Symmetrie

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In diesem Artikel wollen wir dir alles über die Symmetrie erklären und dir alle Fragen dazu beantworten. Die Symmetrie ist ein Thema der Kurvendiskussion und wird im Fach Mathematik unterrichtet.



Welche Arten von Symmetrien gibt es?


Wir unterscheiden zwischen zwei Arten von Symmetrien. Es gibt zum einen die Achsensymmetrie und zum anderen die Punktsymmetrie. Zudem schauen wir uns in diesem Artikel die wichtigsten Spezialfälle: die Achsensymmetrie zur y-Achse und Punktsymmetrie zum Ursprung an.


Wir erklären die außerdem zu jeder Symmetrie Art, wie du sie rechnerisch nachweisen kannst.




Achsensymmetrie zur y-Achse


Eine Funktion ist Achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn der Graph auf der linken Seite der y-Achse ein Spiegelbild der rechten Seite wiedergibt. Rechnerisch heißt das, dass f(-x) = f(x) gelten muss. Im unteren Bild kannst du ein klassisches Beispiel von f(x) = x² sehen. Die Symmetrieachse ist rot markiert. 


Quelle: abiturma.de


Bei ganzrationalen Funktionen der Form:



kannst du spezielle Symmetrien auf einen Blick erkennen. Wenn das ausmultiplizierte Polynom nur gerade Exponenten hat, dann ist der Graph symmetrisch zur y-Achse.



Beispiel Achsensymmetrie zur y-Achse


Ist die Funktion  achsensymmetrisch zur y-Achse?


  1. Setze -x in die Funktion f ein


  2. Überprüfe, ob f(-x)=f(x) erfüllt ist


Damit ist die Achsensymmetrie zur y-Achse nachgewiesen:


Quelle: abiturma.de



Kurz gefasst:

  • Es muss gelten f(-x) = f(x) → Achsensymmetrisch zur y-Achse
  • Ganzrationale Funktionen mit nur geraden Exponenten → Achsensymmetrisch zur y-Achse




Achsensymmetrie zu einer beliebigen Achse


Um nachzuweisen, ob eine Achsensymmetrie vorliegt, wählen wir eine Achse, entlang wir die Symmetrie vermuten und prüfen, ob diese vorliegt. Bisher haben wir das für die y-Achse überprüft und diese ist durch die Gleichung x = 0 beschrieben. Die Bedingung lautet dann so f(-x) = f(x).


Nun ist es nicht immer der Fall, dass die Funktion an der y-Achse symmetrisch ist. Wenn wir überprüfen wollen, ob andere vertikale Achsen als Symmetrieachse verwendet wurden, merken wir uns diesen Satz:


Der Graph der Funktion f(x) ist genau symmetrisch zu der Achse x = h, 

wenn f(h-x) = f(h+x) für alle x gilt.


h beschreibt den x-Wert der vermuteten Symmetrieachse. Hier kannst du es genauer im Bild erkennen:


Quelle: abiturma.de


Vermutete Symmetrieachsen können in drei verschiedenen Optionen vorkommen:


  1. Die zu prüfende Symmetrieachse wird in der Aufgabenstellung explizit genannt.
  2. Es handelt sich um eine in x-Richtung verschobene Funktion.
  3. Wir berechnen die Extremstellen der Funktion.


Option a)

Setze die angegebene Achsengleichung x = h in die Formel f(h-x) = f(h+x) ein.


Option b)

Schaue dir an, um welchen Wert h die Funktion in x-Richtung verschoben wurde.


Option c)

Berechne die Extremstellen der Funktion.


Beispiel:

Ist der Graph der Funktion f(x) = x²-6x +9 achsensymmetrisch?


Bestimme zuerst die Extremwerte um potenziellen Symmetrieachsen zu finden:

f’(x) = 2x -6

f’’(x) = 2

Wir berechnen dann die notwendige Bedingung f’(x) = 0 und überprüfen die hinreichende Bedingung f’’(x) ≠ 0. 

