Extremstellen

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Hast du gerade das Thema Kurvendiskussion in Mathe und musst die Extremstellen berechnen, weißt aber nicht genau  wie es geht? Dann bist du hier genau richtig: In diesem Artikel wollen wir dir erklären, wie du Schritt für Schritt Extremstellen berechnen kannst. :) Das Thema ist dem Fach Mathematik und genauer dem Unterthema Untersuchen von Funktionen zuzuordnen.




Einstieg Extremstellen - Beispiel 


Wenn du einen Ball senkrecht in die Luft wirfst, hat er am Anfang eine hohe Geschwindigkeit (1). Durch die Gravitationskraft der Erde verzögert sich der Ball und er wird langsamer (2). Irgendwann hat der Ball dann den höchsten Punkt erreicht (3). Die Geschwindigkeit ist dort für einen kurzen Moment gleich null und der Ball legt dann auch keinen Weg zurück. Ab dem Punkt ändert der Ball seine Richtung und der Ball fällt mit zunehmender Geschwindigkeit wieder runter.

Quelle: Mathe-lexikon.at


Die Steigung der Tangente im Weg-Zeit Diagramm ist gleich die Momentangeschwindigkeit zum jeweiligen Zeitpunkt. Hier kannst du erkennen, dass die Steigung der ersten Tangente zum Zeitpunkt t= 0,5s (1) sehr hoch ist, zu t= 1s (2) sinkt und am höchsten Punkt exakt Null ist.

Quelle: Mathe-Lexikon.at


Daraus können wir eine einfache Methode ableiten, um Extremstellen zu ermitteln:


  • Extremstellen einer Funktion f(x) erhältst du, wenn du die 1. Ableitung f’(x) gleich null setzt:

                → f’(x) = 0




Welche Arten von Extremstellen gibt es? 


In der folgenden Abbildung siehst du, dass es drei verschiedene Arten von Extremstellen gibt:

  

                    Hochpunkt                                        Tiefpunkt                                    Sattelpunkt



Hochpunkte


Der Funktionsabschnitt bei Hochpunkten

  • Wächst vor der Extremstelle streng monoton und
  • Fällt nach der Extremstelle streng monoton



Tiefpunkte 


Tiefpunkte sind das Gegenteil zu den Hochpunkten. Deren Funktionsabschnitt

  • Fällt vor der Extremstelle streng monoton
  • Wächst nach der Extremstelle streng monoton


Sattelpunkte


Sattelpunkte sind Sonderfälle:

  • Monotonie vor und nach dem Extrempunkt sind identisch
  • Trotzdem erreicht die Kurve kurz einen Punkt, wo die Steigung gleich Null ist (siehe Abbildung)



Zusammenfassung Extremstellen Arten 


Erkennst du eine Extremstelle an der Stelle x, so handelt es sich:

  • Um einen Hochpunkt, wenn f’’(x) < 0 ist
  • Um einen Tiefpunkt, wenn f’’(x) > 0 ist
  • Möglicherweise um einen Sattelpunkt, wenn f’’(x) = 0  ist


Voraussetzung ist natürlich, dass du die Funktion zweimal ableiten kannst




Wie berechne ich Extremstellen? 


Wenn du folgende Schritte befolgst, kannst du ganz einfach die Extremstellen bestimmen:


1. Ermitteln der Extremstellen

            f’(x) = 0  auflösen


2. Art der Extremstellen ermitteln

            f’’(x) für jede Extremstelle ermitteln und nach der Regel entscheiden, ob es ein Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt ist


3. Funktionswert des Extrempunktes bestimmen

            Um die kompletten Koordinaten für die Extremstelle zu bestimmen, musst du den herausgefunden x-Wert in f(x)                            einsetzen und auflösen.


Anmerkung: Du kannst Schritt 2 und 3 auch mehrmals durchführen, wenn es mehrere Extremstellen gibt.



Beispiel Berechnung Extremstellen 


Polynomfunktionen: 


1. Ableitungen bestimmen:

           


2. Extremwerte ermitteln:

           f´(x) = 0

           2x+2 = 0  /-2

           2x = -2  /:2

           x = -1         Extremwert an der Stelle x = -1


3. Art des Extrempunktes ermitteln:

          f´´(x) = 2

          f´´(-1) = 2 > 0     Die Extremstelle ist ein Tiefpunkt


4. Funktionswert des Extrempunktes ermitteln:

         



Antwort: Die Funktion besitzt einen Tiefpunkt bei T(-1/-2).


Rationale Funktionen:


1. Ableitungen bilden:

           


2. Extremstellen ermitteln:

              Gleichung nicht lösbar


Antwort: Da die Gleichung nicht lösbar ist, gibt es für diese Funktion keine Extremstellen.




Extremstellen - Das Wichtigste auf einen Blick 


Am Ende haben wir dir das wichtigste nochmal zusammengefasst:


  1. Ableitungen f’(x) und f’’(x) bilden
  2. Extremstellen bestimmen indem f’(x)= 0 gilt
  3. Art des Extremwerts bestimmen, indem der x-Wert aus 2. In f’’(x) eingesetzt wird. Regeln für jeweilige Art beachten!
  4. Y-Wert der Extremstellen ermitteln, indem x-Wert in f(x) eingesetzt und aufgelöst wird.


Gut gemacht! Nachdem du alles fleißig durchgelesen hast, solltest du nun wissen, wie du Extremstellen berechnen kannst. :) Weiter so!


