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Scheitelpunkt berechnen

Frage

Welche Funktionen haben Polstellen?

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Antwort

Gebrochenrationale Funktionen nur, wenn die Nullstellen des Zählers nicht gleich den Nullstellen des Nenners sind.

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Frage

Was versteht man unter Monotonie?

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Antwort

Die Monotonie beschreibt das Steigungsverhalten einer Funktion.

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Frage

Wann ist ein Graph streng monoton fallend?

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Antwort

f '(x) < 0 im Intervall I ⇒ Der Graph Gf fällt streng monoton in I

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Frage

Wann ist ein Graph streng monoton wachsend?

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Antwort

f '(x) > 0 im Intervall I ⇒ Der Graph Gf steigt streng monoton in I.

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Frage

Was sind Extremstellen?

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Antwort

Extremstellen sind Stellen (x-Werte), an denen der Graph einer Funktion die Steigung null und damit eine waagrechte
Tangente
besitzt. Außerdem ändert sich an dieser Stelle das Monotonieverhalten
(von steigend zu fallend oder umgekehrt).

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Frage

Welche drei Arten von Extremstellen werden unterschieden?

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Antwort

Tiefpunkt, Hochpunkt, Terrassenpunkt

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Frage

Wann liegt ein Tiefpunkt vor?

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Antwort

VZW von − nach + : relatives Minimum bei x0

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Frage

Wann liegt ein Hochpunkt vor?

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Antwort

VZW von + nach − : relatives Maximum bei x0

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Frage

Wann liegt ein Terrassenpunkt vor?

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Antwort

Kein VZW

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Frage

Wie kann das Monotonieverhalten und die Extrempunkte mithilfe einer Monotonietabelle bestimmt werden?

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Antwort

Schritt 1: 1. Ableitung von f bestimmen
Schritt 2: Nullstellen der 1. Ableitung berechnen, d. h. Lösen der Gleichung f '(x) = 0
Schritt 3: Für jede Nullstelle x0 der 1. Ableitung überprüfen, ob f '(x) beim Fortschreiten von links nach rechts über die Nullstelle hinweg das Vorzeichen wechselt
− nach + : relatives Minimum bei x0
+ nach − : relatives Maximum bei x0
kein VZW: Terrassenpunkt

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Frage

Wie können Extrempunkte mithilfe der 2. Ableitung bestimmt werden?

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Antwort

Schritt 1: 1. und 2. Ableitung von f bestimmen
Schritt 2: Nullstellen der 1. Ableitung berechnen, d. h. Lösen der Gleichung f '(x) = 0
Schritt 3: Für jede Nullstelle x0 der 1. Ableitung den Funktionswert f ''(x0) berechnen und das Ergebnis auswerten
f ''(x0) > 0: relatives Minimum bei x0
f ''(x0) < 0: relatives Maximum bei x0
f ''(x0) = 0: Terrassenpunkt möglich

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Frage

Ein Hochregallager mit einem Gesamtvolumen von 500 m³ soll möglichst kostengünstig gebaut werden. Die Erstellung der Wände kostet 1200€ je m², der Decke 650€ je m² und des Bodens 450€ je m². Bestimmen Sie die Maße des Raumes unter der Bedingung, dass die Kosten möglichst klein sind und der Raum einen quadratischen Grundriss hat.

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Antwort

a=10,3m

h=4,72m

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Frage

Gebe an ob die folgenden Funktionen Polstellen besitzen. Falls ja, wo liegen diese?


a. x / (2x - 1)

b. (x - 1) / (3x - 3)

c. (3x - 2) / (2x + 1)

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Antwort

a. Ja - Polstelle bei x = 0,5

b. Nein

c. Ja - Polstelle bei x = -0,5

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Frage

Gebe an ob die folgenden Funktionen Polstellen besitzen. Falls ja, wo liegen diese?


a. x / (3x - 3)

b. (x - 3) / (3x + 9)

c. 3x / (2x + 4)

