Mitternachtsformel

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Mit der Mitternachtsformel kannst du eine quadratische Gleichung der Form genauer untersuchen. Du kannst sie auch verwenden, um die Nullstellen zu berechnen. Dieser Artikel zur Mitternachtsformel kann dem Fach Mathematik und genauer dem Unterthema Kurvendiskussion zugeordnet werden.



ZUM AUSWENDIG LERNEN: Am Ende der Zusammenfassung findest du "Das Wichtigste auf einen Blick!" zum Thema "Mitternachtsformel". Alles, was du dazu wissen musst, auf einem Cheat Sheet!  



F√ľr was benutzen wir die Mitternachtsformel?¬†


Du benutzt die Mitternachtsformel, auch bekannt als abc-Formel, zum Lösen quadratischer Gleichungen der allgemeinen Form. Nach dem Auflösen dieser Gleichung, erhältst du eine Lösungsmengedieser Funktion. Die Lösungsmenge gibt die Nullstellen der Gleichung an. Nullstellen sind die Punkte, an denen die Funktion die x-Achse im Koordinatensystem schneiden.


Wie geht die Mitternachtsformel? 


F√ľr die Mitternachtsformel muss uns die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung gegeben sein:


                   


Diese setzten wir dann in die Mitternachtsformel ein:


         


Wir unterscheiden zwei Fälle:


       



Die Anzahl der Lösungen, also ob eine quadratische Gleichung eine, zwei oder keine Lösungen hat, können wir auch an der Diskriminante ablesen. Die Diskriminante ist das, was unter der Wurzel steht ().


  • > 0: zwei L√∂sungen
  • < 0: eine L√∂sung
  • = 0: keine L√∂sung



Allgemeine Vorgehensweise f√ľr die Anwendung der abc-Formel


Um die L√∂sungsmenge bzw. die Nullstellen der quadratischen Funktionen festzustellen, wendest du die folgenden Schritte nacheinander an. Du kannst sie f√ľr jede quadratische Gleichung in der allgemeinen Form anwenden.


  1. Die quadratische Gleichung in die allgemeine Form bringen.
  2. a, b und c aus der Formel herauslesen.
  3. a, b und c in die Mitternachtsformel einsetzen.
  4. wir erhaltenund können unsere Lösungsmenge aufschreiben


Rechenbeispiele f√ľr die Anwendung dieser Schritte findet ihr unten!¬†



Sonderfälle der Mitternachtsformel 


Was machen wir, wenn unsere Funktion von der Gemischtquadratischen Form mit Absolutglied ax2+bx+c abweicht? Beispielsweise, wenn die Funktionlautet?


Diese Sonderf√§lle lassen sich nat√ľrlich auch mit der Mitternachtsformel l√∂sen. Meist existieren f√ľr sie allerdings einfachere L√∂sungsverfahren.


Im Folgenden werden die Sonderfälle geschildert und anhand von Beispielen veranschaulicht:


Das quadratische Glied fehlt

Das quadratische Glied a darf nicht 0 sein sonst k√∂nnen wir die Mitternachtsformel nicht anwenden. Das hei√üt es muss immer ein quadratisches Glied vorhanden sein. ¬† a‚Ȇ0. Grund daf√ľr ist, dass wir sonst durch 0 teilen m√ľssten.

Normalform

Bei der Normalform steht das quadratische Glied immer alleine, wird also nicht mit einem Wert multipliziert. Wir verwenden hierbei f√ľr a immer 1 bzw. -1. Bei diesen F√§lle k√∂nnen wir auch gut die pq Formel anwenden.


       

Reinquadratisch mit Absolutglied

Bei einer Reinquadratischen Form mit Absolutglied fehlt das lineare Glied (bx). Wir setzen wir an Stelle von b einfach 0 ein.


       


Gemischtquadratisch ohne Absolutglied

Falls das absolute Glied (c) fehlt, setzen wir an Stelle von c einfach 0 ein.


