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Monotonieverhalten

Frage

Gebe an ob die folgenden Funktionen Polstellen besitzen. Falls ja, wo liegen diese?


a. 3x / (-5x - 1)

b. (3x - 1) / (3x - 1)

c. (3x + 1) / (2x + 1)

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Antwort

a. Ja - Polstelle bei x = -0,2

b. Nein

c. Ja - Polstelle bei x = -0,5

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Frage

Gebe an ob die folgenden Funktionen Polstellen besitzen. Falls ja, wo liegen diese?


a. x / (5x - 15)

b. (3x - 30) / (x - 10)

c. (x + 1) / (2x + 1)

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Antwort

a. Ja - Polstelle bei x = 3

b. Nein

c. Ja -  Polstellle bei x = -0,5

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Frage

Was erfährt man durch das Monotonieverhalten?

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Antwort

Das Monotonieverhalten einer Funktion teilt dir mit, in welchem Bereich der Graph der Funktion steigt oder fällt.

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Frage

Wie ist das Monotonieverhalten definiert?

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Antwort

  • Die Funktion f ist streng monoton steigend, wenn f’(x) > 0 gilt. 
  • Die Funktion f ist streng monoton fallend, wenn f’(x) < 0 gilt.
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Frage

Mit welchen Schritten bestimmt man das Monotonieverhalten mithilfe der zweiten Ableitung?

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Antwort

  1. f’(x) berechnen
  2.  f’(x) = 0, Nullstellen von f’(x) berechnen
  3. f’’(x) berechnen
  4. Nullstellen von f’(x) in f’’(x) einsetzen
  5. Intervalle benennen
  6. Ergebnis bestimmen
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Frage

Mit welchen Schritten bestimmt man das Monotonieverhalten ohne der zweiten Ableitung?

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Antwort

  1. f’(x) berechnen
  2. f’(x) = 0, NS von f’(x) berechnen
  3. Intervalle benennen
  4. Monotonie Tabelle aufstellen
  5. Vorzeichen der Intervalle berechnen
  6. Ergebnis interpretieren
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Frage

Zu untersuchen sei das Monotonieverhalten der Funktion f(x) = x² mithilfe der 2.Ableitung.

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Antwort

Da es bei x= 0 einen Tiefpunkt gibt, fällt die Funktion von -∞ bis zu diesem Punkt. 

Es gilt: (-∞; 0) : streng monoton fallend

Rechts vom Tiefpunkt dagegen steigt die Funktion. Also gilt: (0; +∞): streng monoton steigend.

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Frage

Zu Untersuchen ist das Monotonieverhalten der Funktion f(x) = -x² mithilfe der 2.Ableitung.

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Antwort

Da es bei x= 0 einen Hochpunkt gibt, steigt die Funktion von -∞ bis zu diesem Punkt. 

Es gilt: (-∞; 0) : streng monoton steigend. 

Rechts vom Tiefpunkt dagegen steigt die Funktion. Also gilt: (0; +∞): streng monoton fallend.

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Frage

Zu Untersuchen ist das Monotonieverhalten der Funktion f(x) =x² ohne der 2.Ableitung

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Frage

Zu Untersuchen ist das Monotonieverhalten der Funktion f(x) = -x² ohne der 2.Ableitung.

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Frage

Wie werden Polstellen in der Monotonie Bestimmung behandelt ?

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Zur Festlegung der Intervalle müssen neben den Nullstellen der 1.Ableitung auch die Polstellen einer Funktion berücksichtigt werden.

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Frage

Gegeben sei die Funktion . Bei x= -1 hat die Funktion eine Polstelle. Die Nullstellen der ersten Ableitung sind: x1 = -2 und x2 = 0. Bestimme die Intervalle.

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Antwort

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Frage

Was sind die Pro Argumente für Verfahren 1 (mit 2.Ableitung)?

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Antwort

  • wenn 2. Ableitung später gebraucht wird z.B. für Extrema oder WP
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Frage

Welche Verfahren gibt es zur Monotonie Bestimmung?

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Antwort

  • Verfahren 1: mithilfe der 2.Ableitung
  • Verfahren 2: ohne der 2.Ableitung
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Frage

Was sind die Pro Argumente für Verfahren 2 ?

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Antwort

  • wenn 2. Ableitung später nicht gebraucht wird.
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Frage

Ein Funktionsverlauf steigt durchgehend von links unten nach rechts oben. Wie nennt man dies?

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Antwort

streng monoton steigend

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Frage

Ein Funktionsverlauf steigt durchgehend von links oben nach rechts unten. Wie nennt man dies?

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Antwort

streng monoton fallend

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