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Antwort

a. Ja - Polstelle bei x = 1

b. Ja - Polstelle bei x = -3

c. Ja - Polstelle bei x = -2

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Frage

Gebe an ob die folgenden Funktionen Polstellen besitzen. Falls ja, wo liegen diese?


a. x / (x^2 + 2x)

b. (x - 2) / (3x + 12)

c. -x / (x - 4)

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Antwort

a. Ja - Polstelle bei x = -2

b. Ja - Polstelle bei x = -4

c. Ja - Polstelle bei x = 4

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Frage

Gebe an ob die folgenden Funktionen Polstellen besitzen. Falls ja, wo liegen diese?


a. x - 1 / (3x - 3)

b. (x - 1) / (x^2 - x)

c. -x / (2x - 4)

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Antwort

a. Nein

b. Ja - Polstelle bei x = 0

c. Ja - Polstelle bei x = 2

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Frage

Gebe an ob die folgenden Funktionen Polstellen besitzen. Falls ja, wo liegen diese?


a. (2x - 1) / (x - 3)

b. (2x - 1) / (x^2 - 5x)

c. -x / 2x

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Antwort

a. Ja - Polstelle bei x = 3

b. Ja - Polstellen bei x = 0 und x = 5

c. Nein

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Frage

Gebe an ob die folgenden Funktionen Polstellen besitzen. Falls ja, wo liegen diese?


a. 2x / (x^2 - 4)

b. (x - 5) / (x^2 - 5x)

c. 3x / x + 2

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Antwort

a. Ja - Polstellen bei x = 2 und x = -2

b. Ja - Polstelle bei x = 0

c. Ja - Polstele bei x = -2

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Frage

Gebe an ob die folgenden Funktionen Polstellen besitzen. Falls ja, wo liegen diese?


a. (x + 3) / (x^2 - 9)

b. (x - 2) / (x^2 + 2x)

c. 3 / x - 2

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Antwort

a. Ja - Polstelle bei x = 3

b. Ja - Polstellen bei x = 0 und x = -2

c. Ja - Polstelle bei x = 2

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Frage

Gebe an ob die folgenden Funktionen Polstellen besitzen. Falls ja, wo liegen diese?


a. (2x + 3) / (2x - 9)

b. (x - 2) / (x + 2x)

c. 3x / 3x - 2

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Antwort

a. Ja - Polstelle bei x = 4,5

b. Ja - Polstelle bei x = 0

c. Ja - Polstelle bei x = (2/3)

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Frage

Gebe an ob die folgenden Funktionen Polstellen besitzen. Falls ja, wo liegen diese?


a. 3x / (-5x - 1)

b. (3x - 1) / (3x - 1)

c. (3x + 1) / (2x + 1)

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Antwort

a. Ja - Polstelle bei x = -0,2

b. Nein

c. Ja - Polstelle bei x = -0,5

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Frage

Gebe an ob die folgenden Funktionen Polstellen besitzen. Falls ja, wo liegen diese?


a. x / (5x - 15)

b. (3x - 30) / (x - 10)

c. (x + 1) / (2x + 1)

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Antwort

a. Ja - Polstelle bei x = 3

b. Nein

c. Ja -  Polstellle bei x = -0,5

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Frage

Berechne die Extremwerte der folgenden Funktionen:


  1. f(x)=-x³ +4x² -5x -8
  2. g(x)=x³ -8x² -12x+3
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Antwort

  1. Minimum bei x=1, Maximum bei x = 5/3
  2. Minimum bei x =6, Maximum bei x= -2/3
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Frage

Bestimme die Polstellen der folgenden Funktionen, und gib an, ob es sich um Polstellen mit oder ohne Vorzeichenwechsel handelt:


  1. f(x)=(2x+4)/(x^4-16)
  2. g(x)=(x+1)/(x^4-x²)
  3. h(x)=1/(x^4- 2x² +1)
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Antwort

  1. Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei x= 2
  2. Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei x= 1; Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei x=0
  3. Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei x=1;  Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei x=-1
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Frage

