Quadratische Ergänzung

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In diesem Artikel erklären wir dir, was es mit der Quadratischen Ergänzung auf sich hat und zeigen dir anhand von Beispielaufgaben, wie du garantiert zum richtigen Ergebnis kommst. Dieser Artikel gehört zum Fach Mathematik und erweitert das Thema Kurvendiskussion.


ZUM AUSWENDIGLERNEN: Am Ende dieser Zusammenfassung findest du "Das Wichtigste auf einen Blick!" zu Quadratische Ergänzung. Alles, was du dazu wissen musst, auf einem Sheet!  



Was ist die Quadratische Ergänzung? 


Du benutzt die Quadratische Ergänzung zum Lösen von quadratischen Gleichungen in allgemeiner Form [f(x) = ax² + bx + c]. Ziel der Quadratischen Ergänzung ist es quadratische Gleichungen in Scheitelform zu bringen durch die Anwendung der ersten und zweiten Binomischen Formeln. Die Quadratische Ergänzung ist deshalb ein nützliches mathematisches Verfahren um Scheitelpunkte, Extremwerte oder Nullstellen von kniffligen Funktionen zu berechnen.



Wann benutzt man eine Quadratische Ergänzung?



Nehmen wir beispielsweise den quadratischen Term 2x² +8x - 5. Mit dieser Form kannst du auf den ersten Blick keine Aussagen bezüglich des Scheitelpunktes einer solchen Funktion treffen. Durch Umformen lässt sich jedoch derselbe Term auch in Scheitelform ausdrücken 2(x+2)² - 13. Aus dieser Form kann man den Scheitelpunkt der Funktion sofort ablesen und im nächsten Schritt einfach die Nullstellen bestimmen. Die Quadratische Ergänzung beschreibt genau die Schritte die nötig sind um auf die Scheitelform zu kommen. Wie diese Schritte genau aussehen erfahrt ihr jetzt.



 

Worauf muss ich bei der Quadratischen Ergänzung achten? 

 

Wichtig ist, dass ihr sofort erkennt wann und wie ihr Terme ausklammern könnt um die 1. sowie die 2. Binomische Formel gezielt anwenden zu können. Wer mit den Binomischen Formeln gut umgehen kann, wird auch mit der Quadratischen Ergänzung keine Probleme haben.

 

Um am Besten zu verstehen wie die Anwendung einer Quadratischen Ergänzung konkret aussieht gibt es jetzt ein kleines Beispiel:


Gegeben ist die Funktion: f(x) = 2x² - 12x + 22. Du willst diese quadratische Funktion in Scheitelform bringen, um beispielsweise den Scheitelpunkt dieser Funktion ablesen zu können.


Im ersten Schritt wird der Leitkoeffizient ausmultipliziert und die sogenannte “Nullergänzung” vorgenommen. 

(damit a² - 2ab + b² entsteht und “zum Ausgleich” [-2⋅9] (9 mit Faktor vor der Klammer))


f(x) = 2x² - 12x + 22=2(x² - 6x + 9) + 22 - 2⋅9

     

Im zweiten Schritt wird die 2. Binomische Formel benutzt um den Term in Scheitelform zu bringen.


f(x) = 2x² - 12x + 22=2(x² - 6x + 9) + 22 - 2⋅9 = 2(x - 3)² + 4


Zum Abschluss könnt ihr sofort den x-Wert des Scheitelpunkts dieser Funktion ablesen (hier: ).

 

Um die zwei erklärten Schritte des Beispiels auch nachvollziehen zu können müsst ihr wissen, wie quadratische Funktionen definiert sind. Wichtig ist auch, dass ihr wisst wie der Graph einer solchen Funktion aussieht. Ein solcher Graph wird auch Parabel genannt. Deshalb seht ihr jetzt die wichtigsten Punkte zum Thema quadratische Funktionen auf einen Blick.

 

Was ist eine Quadratische Funktionen?