Wir erhalten x = 3 als potentielle Symmetrieachse. Nun können wir die Bedingung aus dem Merksatz überprüfen:


f(3+x) = (3+x)² -6(3+x)+9 = x²

f(3-x) = (3-x)² -6(3-x)+9 = x²

f(3-x) = f(3+x) 

→ Der Graph der Funktion ist achsensymmetrisch zur Achse x = 3.



Punktsymmetrie zum Ursprung


Die andere Form der Symmetrie ist die Punktsymmetrie, auch Zentralsymmetrie genannt. Die Funktion wird über einen Punkt gespiegelt. Eine Funktion gilt als punktsymmetrisch, wenn sie durch eine Spiegelung am Symmetriepunkt auf sich selbst abgebildet wird:


Quelle: abiturma.de


Wenn du den roten Teil 180° um den Symmetriepunkt drehst, erhältst du den blauen Teil. Damit ist die Funktion punktsymmetrisch. Es gilt folgender Merksatz, um eine Punktsymmetrie rechnerisch nachzuweisen:


Es gilt f(-x) = -f(x), damit f(x) punktsymmetrisch zum Ursprung ist.


Bei ganzrationalen Funktionen der Form:



kannst du spezielle Symmetrien auf einen Blick erkennen. Wenn das ausmultiplizierte Polynom nur ungerade Exponenten hat, dann ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung.




Beispiel Punktsymmetrie zum Ursprung


Ist der Graph der Funktion  punktsymmetrisch zum Ursprung?


Wir überprüfen die Bedingung f(-x) = -f(x):


Damit ist die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung.


Quelle: abiturma.de


Kurz gefasst:

  • Punktsymmetrie zum Ursprung liegt vor wenn f(-x) = -f(x) erfüllt




Punktsymmetrie zu einem beliebigen Punkt


Wir verfahren hier ähnlich wie bei der Achsensymmetrie zu einer beliebigen Achse. Es gilt:


Der Graph einer Funktion f(x) ist genau Symmetrisch zum Punkt P(a|b), falls 

f(a+x)-b = -(f(a-x)-b) gilt.


Potenzielle Symmetriepunkte sind Wendestellen.



Beispiel Punktsymmetrie zu einem beliebigen Punkt


Ist die Funktion f(x) = x³ -3x²+4x-4 symmetrisch zu einem Punkt?


  1. Berechne die Wendestellen. Durch f’’(x) = 0
    Es gibt eine WS bei WS(1/-2)

  2. Prüfe anhand des Merksatzes, ob die Bedingung für eine Punktsymmetrie erfüllt ist.
    f(1+x)-(-2) = (2+x)³-3(1+x)²+4(1+x)+4+2 = x³+x
    f(1-x)-(-2) = (1-x)³-3(1-x)²+4(1-x)+4+2 = -x³-x = -(x³+x)

    f(1-x)-(-2) = -(f(1-x)-(-2))

    Die Bedingung ist erfüllt und WS (1/-2) ist ein Symmetriepunkt für die Funktion.




Symmetrie- Alles Wichtige auf einen Blick


Im Folgenden haben wir dir das Wichtigste zusammengefasst:


  • Es gilt f(-x) = f(x) für Achsensymmetrie zur y-Achse
  • Es gilt f(h-x) = f(h+x) für alle x für Achsensymmetrie zu einer beliebigen Achse
  • Es gilt f(-x) = -f(x) für Punktsymmetrie zum Ursprung
  • Es gilt f(a+x)-b = -(f(a-x)-b) für einen beliebigen Symmetriepunkt P(a|b)


Gut gemacht! Nachdem du alles fleißig durchgelesen hast, solltest du nun alles über die Symmetrie in Mathe wissen. :) Weiter so!


Finales Symmetrie Quiz

Frage

Was beschreibt die Ableitung im Allgemeinen?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Ableitung einer Funktion entspricht in jedem Punkt der Steigung
der Tangente an den Graphen der Funktion und wird deshalb als Grenzwert der Sekantensteigung bestimmt.