         


Reinquadratisch ohne Absolutglied

Bei einer reinquadratischen Form ohne Absolutglied fehlen sowohl das lineare Glied (bx) als auch das absolute Glied (c). Hier ersetzen wir beide einfach mit 0. 


       


Doppelte Nullstelle

Falls dann hat die Funktion an dieser Stelle eine doppelte Nullstelle


       


Die Funktion hat eine doppelte Nullstelle bei x = - 2


Beispielaufgaben 


Im Folgenden siehst du, wie du die Gleichung Schritt f√ľr Schritt mit Hilfe der abc-Formel l√∂sen kannst.


1. Die quadratische Gleichung in die allgemeine Form bringen:



2. Wir lesen a, b und c aus der Formel heraus:



Unsere Funktion muss zwei Nullstellen haben, da die Diskriminante > 0 ist:


3. Wir setzen a, b und c in die Mitternachtsformel ein


4. Wir erhalten die Lösungsmenge und können unsere Nullstellen aufschreiben




Somit sind die Nullstellen unserer Gleichung bei


Herleitung der Mitternachtsformel

Es gibt mehrere Wege die Mitternachtsformel herzuleiten. Hier zeigen wir dir die Herleitung mit Hilfe der 1. Binomischen Formel. Diese l√§sst sich in unseren Augen mit den geringsten Vorkenntnissen durchf√ľhren.¬†


  • Um die Mitternachtsformel zu Beweisen starten wir zun√§chst mit einer Gleichung in Gemischtquadratischer Form mit Absolutglied:

        

           


  • Dann subtrahieren wir c um es auf die andere Seite der Gleichung zu verschieben.


           


  • Jetzt multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit 4a.


           


  • Anschlie√üend addieren wir beide Seiten mit.


           


  • Schauen wir nun genau hin, erkennen wir auf der linken Seite der Gleichung die 1. Binomische Formel.
    Zur Erinnerung findest du hier noch mal die 1. Binomische Formel:


           


  • Wir wenden die 1. Binomische Formel nun auf der linken Seite an. Dazu formen wir die linke Seite zun√§chst um und wenden sie dann auf dem neu entstandenen Term an.


           


  • Nun ziehen wir auf beiden Seiten die plus minus Wurzel, um den Exponenten auf der linken Seite zu entfernen.


           


  • Anschlie√üend bringen wir b durch Subtraktion auf die rechte Seite.


           


  • Zuletzt dividieren wir noch durch 2a und erhalten unsere fertige Mitternachtsformel.


           



Wissenswertes rund um die Mitternachtsformel

Wieso heißt die Mitternachtsformel so?

Die Mitternachtsformel heißt so, weil sie sehr wichtig ist. Du solltest sie so gut können, dass du sie sogar aufsagen kannst, wenn man dich um Mitternacht weckt.


Ist PQ-Formel das gleiche wie Mitternachtsformel

Nein, die PQ-Formel unterscheidet sich von der Mitternachtsformel. Wir wenden die PQ-Formel f√ľr Funktionen in Normalform ¬†an.


Zur Erinnerung:
PQ-Formel:


Mitternachtsformel - Das Wichtigste auf einen Blick


  • Mithilfe der Mitternachtsformel kannst du quadratische Gleichungen in der allgemeinen Form ¬†aufl√∂sen.
  • Die L√∂sungsmenge gibt die Nullstellen der Funktion an
  • Die rechte Seite der Gleichung muss 0 sein. Falls das nicht der Fall ist, muss die Gleichung umgeformt werden. (siehe Beispielaufgabe)
  • Die Gleichung kann - je nach Vorzeichen der Diskriminante - zwei, eine oder auch keine L√∂sungen haben
  • Das ‚ÄúRezept‚ÄĚ f√ľr das L√∂sen der Gleichung lautet:

