Asymptote

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In diesem Artikel erklären wir dir, was es mit der Asymptote auf sich hat und zeigen dir anhand von Beispielaufgaben, wie du garantiert zum richtigen Ergebnis kommst. Dieser Artikel gehört zum Fach Mathematik und erweitert das Thema Funktionsklassen und ihre Eigenschaften.



Was ist überhaupt eine Asymptote?


Bestimmte Funktionen besitzen die Eigenschaft, dass für manche reellen Zahlen eine Definitionslücke besteht. An solchen Stellen kann für eine Funktion kein bestimmter Wert berechnet werden und der Funktionsgraph kann nur näherungsweise beschrieben werden.


Die Asymptote beschreibt die Näherung des Funktionsgraphen für eine solche Definitionslücke an einen bestimmten Wert. Anders ausgedrückt wird der Abstand an einer solchen Stelle zwischen dem Funktionsgraph und der Asymptote immer kleiner und kleiner für. Demnach ist eine Asymptote eine Gerade, an die sich eine Kurve annähert, ohne sie im Endlichen zu schneiden. Wenn die Funktion durch  und die Asymptote vereinfacht durch  beschrieben wird, so ist der Grenzwert des Abstandes gleich null wenn x gegen unendlich läuft [].


Die Asymptote bezieht sich also auf das Verhalten einer Funktion in nächster Umgebung einer Definitionslücke, am Rande eines nicht definierten Gebiets und wenn der Funktionswert x gegenläuft.


Nachfolgendes Schaubild stellt den Grenzwert des Abstandes zwischen Funktion und Asymptote graphisch dar, um sich das ganze besser vorstellen zu können:

In der Abbildung ist die Funktion  dargestellt:


  • Die Definitionslücke des Graphen besteht für.


  • Deshalb besitzteine senkrechte Asymptotemit .



Die Lage der Näherungsgeraden differenziert dabei ob es sich wie im Schaubild um eine senkrechte Asymptote (parallel zur y-Achse) handelt oder um eine waagerechte Asymptote (parallel zur X-Achse), bzw. um eine schiefe Asymptote.




Wann benötige ich die Asymptote?


Das Verhalten einer Funktion in der Umgebung einer Definitionslücke kann sehr unterschiedlich sein. Genau diese Stellen sind von besonderem Interesse, wobei Asymptoten dazu verwendet werden solche Stellen graphisch näherungsweise zu beschreiben.


Gerade bei gebrochen rationalen Funktionen muss der Grad von Zähler und Nenner genau beachtet werden um waagerechte und schiefe Asymptoten zu identifizieren. Eine schiefe Asymptote lässt sich dann am Funktionsterm ablesen, wenn für das Restglied gilt: Grad des Zählers < Grad des Nenners.


Soll eine gebrochen rationale Funktion graphisch dargestellt werden, empfiehlt es sich, als erstes alle Asymptoten einzutragen. Um besser zu verstehen was es überhaupt mit gebrochen rationalen Funktionen auf sich hat, seht ihr nachfolgend alles auf einen Blick.




IMPORTANT TO KNOW!


Wenn du dein Gedächtnis noch etwas auffrischen willst oder du dich fragst was es überhaupt mit gebrochen rationalen Funktionen oder deren Eigenschaften auf sich hat, so empfehlen wir dir vorab unseren Artikel zu gebrochen rationalen Funktionen zu lesen.


Jetzt bist du startklar und wir können sofort tiefer in das Thema Asymptoten eintauchen!




Worauf muss ich bei Asymptoten achten? 


Wichtig ist, dass ihr sofort erkennt wann es bei Funktionen zu nicht definierten Stellen und Gebieten kommen kann und diese auch identifizieren könnt.


Es gibt nur drei Arten nicht definierter Stellen und Gebiete, mathematische Funktionen betreffend. Um welche Arten es sich dabei genau handelt erfahrt ihr jetzt:



  1.  Durch Null dividieren ist nicht erlaubt! An dieser Stelle besitzt die Funktion   eine Definitionslücke!

    Gegeben ist beispielsweise die gebrochen rationale Funktion . Die Funktion ist an der Stellenicht definiert, da der Wert im Nenner gleich null wäre und durch null dividieren nicht definiert ist! Der Graph der Funktion nähert sich deshalb an dieser Stelle der Geradenan. Diese Gerade wird als senkrechte Asymptote der Funktionbezeichnet und verläuft parallel zur y-Achse.