Berechne die Extremwerte der folgenden Funktionen: 


  1. f(x)=x³ -15x²+72x+15
  2. g(x)=2x³ +3x² -36x-1
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Antwort

  1. Minimum bei x=6, Maximum bei x = 4
  2. Minimum bei x=2, Maximum bei x = -3
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Frage

Berechne die Extremwerte der folgenden Funktionen: 


  1. f(x)= x*e^x
  2. g(x)=e^x /x
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Antwort

  1. Minimum bei x = -1
  2. Minimum bei x = 1
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Frage

Berechne die Extremwerte der folgenden Funktionen: 


  1. f(x)=-x*lnx
  2. (lnx)/x
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Antwort

  1. Maximum bei x=-1/e
  2. Maximum bei x=e
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Frage

Berechne die Extremwerte der folgenden Funktionen: 


  1. f(x)=lnx- √x 
  2. x -√x 
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Antwort

  1. Maximum bei x =4
  2. Minimum bei x = 1/4
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Frage

Gebe an ob die folgenden Funktionen Polstellen besitzen. Falls ja, wo liegen diese?


a. x / (x - 12)

b. (3x - 30) / (3x - 10)

c. (x + 1) / (2x + 2)

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Antwort

a. Ja - Polstelle bei x = 12

b. Ja - Polstelle bei x = 3,33

c. Nein

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Frage

Gebe an ob die folgenden Funktionen Polstellen besitzen. Falls ja, wo liegen diese?


a. x / (x - 3)

b. (3x - 12) / (5x - 10)

c. (x + 3) / (2x + 6)

Antwort anzeigen

Antwort

a. Ja - Polstelle bei x = 3

b. Ja - Polstelle bei x = 2

c. Nein

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Frage

Gebe an ob die folgenden Funktionen Polstellen besitzen. Falls ja, wo liegen diese?


a. 2x / (x - 2)

b. (x - 12) / (2x - 10)

c. (x + 2) / (0,5x + 1)

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Antwort

a. Ja - Polstelle bei x = 2

b. Ja - Polstelle bei x = 5

c. Nein

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Gebe an ob die folgenden Funktionen Polstellen besitzen. Falls ja, wo liegen diese?


a. 2x / (2x - 4)

b. (x - 1) / (10x - 10)

c. (x + 2) / (3x + 6)

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Antwort

a. Ja - Polstelle bei x = 2

b. Nein

c. Nein

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Frage

Wie bestimmt man die Extremstellen einer Funktion?

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Antwort

Extremstellen einer Funktion f(x) erhältst du, wenn du die 1. Ableitung f’(x) gleich null setzt: → f’(x) = 0

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Frage

Welche Arten an Extremstellen gibt es?

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Antwort

Hochpunkt, Tiefpunkt und Sattelpunkt.

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Frage

Beschreibe den Funktionsabschnitt bei Hochpunkten.

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Antwort

Der Funktionsabschnitt bei Hochpunkten: 

  • Wächst vor der Extremstelle streng monoton und 
  • Fällt nach der Extremstelle streng monoton
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Frage

Beschreibe den Funktionsabschnitt bei Tiefpunkten.

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Tiefpunkte sind das Gegenteil zu den Hochpunkten. Deren Funktionsabschnitt: 

  • Fällt vor der Extremstelle streng monoton 
  • Wächst nach der Extremstelle streng monoton
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Frage

Beschreibe den Funktionsabschnitt bei Sattelpunkten.

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Antwort

Sattelpunkte sind Sonderfälle: 


  • Monotonie vor und nach dem Extrempunkt sind identisch
  • Trotzdem erreicht die Kurve kurz einen Punkt, wo die Steigung gleich Null ist
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Frage

Wann handelt es sich um einen HP, TP oder Sattelpunkt?

