Polynomdivision

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In diesem Artikel erklären wir dir, was es mit der Polynomdivision auf sich hat und zeigen dir anhand von Beispielaufgaben, wie du garantiert zum richtigen Ergebnis kommst. Dieser Artikel gehört zum Fach Mathematik und erweitert das Thema Kurvendisskussion.


Was ist Polynomdivision?

Bei der Polynomdivision, auch Partialdivision genannt, handelt es sich um ein mathematisches Verfahren zur Division von polynomiellen Funktionen. Das bedeutet im Klartext, ein Polynom wird durch ein anderes geteilt.


Wozu brauchen wir die Polynomdivision?

Polynomdivision kann in der Mathematik ein großes Problem lösen: nämlich die Berechnung von Nullstellen bei Polynomen, die eine höhere Potenz besitzen als .


Nicht vergessen: für die Berechnung der Nullstellen von -Funktionen können wir die PQ-Formel oder die Mitternachts-/ABC-Formel anwenden!


Da nun aber beispielsweise ein Polynom 3. Grades (die größte Potenz ist ) zu „groß“ für diese Formeln ist, müssen wir einen Umweg nehmen, um dessen Schnittpunkte mit der x-Achse herauszufinden.


Das Prinzip

Das Ziel der Partialdivision ist es, die Nullstellen eines Polynoms 3. oder höheren Grades zu ermitteln.


WICHTIG! Bei einem Polynom 3. Grades muss eine Nullstelle der Funktion bereits gegeben sein, um die restlichen beiden mithilfe der Polynomdivision zu bestimmen.


Aber keine Sorge: in der Schule ist diese Nullstelle meistens angegeben. Und wenn nicht? Versuch mal ein paar willkürliche Zahlen oder die 0 in deine Funktion einzusetzen. Wenn dadurch der Funktionswert „0“ herauskommt, hast du die erste Nullstelle deines Polynoms gefunden.


Nicht vergessen: Ein Polynom n-ten Grades (also ein Polynom, bei dem  die höchste Potenz ist) hat maximal n Nullstellen.

Wofür du diese erste Nullstelle brauchst, kannst du in dem folgenden Funktionsbeispiel 1 erkennen.


Funktionsbeispiel 1



Da du durch eine Polynomdivision alle Nullstellen dieser Funktion herausfinden willst, musst du dir als erstes überlegen, wodurch die deine Funktion eigentlich teilen möchtest. Hier kommt die erste Nullstelle ins Spiel. Am besten teilst du nämlich immer durch den sogenannten Linearfaktor der gegebenen Nullstelle. Das heißt du teilst dein Polynom durch einen Term, der, mit dem Ergebnis der Polynomdivision multipliziert, bei Einsetzen der Nullstelle immer 0 ergibt.


Den 1. Linearfaktor deiner Funktion ermittelst du, indem du einen Term in der Form (x ± a) konstruierst und a so bestimmst, dass beim Einsetzten der Nullstelle für x der Term 0 wird.


In diesem Beispiel lautet der Linearfaktor (x + 2), denn wenn du nun die erste Nullstelle (-2) für x einsetzt erhältst du:
((-2) + 2) = 0


Visuell betrachtet: Wir wandeln bei der Polynomdivision eine -Funktion in ein Polynom 2. Grades um, deren Nullstellen mit den gesuchten Nullstellen der -Funktion übereinstimmen. Von diesem Polynom kannst du anschließend die Nullstellen mithilfe der PQ-Formel oder Mitternachtsformel berechnen.


Der Rechenweg – Verwandtschaft mit der schriftlichen Division

Die schriftliche Division kennst du bestimmt noch aus der Grundschule. Um dein Gedächtnis jedoch noch einmal aufzufrischen, folgt hier eine kurze „Anleitung“.


Beispielaufgabe zur schriftlichen Division



  1. Überlege dir: welches ist die nächsthöhere Zahl im Zähler (von links nach rechts), verglichen mit dem Nenner? 4 ist nicht größer als 19, aber 47 schon.

  2. Teile nun 47 : 19 nach dem Restprinzip. Also: wie oft passt die 19 im Ganzen in die 47? Das Ergebnis trägst du hinter dem „=“ ein. (3 · 19 = 57 > 47 und wäre damit zu viel)



  3. Nun rechnest du rückwärts: 2 · 19 = 38. Das Ergebnis notierst du unter der 47 und subtrahierst das ganze schriftlich wie hier gezeigt, sodass du den Rest erhältst:



  4. Als nächstes ziehst du dir die nächste Zahl nach der 47 runter, indem du sie neben den Rest schreibst:



  5. Beginne nun wieder bei Schritt 2, indem du 95 durch 19 nach dem Restprinzip teilst und dann das Ergebnis (5) rückwärts mit 19 multipliziert.