  1. Die quadratische Gleichung in die allgemeine Form bringen
  2. wir lesen a, b und c aus der Formel heraus
  3. wir setzen a, b und c in die Mitternachtsformel ein
  4. wir erhalten  und können unsere Lösungsmenge aufschreiben



Unser Tipp f√ľr Euch


Ich w√ľrde dir empfehlen, deine Nebenrechnungen aufzuschreiben und nicht nur im Kopf zu machen. Vor allem bei komplizierten Termen passieren so schnell Fehler, die du einfach vermeiden kannst.¬†

Au√üerdem kannst du am Ende dein Ergebnis √ľberpr√ľfen. Wenn du dein Ergebnis in deine Funktion einsetzt, muss ‚Äú0‚ÄĚ rauskommen, sonst hast du einen Fehler gemacht. Falls du einen Graphen gegeben hast und f√ľr diesen rechnerisch die Nullstellen nachweisen musst, kannst du dein Ergebnis √ľberpr√ľfen, indem du den Schnittpunkt deines Graphen mit der x-Achse betrachtest. Dieser sollte deinem Rechenergebnis entsprechen.



    

Finales Mitternachtsformel Quiz

Frage

Wie berechnet man eine Nullstelle?

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Antwort

Man erhält sie, indem man den Funktionsterm gleich null setzt, also f(x) = 0, und diese Gleichung nach x auflöst.

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Frage

Welche Verfahren zur Nullstellen Bestimmung gibt es?

Antwort anzeigen

Antwort

Es gibt drei Wege, wie du die NS berechnen kannst:

  • Mit der quadratischen Erg√§nzung
  • Mit der Substitution
  • Mit Ausklammern
Frage anzeigen

Frage

Wie wird die Polynomdivision noch genannt?

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Antwort

 Partialdivision

Frage anzeigen

Frage

Wozu brauchen wir die Polynomdivision?

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Antwort

Zur Berechnung von Nullstellen bei Polynomen, die eine höhere Potenz besitzen als x²

Frage anzeigen

Frage

Was muss gegeben sein um die Polynomdivision anzuwenden?

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Antwort

Bei einem Polynom 3. Grades muss eine Nullstelle der Funktion bereits gegeben sein, um die restlichen beiden mithilfe der Polynomdivision zu bestimmen.

Frage anzeigen

Frage

Wie wende ich die Polynomdivision an?

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Antwort

  1. Linearfaktor mit gegebenen NS bestimmen.
  2.  Funktion durch Linearfaktor teilen.
  3. Herauskommenden Term mit pq- oder abc-Formel lösen und NS bestimmen.
Frage anzeigen

Frage

Wozu brauchen wir den Linearfaktor?

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Antwort

Den 1. Linearfaktor deiner Funktion ermittelst du, indem du einen Term in der Form (x ¬Ī a) konstruierst und a so bestimmst, dass beim Einsetzten der Nullstelle f√ľr x der Term 0 wird. Er wird bestimmt mit der ersten gegeben NS. Er wird benutzt in der Polynomdivision.

Frage anzeigen

Frage

Wende die Polynomdivision an: f(x) = (4 x¬≥ ‚Äď 13 x + 6) : (x + 2) = ?

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Antwort

4x² - 8x + 3

Frage anzeigen

Frage

Ist eine Polynomdivision bei Funktionen 4. Grades und höher möglich?

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Antwort

Ja, man ben√∂tigt alle Nullstellen dieser Funktion, mit Ausnahme der letzten zwei. Dann kann die Funktion Schritt f√ľr Schritt durch Polynomdivision in kleinere Teile aufgebrochen werden, bis man eine quadratische Funktion erh√§lt.

Frage anzeigen

Frage

Berechne mithilfe der Polynomdivision x³-6x²-x+6/ (x-1) = ?

Antwort anzeigen

Antwort

x² -5x -6

Frage anzeigen

Frage

Berechne mithilfe der Polynomdivision: x³-3x²-10x+24/(x-2)=?

Antwort anzeigen

Antwort

x²-x-12

Frage anzeigen
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