Finales Extremstellen Quiz

Frage

Berechne die Extremwerte der folgenden Funktionen: 


  1. f(x)=x³ -15x²+72x+15
  2. g(x)=2x³ +3x² -36x-1
Antwort anzeigen

Antwort

  1. Minimum bei x=6, Maximum bei x = 4
  2. Minimum bei x=2, Maximum bei x = -3
Frage anzeigen

Frage

Berechne die Extremwerte der folgenden Funktionen: 


  1. f(x)= x*e^x
  2. g(x)=e^x /x
Antwort anzeigen

Antwort

  1. Minimum bei x = -1
  2. Minimum bei x = 1
Frage anzeigen

Frage

Berechne die Extremwerte der folgenden Funktionen: 


  1. f(x)=-x*lnx
  2. (lnx)/x
Antwort anzeigen

Antwort

  1. Maximum bei x=-1/e
  2. Maximum bei x=e
Frage anzeigen

Frage

Berechne die Extremwerte der folgenden Funktionen: 


  1. f(x)=lnx- √x 
  2. x -√x 
Antwort anzeigen

Antwort

  1. Maximum bei x =4
  2. Minimum bei x = 1/4
Frage anzeigen

Frage

Gebe an ob die folgenden Funktionen Polstellen besitzen. Falls ja, wo liegen diese?


a. x / (x - 12)

b. (3x - 30) / (3x - 10)

c. (x + 1) / (2x + 2)

Antwort anzeigen

Antwort

a. Ja - Polstelle bei x = 12

b. Ja - Polstelle bei x = 3,33

c. Nein

Frage anzeigen

Frage

Gebe an ob die folgenden Funktionen Polstellen besitzen. Falls ja, wo liegen diese?


a. x / (x - 3)

b. (3x - 12) / (5x - 10)

c. (x + 3) / (2x + 6)

Antwort anzeigen

Antwort

a. Ja - Polstelle bei x = 3

b. Ja - Polstelle bei x = 2

c. Nein

Frage anzeigen

Frage

Gebe an ob die folgenden Funktionen Polstellen besitzen. Falls ja, wo liegen diese?


a. 2x / (x - 2)

b. (x - 12) / (2x - 10)

c. (x + 2) / (0,5x + 1)

Antwort anzeigen

Antwort

a. Ja - Polstelle bei x = 2

b. Ja - Polstelle bei x = 5

c. Nein

Frage anzeigen

Frage

Gebe an ob die folgenden Funktionen Polstellen besitzen. Falls ja, wo liegen diese?


a. 2x / (2x - 4)

b. (x - 1) / (10x - 10)

c. (x + 2) / (3x + 6)

Antwort anzeigen

Antwort

a. Ja - Polstelle bei x = 2

b. Nein

c. Nein

Frage anzeigen

Frage

Wie bestimmt man die Extremstellen einer Funktion?

Antwort anzeigen

Antwort

Extremstellen einer Funktion f(x) erhältst du, wenn du die 1. Ableitung f’(x) gleich null setzt: → f’(x) = 0

Frage anzeigen

Frage

Welche Arten an Extremstellen gibt es?

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Antwort

Hochpunkt, Tiefpunkt und Sattelpunkt.

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Frage

Beschreibe den Funktionsabschnitt bei Hochpunkten.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Funktionsabschnitt bei Hochpunkten: 

  • Wächst vor der Extremstelle streng monoton und 
  • Fällt nach der Extremstelle streng monoton
Frage anzeigen

Frage

Beschreibe den Funktionsabschnitt bei Tiefpunkten.

Antwort anzeigen

Antwort

Tiefpunkte sind das Gegenteil zu den Hochpunkten. Deren Funktionsabschnitt: 

  • Fällt vor der Extremstelle streng monoton 
  • Wächst nach der Extremstelle streng monoton
Frage anzeigen

Frage

Beschreibe den Funktionsabschnitt bei Sattelpunkten.

Antwort anzeigen

Antwort

Sattelpunkte sind Sonderfälle: 


  • Monotonie vor und nach dem Extrempunkt sind identisch
  • Trotzdem erreicht die Kurve kurz einen Punkt, wo die Steigung gleich Null ist
Frage anzeigen

Frage

Wann handelt es sich um einen HP, TP oder Sattelpunkt?

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Antwort

Erkennst du eine Extremstelle an der Stelle x, so handelt es sich: 

  • Um einen Hochpunkt, wenn f’’(x) < 0 ist 
  • Um einen Tiefpunkt, wenn f’’(x) > 0 ist 
  • Möglicherweise um einen Sattelpunkt, wenn f’’(x) = 0 ist
Frage anzeigen

Frage

Wie berechne ich Extremstellen? (Schritte)

Antwort anzeigen

Antwort

  1.  Ermitteln der Extremstellen f’(x) = 0 auflösen 
  2. Art der Extremstellen ermitteln f’’(x) für jede Extremstelle ermitteln und nach der Regel entscheiden, ob es ein Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt ist
  3. Funktionswert des Extrempunktes bestimmen Um die kompletten Koordinaten für die Extremstelle zu bestimmen, musst du den herausgefunden x-Wert in f(x) einsetzen und auflösen.
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Frage

Berechne die Extremwerte von f(x)=x²+2x-1.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Funktion besitzt einen Tiefpunkt bei T(-1/-2).

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Frage

Berechne die Extremwerte von .

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Antwort

Da die Gleichung nicht lösbar ist, gibt es für diese Funktion keine Extremstellen.

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