  6. Am Ende sollte das Ganze folgendermaßen aussehen.



Tipp: vergiss nicht, die Null am Ende mit hinunterzuziehen, auch wenn du vorher ein Ergebnis ohne Rest erhalten hast! Ansonsten kriegst du ein falsches Ergebnis.


Wenn du diese Schritte verstanden hast, können wir mit dem eigentlichen Thema beginnen: der Polynomdivision!


Polynomdivision – Schritt für Schritt am Beispiel!

Das Prinzip der schriftlichen Division nutzen wir nun für die Polynomdivision. Der einzige Unterschied: statt ganzen Zahlen teilst du jetzt ganze Terme durcheinander. Kommen wir dafür zurück zu der Funktion aus dem Funktionsbeispiel 1:

Rechenbeispiel zur Polynomdivision



  1. Teile zunächst das 1. Element des 1. Terms (hier: ) durch das 1. Element des 2. Terms (hier: x). Als Ergebnis erhältst du das 1. Element des gesuchten Polynoms. Schreib dies wie bei der schriftlichen Division hinter das „=“.



  2. Nun rechnest du rückwärts, indem du das Ergebnis mit dem gesamten 2. Term (x + 2) multiplizierst und das Ergebnis dieser Rechnung unter den 1. Term schreibst.



    Tipp: stell dir vor, in dem 1. Term stünde:

  3. Beginne nun wieder bei Schritt 1, indem du das 1. Element des neuen Terms  durch das 1. Element des 2. Terms teilst und das Ergebnis dieser Rechnung oben rechts notierst:



  4. Nach diesem Schema wird solange vorgegangen, bis unten eine Null steht. Das Endergebnis sollte folgendermaßen aussehen:


Ob dieses Ergebnis stimmt, können wir leicht durch eine Probe testen:


 → stimmt!


Frage: Was ist, wenn am Ende meiner Division keine Null steht? Wenn dies der Fall ist solltest du zwei Sachen überprüfen:

  1. Hast du alle Rechenschritte korrekt ausgeführt? Prüfe insbesondere die Vorzeichen!

  2. Ist der Linearfaktor, durch den du geteilt hast auch wirklich eine Nullstelle deines Ursprungspolynoms? Überprüfe dies, indem du die aus dem Linearfaktor resultierende Nullstelle in das ursprüngliche Polynom einsetzt. Wenn du dies nun ausrechnest, sollte dabei am Ende „0“ herauskommen.


Anschließende Nullstellenberechnung

Da du die Nullstellen deines Polynoms richtig bestimmen möchtest, ist Folgendes sehr hilfreich: Die Nullstellen der neuen Potenzfunktion, die du erhalten hast, stimmen mit den zwei gesuchten des ursprünglichen Polynoms überein. Somit musst du lediglich mithilfe der Mitternachtsformel deren Nullstellen berechnen.


Die Mitternachtsformel lautet:


 für ein Polynom der Form:


Durch Einsetzen erhältst du für a = 4, b = (-8), c = 3:


 


Probe:


f(x) = (x + 2) (x – 0,5) (x - 1,5) sollte nun ausmultipliziert ein elffaches des ursprünglichen Polynoms ergebe, in diesem Fall . Wenn man dieses Ergebnis mit 4 multipliziert, erhält man , also unser Polynom 3. Grades.


Merke: Wenn du eine Funktion mit einer reellen Zahl multiplizierst, veränderst du dadurch nicht ihre Nullstellen.


Übrigens: Ob du die PQ-Formel oder die Mitternachtsformel zur Nullstellenberechnung nutzt, ist zwar theoretisch egal, praktisch gesehen kannst du dich aber  an dem Folgenden orientieren:


  • Dein Polynom hat die Form , also den Faktor 1 vor dem : Nutze die PQ-formel
  • Dein Polynom hat die Form , also einen beliebigen anderen Faktor vor dem : Nutze die Mitternachts-/ABC-Formel


Deine Ultimative Checkliste

Hast du alles verstanden? Hier ist eine Checkliste, mit der du Schritt für Schritt deinen Weg zur Nullstellenberechnung mithilfe der Polynomdivision überprüfen kannst.


  • Polynom 3. Grades, für das die Nullstellen gesucht werden, notieren
  • Erste Nullstelle notieren – falls nicht gegeben, durch Ausprobieren ermitteln
  • Linearfaktor für die erste Nullstelle konstruieren
  • Polynomdivision durchführen
  • Nullstellen des Lösungspolynoms mithilfe der PQ-/Mitternachtsformel berechnen


Fertig! Glückwunsch, du hast erfolgreich eine Nullstellenberechnung durch Polynomdivision durchgeführt!


