Steigung berechnen

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In diesem Artikel wollen wir dir erklären, wie du die Steigung berechnen kannst und dir alle Fragen dazu beantworten. Die Steigung ist ein Thema der Kurvendiskussion und wird im Fach Mathematik unterrichtet.



Was ist eine Geradensteigung?


Eine Gerade ist der Graph linearer Funktionen der Form f(x) = mx+t. Wobei m die Steigung der Geraden kennzeichnet.


Die Steigung einer Gerade gibt an, um wie viele Einheiten sich die y-Koordinate eines Punktes verändert, wenn sich die x- Koordinate um eine Einheit verändert. Einfach gesagt: Die Steigung einer Geraden gibt an, wie steil sie ansteigt.




Wie berechne ich die Geradensteigung?


Du kannst die Steigung mit dem Differenzenquotienten aus zwei verschiedenen Punkten  und , die auf der Geraden liegen, berechnen:



Es ist egal, welche Punkte du wählst, denn es kommt immer derselbe Quotient Wert raus.



Beispiel Geradensteigung


Bestimme die Steigung der vorgegebenen Gerade. Die zwei Punkte, die auf der Gerade liegen sind A(1 | 3,5) und B(3 l 4,5).


Bestimme ㅿy und ㅿx und setze sie in die Steigungsformel ein. Dann bekommst du 

heraus.


Quelle:de.serlog.org


Das gezeichnete Dreieck nennt man Steigungsdreieck. Mehr dazu in den nächsten Abschnitten.




Wie bestimme ich das Steigungsdreieck mithilfe der Steigung?


Hierzu nimmst du zwei beliebige Punkte auf der Geraden im Koordinatensystem und zeichnest zwischen ihnen Verbindungslinien, die parallel sind zu den Koordinatenachsen, die dann ein rechtwinkliges Dreieck ergeben.


Wir geben dir einige Beispiele, die zeigen, was welche Steigung bedeuten würde.


  • Steigung 2 bedeutet: “Gehe von einem Punkt auf der Gerade 1 LE nach rechts und 2 LE nach oben.”
  • Steigung -1 bedeutet: “Gehe von einem Punkt auf der Gerade 1 LE nach rechts und 2 LE nach unten.”
  • Steigung bedeutet: “Gehe von einem Punkt auf der Gerade 3 LE nach rechts und 2 LE nach oben.”
  • Steigung  bedeutet: “Gehe von einem Punkt auf der Gerade 3 LE nach rechts und 2 LE nach unten.”


Kurz gefasst, diese Regeln sind zu beachten:


  •  → x = Zähler und y = Nenner
  • Vorzeichen + → x LE nach oben
  • Vorzeichen - → x LE nach unten
  • y → gibt LE an, die du nach rechts gehst



Wie berechne ich die Steigung mit einem Steigungsdreieck?


Wenn zwei Punkte der Geraden gegeben sind, kannst du mit denen das Steigungsdreieck zeichnen. 


Die Steigung der Geraden ist die Länge der senkrechten Kathete geteilt durch die Länge der waagerechten Kathete. Die Steigung ist positiv, wenn die Gerade steigt und negativ, wenn sie fällt.


Es ergibt sich daraus dieselbe Formel, die oben schon genannt wurde:




Die Steigung senkrechter und paralleler Geraden


Gegeben seien zwei Geraden mit jeweils ihren Geradengleichungen:




Steigung paralleler Geraden


Wenn  gilt, sind die Geraden parallel.


Beispiel:


Quelle:de.serlog.org




Steigung senkrechter Geraden


Wenn  gilt, dann stehen die Geraden senkrecht aufeinander.


Beispiel:


Quelle:de.serlog.org





Wie berechne ich den Steigungswinkel?


Der Steigungswinkel zeigt an, in welchem Winkel eine Gerade zur x-Achse steht. Der Steigungswinkel α von einer Geraden mit y = mx+t ist erfüllt mit:


m = tan(α).                                                                                                                               

              

Steigung spezieller Geraden


Die Steigung einer Geraden, die parallel zur x-Achse verläuft, ist 0.

Die zugehörige Funktion ist dann konstant. Die Gleichung für so eine Funktion wäre y = n.


Quelle:de.serlog.org


Die Steigung einer Gerade, die parallel zur y-Achse verläuft, ist “unendlich”.

Jedoch kann es keine Funktion in Abhängigkeit von x mit so einer Gerade geben, da dem gleichen x-Wert verschiedene y-Werte zugeordnet werden müssten.

Trotzdem lässt sich so eine Gerade durch die Gleichung x = r beschreiben.