  2. Die Zahl unter einer Wurzel darf niemals negativ sein! An dieser Stelle besitzt die Funktion eine Definitionslücke!

    Gegeben ist beispielsweise die Wurzelfunktion . Die Funktion ist an den Stellen nicht definiert, da der Wert unter der Wurzel negativ wäre und dies nicht definiert ist! Für x=1 ist der y-Wert des Graphen der Funktion f(x) gleich null, was den Grenzbereich zwischen Definitionsmenge und Definitionslücke der Funktion f(x) charakterisiert. An dieser Nullstelle des Nenners besitzt die Funktion eine senkrechte Asymptote, an die sich der Graph der Funktion anschmiegt.

  3. Das Argument einer Logarithmenfunktion darf niemals negativ sein! An dieser Stelle besitzt die Funktion eine Definitionslücke!

    Gegeben ist beispielsweise die Funktion. Die Funktion ist an den Stellen x ≤ -1 nicht definiert, da das Argument der Logarithmenfunktion negativ wäre und dies nicht definiert ist! An der Stelle x = -1 besitzt die Funktion eine senkrechte Asymptote, die parallel zur y-Achse verläuft und an die sich der Graph der Funktion anschmiegt.


Eine Asymptote nähert sich zwar einer Funktion an solchen Grenzstellen zwischen Definitionsbereich und Definitionslücke im Unendlichen immer weiter an, aber schneidet den Funktionsgraph in der Regel nie! 


TIPP! Anders ausgedrückt gilt bei einer Asymptote und der zugrundeliegenden Funktion grundsätzlich: Der Unterschied der Funktionswerte strebt gegen null wenn x gegenläuft.




Asymptoten – Unterscheidung und Vorkommen


In der Schulmathematik werden euch nur Asymptoten in Form einer Geraden begegnen. Dabei unterscheidet man explizit zwischen senkrechten, waagerechten und schiefen Asymptoten. Wann welche Asymptote vorkommt und wie die einzelnen Formen unterschieden werden erfahrt ihr jetzt.



Senkrechte Asymptote 


Eine senkrechte Asymptote des Graphenliegt vor, wenn gilt:. Dabei ist die Asymptote eine Gerade und definiert als x = k. Eine senkrechte Asymptote tritt nur an einer Definitionslücke oder an einem nicht definierten Randintervall einer Funktion auf. Senkrechte Asymptoten werden einfach ermittelt, indem man gegen alle nicht definierten Werte, bzw. Randwerte eines nicht definierten Intervalls den Grenzwert bildet.

Läuft der ermittelte Grenzwert gegen ±∞, so existiert mindestens eine senkrechte Asymptote für die entsprechende Funktion.


Graphisch stellt sich eine senkrechte Asymptote wie in der folgenden Abbildung verdeutlicht dar:



Die Gerade x = k ist die senkrechte Asymptote der Funktion f(x).



Waagerechte Asymptote


Eine waagerechte Asymptote ist definiert als eine Gerade der Form y = k. Sie tritt auf, wenn für eine zugrundeliegende Funktion  gilt: . Das bedeutet, der Graph der Funktion nähert sich für x → ±∞ immer mehr der Geraden y = k. Grundsätzlich treten waagerechte Asymptoten relativ selten auf im Vergleich zu senkrechten Asymptoten. Ganzrationale Funktionen beispielsweise besitzen keine waagerechten Asymptoten.


Für gebrochen rationalen Funktionen gilt hingegen:


  • Ist der Zählergrad > Nennergrad der Funktion, so existiert keine waagerechte Asymptote


  • Ist der Zählergrad = Nennergrad der Funktion, so existiert eine waagerechte Asymptote y = k für x → ±∞


  • Ist der Zählergrad < Nennergrad der Funktion, so existiert eine waagerechte Asymptote y = 0 (x-Achse) für x → ±∞


Bei sonstigen Funktionsarten muss, um zu überprüfen ob waagerechte Asymptoten auftreten, die Grenzwertbildung getrennt für x → +∞ und für x → -∞ betrachtet werden.


Graphisch stellt sich eine waagerechte Asymptote wie in der folgenden Abbildung verdeutlicht dar:



Die Gerade y = k ist die waagerechte Asymptote der Funktion f(x). 



