. Daran wirst du es erkennen. 




Wertebereich besonderer Funktionen 


Damit du den Wertebereich einer Funktion bestimmen kannst, musst du in den meisten Fällen auch die Extrempunkte, also Hochpunkte und Tiefpunkte, berechnen und eine Grenzwertbetrachtung durchführen. Daher gehört die Bestimmung des Wertebereichs oft zur Kurvendiskussion.


Mehr zur Kurvendiskussion besonderer Funktionen, erhältst du bei unseren Artikeln zum Thema Kurvendiskussion. Viel Spaß beim durchlesen!



Wertebereich - Alles Wichtige auf einen Blick


Zusammengefasst kann man sagen:

  • Der Wertebereich zeigt dir, welche möglichen y-Werte es für eine Funktion gibt.
  • Bei linearen Funktionen kommen alle reellen Zahlen als Wertebereich in Frage.
  • Der Definitionsbereich grenzt die x-Werte ein, die eingesetzt werden können.
  • Bei quadratischen Funktionen erkennst du am Vorzeichen von x² und der y-Koordinate des Scheitelpunktes, wie der Wertebereich aussieht.


Gut gemacht! Nachdem du alles fleißig durchgelesen hast, solltest du nun alles über den Wertebereich wissen. :) Weiter so!




Finales Wertebereich Quiz

Frage

Was beschreibt die Ableitung im Allgemeinen?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Ableitung einer Funktion entspricht in jedem Punkt der Steigung
der Tangente an den Graphen der Funktion und wird deshalb als Grenzwert der Sekantensteigung bestimmt.

Die Ableitung einer Funktion entspricht in jedem Punkt der Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion und wird deshalb als Grenz- wert der Sekantensteigung bestimmt.

Frage anzeigen

Frage

Was sind Trigonometrische Funktionen?

Antwort anzeigen

Antwort

Trigonometrische Funktionen sind Winkelfunktionen (bzw. Kreisfunktionen), die jedem Winkel α einen entsprechenden Funktionswert zuordnen.

Frage anzeigen

Frage

Wie muss der Taschenrechner bei Berechnung von trigonometrischen Funktionen für Gradmaß und für Bogenmaß eingestellt werden?

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Antwort

Bei Berechnung von konkreten Funktionswerten, muss der Taschenrechner auf den entsprechenden Modus eingestellt werden, d. h. DEG für das Gradmaß und RAD für das Bogenmaß.

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die Ableitungsregel für die Sinusfunktion?

Antwort anzeigen

Antwort

f(x) = sin x

f '(x) = cos x

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die Ableitungsregel für die Kosinusfunktion?

Antwort anzeigen

Antwort

f(x) = cos x

f '(x) = – sin x

Frage anzeigen

Frage

Wann muss die Ableitungsregel von cos/sin/tan mit der Kettenregel kombiniert werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn die Variable x nicht alleine/ nicht mit Faktor 1 steht.

Frage anzeigen

Frage

Wann muss die Ableitungsregel mit der Kettenregel kombiniert werden?

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Antwort

Die Variable x darf in diesem Fall nur alleine stehen bzw. mit Faktor 1. Andernfalls muss diese Ableitungsregel mit der Kettenregel kombiniert werden.

Frage anzeigen

Frage

Was gilt bei Verknüpfungen von Funktionen?

Antwort anzeigen

Antwort

Bei Verknüpfungen von Funktionen gelten zusätzlich alle weiteren bekannten

Differenziationsregeln.

Frage anzeigen

Frage

Inwiefern sind Logarithmusfunktionen differenzierbar?

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Antwort

Die Logarithmusfunktionen sind auf ihrem gesamten Definitionsbereich R+ differenzierbar.

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die natürliche Logarithmusfunktion?

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Antwort

f(x)= ln x

Frage anzeigen

Frage

Welche Nullstelle besitzt die natürlich Logarithmusfunktion?

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Antwort

Die ln-Funktion hat eine Nullstelle bei x = 1.

Frage anzeigen

Frage

Was versteht mann unter der Betragsfunktion von f(x)?

Antwort anzeigen

Antwort

Unter der Betragsfunktion von f(x) versteht man die Funktion | f(x) | .

Frage anzeigen

Frage

Wie entsteht der Graph der Betragsfunktion | f(x) |?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Graph der Betragsfunktion |f(x)| entsteht aus dem Graphen der Funktion f(x), indem alle unterhalb der x-Achse liegenden Teile des Graphen an der x-Achse nach oben gespiegelt werden.

Frage anzeigen

Frage

Was gibt eine Nullstellen des Nenners v(x) einer gebrochenrationalen Funktion noch an?

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Antwort

Nullstellen des Nenners v(x) sind Definitionslücken und mögliche
Polstellen der Funktion f.

Frage anzeigen

Frage

Wann ist eine Nullstellen des Zählers u(x) eine Nullstelle der gebrochenrationalen Funktion?

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Antwort

Eine Nullstelle des Zählers ist nur dann Nullstelle der Funktion f, wenn sie nicht zugleich Nullstelle des Nenners ist.

Frage anzeigen

Frage

Wann ist eine Nullstelle des Nenners eine Polstelle?

Antwort anzeigen

Antwort

  • Falls x0 keine Nullstelle des Zählers ist oder
  • x0 zugleich Nullstelle des Zählers und die Vielfachheit der Nullstelle
    im Nenner größer als die Vielfachheit der Nullstelle im Zähler ist.
Frage anzeigen

Frage

Wie können Nullstellen einer ganzrationalen Funktion ermittelt werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Z.B durch Linearfaktorzerlegung

Frage anzeigen
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