 

Eine quadratische Funktion ist eine ganzrationale Funktion zweiten Grades. Die einfachste Form ist die Normalparabel welche durch f(x) = x² definiert ist. Das Wichtigste im Überblick:

 Quelle: STARK: Mathematik auf einen Blick! Funktionen -> Funktionsklassen

 

Wichtig ist das ihr ein Verständnis dafür entwickelt was die Eigenschaften von Parabeln sind um nachvollziehen zu können warum wir die Quadratische Ergänzung anwenden um Funktionen in Scheitelform auszudrücken. Mit Hilfe der Scheitelform seht ihr auf den ersten Blick ob Parabeln nach oben oder nach unten geöffnet sind (U-Form oder ∩-Form).

 

Multipliziert man die Scheitelform aus, so ergibt sich die allgemeine Form einer quadratischen Funktion. 

 


Quadratische Ergänzung - Anwendung und Übung 

 

Das generelle Vorgehen bei der Quadratischen Ergänzung wurde euch bereits in einem kurzen Beispiel veranschaulicht. Um euch das Vorgehen beim Umformen von mathematischen Termen step by step zu zeigen starten wir jetzt mit dem ersten Funktionsbeispiel.

 

Funktionsbeispiel 1 


Gegeben ist die quadratische Funktion in allgemeiner Form: f(x) = x² + 14x + 38

 

Step 1: Um in den Folgeschritten die ersten Binomische Formel anwenden zu können muss der Mischterm halbiert werden: 

14x = 2⋅7x.

 

f(x) = x² + 14x + 38 = x² + 2⋅7x + 38

 

Step 2: Um in den Folgeschritten die ersten Binomische Formel anwenden zu können muss der Term quadratisch mit  +7² und -7² erweitert werden (“Nullergänzung”).

 

f(x) = x² + 2⋅7x + 38 = x² + 2⋅7x + 7² - 7² + 38

  

Step 3: Um den Term zu vereinfachen, fassen wir zusammen indem wir -7² mit +38 verrechnen: -7² + 38 = -11.

 

f(x) = x² + 2⋅7x + 7² - 7² + 38 = x² + 2⋅7x + 7² - 11

 

Step 4: Jetzt wird der Term durch die Anwendung der ersten Binomischen Formel in Scheitelform gebracht (1. Binomische Formel: x² + 2⋅7x + 7² = (x + 7)²).

 

f(x)= x² + 2⋅7x + 7² - 11 = (x + 7)² - 11   

 

Mit Hilfe dieser vier Schritte kannst du ohne großen Aufwand knifflige quadratische Funktionen in Scheitelform bringen. Im Anschluss lässt sich auch der x-Wert des Scheitelpunktes ganz einfach ablesen (hier: ) und es zeigt sich auf den ersten Blick das die Funktion die graphische Form einer U-förmigen Parabel besitzt (“nach oben geöffnet”).

 

Natürlich ist manchmal nicht sofort offensichtlich wo und wann ich die erste oder die zweite Binomische Formel anwenden kann. Deshalb bekommt ihr im nächsten Beispiel eine etwas kniffligere quadratische Funktion gezeigt. 

 



Funktionsbeispiel 2 

 

Gegeben ist die quadratische Funktion in allgemeiner Form: f(x) = -x² + 3x - 7

 

Step 1: Um in den Folgeschritten die zweite Binomische Formel anwenden zu können muss der Leitkoeffizient ausgeklammert werden (Leitkoeffizient ist hier -1 -> Immer die Zahl vor x²).

 

f(x) = -x² + 3x - 7 = -1 ⋅(x² - 3x) - 7

 

Step 2: Um in den Folgeschritten die zweite Binomische Formel anwenden zu können, muss der Mischterm halbiert werden: -3x = -2⋅1,5x.


 f(x) = -1 ⋅(x² - 3x) - 7 = -(x² - 2⋅1,5x) - 7

 

Step 3: Um in den Folgeschritten die zweite Binomische Formel anwenden zu können muss der Term quadratisch mit +(1,5)² und -(1,5)² erweitert werden (“Nullergänzung”).