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Antwort

Erkennst du eine Extremstelle an der Stelle x, so handelt es sich: 

  • Um einen Hochpunkt, wenn f’’(x) < 0 ist 
  • Um einen Tiefpunkt, wenn f’’(x) > 0 ist 
  • Möglicherweise um einen Sattelpunkt, wenn f’’(x) = 0 ist
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Frage

Wie berechne ich Extremstellen? (Schritte)

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Antwort

  1.  Ermitteln der Extremstellen f’(x) = 0 auflösen 
  2. Art der Extremstellen ermitteln f’’(x) für jede Extremstelle ermitteln und nach der Regel entscheiden, ob es ein Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt ist
  3. Funktionswert des Extrempunktes bestimmen Um die kompletten Koordinaten für die Extremstelle zu bestimmen, musst du den herausgefunden x-Wert in f(x) einsetzen und auflösen.
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Berechne die Extremwerte von f(x)=x²+2x-1.

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Antwort

Die Funktion besitzt einen Tiefpunkt bei T(-1/-2).

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Frage

Was erfährt man durch das Monotonieverhalten?

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Antwort

Das Monotonieverhalten einer Funktion teilt dir mit, in welchem Bereich der Graph der Funktion steigt oder fällt.

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Frage

Wie ist das Monotonieverhalten definiert?

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Antwort

  • Die Funktion f ist streng monoton steigend, wenn f’(x) > 0 gilt. 
  • Die Funktion f ist streng monoton fallend, wenn f’(x) < 0 gilt.
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Frage

Mit welchen Schritten bestimmt man das Monotonieverhalten mithilfe der zweiten Ableitung?

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Antwort

  1. f’(x) berechnen
  2.  f’(x) = 0, Nullstellen von f’(x) berechnen
  3. f’’(x) berechnen
  4. Nullstellen von f’(x) in f’’(x) einsetzen
  5. Intervalle benennen
  6. Ergebnis bestimmen
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Frage

Mit welchen Schritten bestimmt man das Monotonieverhalten ohne der zweiten Ableitung?

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Antwort

  1. f’(x) berechnen
  2. f’(x) = 0, NS von f’(x) berechnen
  3. Intervalle benennen
  4. Monotonie Tabelle aufstellen
  5. Vorzeichen der Intervalle berechnen
  6. Ergebnis interpretieren
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Frage

Zu untersuchen sei das Monotonieverhalten der Funktion f(x) = x² mithilfe der 2.Ableitung.

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Antwort

Da es bei x= 0 einen Tiefpunkt gibt, fällt die Funktion von -∞ bis zu diesem Punkt. 

Es gilt: (-∞; 0) : streng monoton fallend

Rechts vom Tiefpunkt dagegen steigt die Funktion. Also gilt: (0; +∞): streng monoton steigend.

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Frage

Zu Untersuchen ist das Monotonieverhalten der Funktion f(x) = -x² mithilfe der 2.Ableitung.

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Antwort

Da es bei x= 0 einen Hochpunkt gibt, steigt die Funktion von -∞ bis zu diesem Punkt. 

Es gilt: (-∞; 0) : streng monoton steigend. 

Rechts vom Tiefpunkt dagegen steigt die Funktion. Also gilt: (0; +∞): streng monoton fallend.

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Frage

Wie werden Polstellen in der Monotonie Bestimmung behandelt ?

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Antwort

Zur Festlegung der Intervalle müssen neben den Nullstellen der 1.Ableitung auch die Polstellen einer Funktion berücksichtigt werden.

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Frage

Was sind die Pro Argumente für Verfahren 1 (mit 2.Ableitung)?

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Antwort

  • wenn 2. Ableitung später gebraucht wird z.B. für Extrema oder WP
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Frage

Welche Verfahren gibt es zur Monotonie Bestimmung?

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Antwort

  • Verfahren 1: mithilfe der 2.Ableitung
  • Verfahren 2: ohne der 2.Ableitung
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Frage

Was sind die Pro Argumente für Verfahren 2 ?

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Antwort

  • wenn 2. Ableitung später nicht gebraucht wird.
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