Quelle:de.serlog.org




Steigung berechnen- Alles Wichtige auf einen Blick


Im Folgenden haben wir dir das Wichtigste zusammengefasst:


  • Die Steigung gibt an, wie stark eine Gerade einer Funktion f(x) = mx+t ansteigt.
  • Du kannst sie mit einem Steigungsdreieck oder mit der Formel  berechnen.
  • Es gelten besondere Regeln wenn bestimmte Bedingungen für zwei verschiedene Geraden erfüllt sind.


Gut gemacht! Nachdem du alles fleißig durchgelesen hast, solltest du nun alles über die Steigung in Mathe wissen. :) Weiter so!


Finales Steigung berechnen Quiz

Frage

Was beschreibt die Ableitung im Allgemeinen?

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Antwort

Die Ableitung einer Funktion entspricht in jedem Punkt der Steigung
der Tangente an den Graphen der Funktion und wird deshalb als Grenzwert der Sekantensteigung bestimmt.

Die Ableitung einer Funktion entspricht in jedem Punkt der Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion und wird deshalb als Grenz- wert der Sekantensteigung bestimmt.

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Frage

Was sind Trigonometrische Funktionen?

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Antwort

Trigonometrische Funktionen sind Winkelfunktionen (bzw. Kreisfunktionen), die jedem Winkel α einen entsprechenden Funktionswert zuordnen.

Frage anzeigen

Frage

Wie muss der Taschenrechner bei Berechnung von trigonometrischen Funktionen für Gradmaß und für Bogenmaß eingestellt werden?

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Antwort

Bei Berechnung von konkreten Funktionswerten, muss der Taschenrechner auf den entsprechenden Modus eingestellt werden, d. h. DEG für das Gradmaß und RAD für das Bogenmaß.

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Frage

Wie lautet die Ableitungsregel für die Sinusfunktion?

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Antwort

f(x) = sin x

f '(x) = cos x

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die Ableitungsregel für die Kosinusfunktion?

Antwort anzeigen

Antwort

f(x) = cos x

f '(x) = – sin x

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Frage

Wann muss die Ableitungsregel von cos/sin/tan mit der Kettenregel kombiniert werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn die Variable x nicht alleine/ nicht mit Faktor 1 steht.

Frage anzeigen

Frage

Wann muss die Ableitungsregel mit der Kettenregel kombiniert werden?

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Antwort

Die Variable x darf in diesem Fall nur alleine stehen bzw. mit Faktor 1. Andernfalls muss diese Ableitungsregel mit der Kettenregel kombiniert werden.

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Frage

Was gilt bei Verknüpfungen von Funktionen?

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Antwort

Bei Verknüpfungen von Funktionen gelten zusätzlich alle weiteren bekannten

Differenziationsregeln.

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Frage

Inwiefern sind Logarithmusfunktionen differenzierbar?

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Antwort

Die Logarithmusfunktionen sind auf ihrem gesamten Definitionsbereich R+ differenzierbar.

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Frage

Wie lautet die natürliche Logarithmusfunktion?

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Antwort

f(x)= ln x

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Frage

Welche Nullstelle besitzt die natürlich Logarithmusfunktion?

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Antwort

Die ln-Funktion hat eine Nullstelle bei x = 1.

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Frage

Was versteht mann unter der Betragsfunktion von f(x)?

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Antwort

Unter der Betragsfunktion von f(x) versteht man die Funktion | f(x) | .

Frage anzeigen

Frage

Wie entsteht der Graph der Betragsfunktion | f(x) |?

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Antwort

Der Graph der Betragsfunktion |f(x)| entsteht aus dem Graphen der Funktion f(x), indem alle unterhalb der x-Achse liegenden Teile des Graphen an der x-Achse nach oben gespiegelt werden.

Frage anzeigen

Frage

Was gibt eine Nullstellen des Nenners v(x) einer gebrochenrationalen Funktion noch an?

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Antwort

Nullstellen des Nenners v(x) sind Definitionslücken und mögliche
Polstellen der Funktion f.

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Frage

Wann ist eine Nullstellen des Zählers u(x) eine Nullstelle der gebrochenrationalen Funktion?

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Antwort

Eine Nullstelle des Zählers ist nur dann Nullstelle der Funktion f, wenn sie nicht zugleich Nullstelle des Nenners ist.

Frage anzeigen

Frage

Wann ist eine Nullstelle des Nenners eine Polstelle?

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Antwort

  • Falls x0 keine Nullstelle des Zählers ist oder
  • x0 zugleich Nullstelle des Zählers und die Vielfachheit der Nullstelle
    im Nenner größer als die Vielfachheit der Nullstelle im Zähler ist.
Frage anzeigen

Frage

Wie können Nullstellen einer ganzrationalen Funktion ermittelt werden?

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Antwort

Z.B durch Linearfaktorzerlegung

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