 

f(x) = -(x² - 2⋅1,5x) - 7 = -(x² - 2⋅1,5x + (1,5)² - (1,5)²) - 7

 

Step 4: Um den Term zu vereinfachen multiplizieren wir aus und fassen zusammen indem wir - (1,5)² vor die Klammer bringen.

 

f(x) =  -(x² - 2⋅1,5x + (1,5)² - (1,5)²) - 7 = -(x² - 2⋅1,5x + (1,5)²) + (1,5)² - 7

 

Step 5: Jetzt wird der Term durch die Anwendung der zweiten Binomischen Formel in Scheitelform gebracht und vereinfacht.

 

f(x) = -(x² - 2⋅1,5x + (1,5)²) + (1,5)² - 7 = -(x - 1,5)² -

 

Mit Hilfe dieser fünf Schritte kannst du auch noch so komplizierte quadratische Funktionen in Scheitelform bringen. Lass dich dabei von Brüchen nicht irritieren. Grundsätzlich ist das Vorgehen immer dasselbe. Im Anschluss lässt sich auch der x-Wert des Scheitelpunktes ganz einfach ablesen (hier: ) und es zeigt sich auf den ersten Blick das die Funktion die graphische Form einer ∩-förmigen Parabel besitzt (“nach unten geöffnet”).


 

Gratuliere! Du bist jetzt Experte, was das Umformen von quadratischen Termen betrifft und dir werden einige mathematische Operationen, die im weiteren Verlauf deiner Schulausbildung oder deines Studiums auf dich zukommen werden mit Sicherheit leichter fallen!



Wann benutzt man die PQ-Formel und wann die Quadratische Ergänzung?


Mit der PQ-Formel oder der Mitternachtsformel lassen sich ebenfalls die Scheitelpunkte mit ihren Koordinaten bestimmen. Sie dienen als Alternativen und können auch zur Berechnung der Nullstellen verwendet werden.



Quadratische Ergänzung - Alles Wichtige auf einen Blick 


Die Quadratische Ergänzung ist ein Hilfsmittel zur Ermittlung der Scheitelform einer quadratischen Funktion und bezieht sich auf das Umformen von quadratischen Termen.


Hier ist eine Checkliste, mit der du Schritt für Schritt deinen Weg zur Scheitelform von quadratischen Funktionen durch die Anwendung der Quadratischen Ergänzung überprüfen kannst.

 

  • Step 1: Ausgangsform der quadratischen Funktion ist die allgemeine Form
  • Step 2: Ausklammern des Leitkoeffizienten und Halbierung des Mischterms
  • Step 3: Quadratische Erweiterung des Terms durch die sogenannte “Nullergänzung”
  • Step 4: Umformen des mathematischen Terms durch die Anwendung der 1. oder der 2. Binomischen Formel
  • Step 5: Durch Ausmultiplizieren erhält man die Scheitelform der quadratischen Funktion

 

Glückwunsch, jetzt hast du den schwierigsten Teil geschafft. Du weißt jetzt wie du die Quadratische Ergänzung richtig anwendest und damit umzugehen hast.

  


INSIDER HINT

 


Hey, cool das du dich für das Thema Quadratische Ergänzung interessierst! Wusstest du, dass du bei Parabeln den X-Wert des Scheitelpunkts mit nur einem Blick und ohne Rechenaufwand bestimmen kannst? Das Geheimnis: Bringe quadratische Funktionen in Scheitelform. 

Wir haben noch viele weitere spannende Artikel rund um die Kurvendiskussion wie zu den Themen Nullstellen berechnen, Extremstellen und Ableitungsregeln. Schau doch mal vorbei!


 

 


Finales Quadratische Ergänzung Quiz

Frage

Was beschreibt die Ableitung im Allgemeinen?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Ableitung einer Funktion entspricht in jedem Punkt der Steigung
der Tangente an den Graphen der Funktion und wird deshalb als Grenzwert der Sekantensteigung bestimmt.