Die Ableitung einer Funktion entspricht in jedem Punkt der Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion und wird deshalb als Grenz- wert der Sekantensteigung bestimmt.

Frage anzeigen

Frage

Was sind Trigonometrische Funktionen?

Antwort anzeigen

Antwort

Trigonometrische Funktionen sind Winkelfunktionen (bzw. Kreisfunktionen), die jedem Winkel α einen entsprechenden Funktionswert zuordnen.

Frage anzeigen

Frage

Wie muss der Taschenrechner bei Berechnung von trigonometrischen Funktionen für Gradmaß und für Bogenmaß eingestellt werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Bei Berechnung von konkreten Funktionswerten, muss der Taschenrechner auf den entsprechenden Modus eingestellt werden, d. h. DEG für das Gradmaß und RAD für das Bogenmaß.

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die Ableitungsregel für die Sinusfunktion?

Antwort anzeigen

Antwort

f(x) = sin x

f '(x) = cos x

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die Ableitungsregel für die Kosinusfunktion?

Antwort anzeigen

Antwort

f(x) = cos x

f '(x) = – sin x

Frage anzeigen

Frage

Wann muss die Ableitungsregel von cos/sin/tan mit der Kettenregel kombiniert werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn die Variable x nicht alleine/ nicht mit Faktor 1 steht.

Frage anzeigen

Frage

Wann muss die Ableitungsregel mit der Kettenregel kombiniert werden?

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Antwort

Die Variable x darf in diesem Fall nur alleine stehen bzw. mit Faktor 1. Andernfalls muss diese Ableitungsregel mit der Kettenregel kombiniert werden.

Frage anzeigen

Frage

Was gilt bei Verknüpfungen von Funktionen?

Antwort anzeigen

Antwort

Bei Verknüpfungen von Funktionen gelten zusätzlich alle weiteren bekannten

Differenziationsregeln.

Frage anzeigen

Frage

Inwiefern sind Logarithmusfunktionen differenzierbar?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Logarithmusfunktionen sind auf ihrem gesamten Definitionsbereich R+ differenzierbar.

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die natürliche Logarithmusfunktion?

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Antwort

f(x)= ln x

Frage anzeigen

Frage

Welche Nullstelle besitzt die natürlich Logarithmusfunktion?

Antwort anzeigen

Antwort

Die ln-Funktion hat eine Nullstelle bei x = 1.

Frage anzeigen

Frage

Was versteht mann unter der Betragsfunktion von f(x)?

Antwort anzeigen

Antwort

Unter der Betragsfunktion von f(x) versteht man die Funktion | f(x) | .

Frage anzeigen

Frage

Wie entsteht der Graph der Betragsfunktion | f(x) |?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Graph der Betragsfunktion |f(x)| entsteht aus dem Graphen der Funktion f(x), indem alle unterhalb der x-Achse liegenden Teile des Graphen an der x-Achse nach oben gespiegelt werden.

Frage anzeigen

Frage

Was gibt eine Nullstellen des Nenners v(x) einer gebrochenrationalen Funktion noch an?

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Antwort

Nullstellen des Nenners v(x) sind Definitionslücken und mögliche
Polstellen der Funktion f.

Frage anzeigen

Frage

Wann ist eine Nullstellen des Zählers u(x) eine Nullstelle der gebrochenrationalen Funktion?

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Antwort

Eine Nullstelle des Zählers ist nur dann Nullstelle der Funktion f, wenn sie nicht zugleich Nullstelle des Nenners ist.

Frage anzeigen

Frage

Wann ist eine Nullstelle des Nenners eine Polstelle?

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Antwort

  • Falls x0 keine Nullstelle des Zählers ist oder
  • x0 zugleich Nullstelle des Zählers und die Vielfachheit der Nullstelle
    im Nenner größer als die Vielfachheit der Nullstelle im Zähler ist.
Frage anzeigen

Frage

Wie können Nullstellen einer ganzrationalen Funktion ermittelt werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Z.B durch Linearfaktorzerlegung

Frage anzeigen
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