Sonderfall: Polynomdivision bei Funktionen 4. Grades und höher

Solltest du alle Nullstellen einer Funktion 4. Grades oder höher berechnen müssen, benötigst du alle Nullstellen dieser Funktion, mit Ausnahme der letzten zwei. Dann kannst du deine Funktion Schritt für Schritt durch Polynomdivision in kleinere Teile aufbrechen, bis du eine quadratische Funktion erhältst.


Unsere Empfehlung

Falls du dich auch nach diesem Artikel noch nicht mit dem Thema wohlfühlen solltest, empfehlen wir dir, dich zunächst mit den Themen Funktionen und Polynome zu befassen. Es kann besonders helfen, einzelne Polynome durch Einsetzen der x-Werte zu skizzieren. So bekommst du ein Gefühl für Zusammenhänge wie Nullstellen und die Gleichungsform. Sieh dir gerne auch Themen wie Nullstellenform, Scheitelpunktsform und Allgemeine Form an. Und nicht vergessen: Übung macht den Meister!


Zusammenfassung

Die Polynomdivision ist ein Hilfsmittel zur Ermittlung aller Nullstellen von Polynomen 3. Grades oder höher und funktioniert nach demselben Prinzip wie die schriftliche Division.












Finales Polynomdivision Quiz

Frage

Wie wird die Polynomdivision noch genannt?

Antwort anzeigen

Antwort

 Partialdivision

Frage anzeigen

Frage

Wozu brauchen wir die Polynomdivision?

Antwort anzeigen

Antwort

Zur Berechnung von Nullstellen bei Polynomen, die eine höhere Potenz besitzen als x²

Frage anzeigen

Frage

Was muss gegeben sein um die Polynomdivision anzuwenden?

Antwort anzeigen

Antwort

Bei einem Polynom 3. Grades muss eine Nullstelle der Funktion bereits gegeben sein, um die restlichen beiden mithilfe der Polynomdivision zu bestimmen.

Frage anzeigen

Frage

Woher weiß ich, wie viele NS ein Polynom besitzt?

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Antwort

Ein Polynom n-ten Grades (also ein Polynom, bei dem die höchste Potenz ist) hat maximal n Nullstellen

Frage anzeigen

Frage

Wie wende ich die Polynomdivision an?

Antwort anzeigen

Antwort

  1. Linearfaktor mit gegebenen NS bestimmen.
  2.  Funktion durch Linearfaktor teilen.
  3. Herauskommenden Term mit pq- oder abc-Formel lösen und NS bestimmen.
Frage anzeigen

Frage

Wozu brauchen wir den Linearfaktor?

Antwort anzeigen

Antwort

Den 1. Linearfaktor deiner Funktion ermittelst du, indem du einen Term in der Form (x ± a) konstruierst und a so bestimmst, dass beim Einsetzten der Nullstelle für x der Term 0 wird. Er wird bestimmt mit der ersten gegeben NS. Er wird benutzt in der Polynomdivision.

Frage anzeigen

Frage

Wende die Polynomdivision an: f(x) = (4 x³ – 13 x + 6) : (x + 2) = ?

Antwort anzeigen

Antwort

4x² - 8x + 3

Frage anzeigen

Frage

Ist eine Polynomdivision bei Funktionen 4. Grades und höher möglich?

Antwort anzeigen

Antwort

Ja, man benötigt alle Nullstellen dieser Funktion, mit Ausnahme der letzten zwei. Dann kann die Funktion Schritt für Schritt durch Polynomdivision in kleinere Teile aufgebrochen werden, bis man eine quadratische Funktion erhält.

Frage anzeigen

Frage

Berechne mithilfe der Polynomdivision x³-6x²-x+6/ (x-1) = ?

Antwort anzeigen

Antwort

x² -5x -6

Frage anzeigen

Frage

Berechne mithilfe der Polynomdivision: x³-3x²-10x+24/(x-2)=?

Antwort anzeigen

Antwort

x²-x-12

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Frage

Berechne mithilfe der Polynomdivision: 4x³-5x²-4x-4/ (x-2) =?

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Berechne mithilfe der Polynomdivision:

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Berechne mithilfe der Polynomdivision:

Antwort anzeigen

Antwort


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Frage

Berechne mithilfe der Polynomdivision:

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Antwort


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Frage

Berechne mithilfe der Polynomdivision:

Antwort anzeigen

Antwort


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