Schiefe Asymptote


Eine schiefe Asymptote ist definiert als eine Gerade der Form. Sie tritt auf, wenn für eine zugrundeliegende Funktiongilt:. Das bedeutet, der Graph der Funktionnähert sich für x → ±∞ immer mehr der Geraden. Eine schiefe Asymptote tritt nur auf in Verbindung mit einer gebrochen rationalen Funktion, deren Zählergrad um genau eins höher ist als ihr Nennergrad. Eine schiefe Asymptote wird durch eine Polynomdivision bestimmt und eine Funktion kann höchstens eine schiefe Asymptote besitzen. Zudem können eine schiefe und eine waagerechte Asymptote nie gleichzeitig vorkommen, dafür aber eine senkrechte Asymptote in Verbindung mit einer schiefen Asymptote.


Graphisch stellt sich eine schiefe Asymptote wie in der folgenden Abbildung verdeutlicht dar:



Die Geradeist die schiefe Asymptote der Funktion f(x).


Gratuliere! Wenn du alle erklärten Schritte logisch nachvollziehen kannst und du den Unterschied sowie die Eigenschaften der verschiedenen Asymptoten verstehst, so bist du jetzt Experte was die graphische Darstellung gebrochen rationaler Funktionen betrifft und dir werden einige mathematische Operationen, die im weiteren Verlauf deiner Schulausbildung oder deines Studiums auf dich zukommen werden, mit Sicherheit leichter fallen!

 

Zum Abschluss findest du noch die wichtigsten Punkte zum Thema Asymptote in einer Checkliste zusammengefasst.




Asymptote - Alles Wichtige auf einen Blick


Die Asymptote beschreibt in der Mathematik eine Gerade deren Abstand zu einem bestimmten Funktionsgraph immer kleiner und kleiner wird, sofern sich die Funktionswerte dem Unendlichen immer weiter annähern.


Hier ist eine Checkliste, mit der du Schritt für Schritt deinen Weg zur Ermittlung der Asymptote einer Funktion überprüfen kannst.


  • Im ersten Schritt müssen Funktionen bezüglich Definitionslücken und nicht definierten Grenzintervallen untersucht werden.


  • Im zweiten Schritt muss die Gerade identifiziert werden, an die sich eine Funktion anschmiegt ohne sie im Endlichen zu schneiden.


  • Im dritten Schritt wird die Näherungsgerade weiter untersucht. Bei der Näherungsgerade handelt es sich um eine Asymptote und es wird zwischen senkrechten, waagerechten und schiefen Asymptoten unterschieden.


FERTIG!

 

Glückwunsch, du hast den schwierigsten Teil geschafft. Du weißt jetzt wie Asymptoten definiert sind und kennst deren Eigenschaften.

 

Natürlich verhält es sich bei der Ermittlung von Asymptoten und deren Funktionsklassen wie mit anderen mathematischen Methoden auch. Du musst üben, üben, üben ... 

 



Unsere Empfehlung


Es ist unheimlich wichtig, dass du bei gebrochen rationalen Funktionen, Wurzelfunktionen oder Logarithmenfunktionen sofort nicht definierte Intervalle und Definitionslücken erkennst. Du musst in der Lage sein die Funktionsgrenzwerte zu ermitteln und die Eigenschaften der Funktionen nachvollziehen können, wenn der x-Wert gegen Unendlich läuft. Die Asymptote ist hier nur ein Stichwort und ich verspreche dir, dass du in den allermeisten Fällen nicht nur in der Schule, sondern auch im Studium sowie im Berufsleben nicht an dem Thema Funktionsklassen und ihre Eigenschaften vorbeikommst.

 


Bei Fragen nutzt gerne auch unseren Kommentarbereich! Weitere Übungsaufgaben findet ihr in den kostenlosen* Inhalten von STARK und in unseren weiterführenden Karteikarten zu diesem und vielen weiteren Themen!



INSIDER TIPP


“ Hey, cool das du dich für das Thema Asymptote interessierst! Wusstest du, dass gebrochen rationalen Funktionen an den Nullstellen des Nenners (wenn Nenner = 0) immer eine senkrechte Asymptote, also eine Gerade parallel zur y-Achse besitzen? Mehr Infos dazu findest du auf dieser Learning Page! Bei Fragen nutze gerne auch unseren Kommentarbereich! Check it out!  ”


Leon Jerg 


StudySmarter Institute



Finales Asymptote Quiz

Frage

Was sind Asymptoten?

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Antwort

Asymptoten sind Geraden, denen sich der Graph einer Funktion beliebig genau nähert. Sie geben Ihnen wichtige Hinweise auf den Verlauf des Graphen und auf
Möglichkeiten, Funktionsterme näherungsweise zu vereinfachen. Man unterscheidet drei Typen.

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Was sind Asymptoten?

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Asymptoten sind Geraden, denen sich der Graph einer Funktion beliebig genau nähert.

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