Die Ableitung einer Funktion entspricht in jedem Punkt der Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion und wird deshalb als Grenz- wert der Sekantensteigung bestimmt.

Frage anzeigen

Frage

Was sind Trigonometrische Funktionen?

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Antwort

Trigonometrische Funktionen sind Winkelfunktionen (bzw. Kreisfunktionen), die jedem Winkel α einen entsprechenden Funktionswert zuordnen.

Frage anzeigen

Frage

Wie muss der Taschenrechner bei Berechnung von trigonometrischen Funktionen für Gradmaß und für Bogenmaß eingestellt werden?

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Antwort

Bei Berechnung von konkreten Funktionswerten, muss der Taschenrechner auf den entsprechenden Modus eingestellt werden, d. h. DEG für das Gradmaß und RAD für das Bogenmaß.

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Frage

Wie lautet die Ableitungsregel für die Sinusfunktion?

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Antwort

f(x) = sin x

f '(x) = cos x

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die Ableitungsregel für die Kosinusfunktion?

Antwort anzeigen

Antwort

f(x) = cos x

f '(x) = – sin x

Frage anzeigen

Frage

Wann muss die Ableitungsregel von cos/sin/tan mit der Kettenregel kombiniert werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn die Variable x nicht alleine/ nicht mit Faktor 1 steht.

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Frage

Wann muss die Ableitungsregel mit der Kettenregel kombiniert werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Variable x darf in diesem Fall nur alleine stehen bzw. mit Faktor 1. Andernfalls muss diese Ableitungsregel mit der Kettenregel kombiniert werden.

Frage anzeigen

Frage

Was gilt bei Verknüpfungen von Funktionen?

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Antwort

Bei Verknüpfungen von Funktionen gelten zusätzlich alle weiteren bekannten

Differenziationsregeln.

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Frage

Inwiefern sind Logarithmusfunktionen differenzierbar?

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Antwort

Die Logarithmusfunktionen sind auf ihrem gesamten Definitionsbereich R+ differenzierbar.

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Frage

Wie lautet die natürliche Logarithmusfunktion?

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Antwort

f(x)= ln x

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Frage

Welche Nullstelle besitzt die natürlich Logarithmusfunktion?

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Antwort

Die ln-Funktion hat eine Nullstelle bei x = 1.

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Frage

Was versteht mann unter der Betragsfunktion von f(x)?

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Antwort

Unter der Betragsfunktion von f(x) versteht man die Funktion | f(x) | .

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Frage

Wie entsteht der Graph der Betragsfunktion | f(x) |?

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Antwort

Der Graph der Betragsfunktion |f(x)| entsteht aus dem Graphen der Funktion f(x), indem alle unterhalb der x-Achse liegenden Teile des Graphen an der x-Achse nach oben gespiegelt werden.

Frage anzeigen

Frage

Was gibt eine Nullstellen des Nenners v(x) einer gebrochenrationalen Funktion noch an?

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Antwort

Nullstellen des Nenners v(x) sind Definitionslücken und mögliche
Polstellen der Funktion f.

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Frage

Wann ist eine Nullstellen des Zählers u(x) eine Nullstelle der gebrochenrationalen Funktion?

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Antwort

Eine Nullstelle des Zählers ist nur dann Nullstelle der Funktion f, wenn sie nicht zugleich Nullstelle des Nenners ist.

Frage anzeigen

Frage

Wann ist eine Nullstelle des Nenners eine Polstelle?

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Antwort

  • Falls x0 keine Nullstelle des Zählers ist oder
  • x0 zugleich Nullstelle des Zählers und die Vielfachheit der Nullstelle
    im Nenner größer als die Vielfachheit der Nullstelle im Zähler ist.
Frage anzeigen

Frage

Wie können Nullstellen einer ganzrationalen Funktion ermittelt werden?

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Antwort

Z.B durch Linearfaktorzerlegung

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