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Zahlenmengen

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Mathe

Dieses Kapitel beschäftigt sich mit den verschiedenen Zahlenmengen. Dabei schauen wir uns natürliche Zahlen, negative Zahlen, ganze Zahlen, Primzahlen, rationale Zahlen, irrationale Zahlen, reelle Zahlen und komplexe Zahlen an. 


Für jede der Zahlenmengen haben wir in diesem Kapitel eigene Artikel, die du findest, wenn du dir die Unterthemen des Kapitels Zahlenmengen anzeigen lässt.


Die Zahlenarten erweitern den Themenbereich Mengenlehre und gehören zum Bereich Algebra im Fach Mathematik.

Viel Spaß beim Lernen!



Was ist eine Zahlenmenge?


Eine Zahlenmenge ist eine Menge in der Mathematik, deren Elemente Zahlen sind. Die Zahlen, die in einer Zahlenmenge enthalten sind, erfüllen je nach Zahlenmenge bestimmte Eigenschaften. 


Es gibt ein paar sehr bekannte Zahlenmengen. Diese sind die natürlichen Zahlen, die ganzen Zahlen, die rationalen Zahlen, die reellen Zahlen und die komplexen Zahlen. Sie werden manchmal auch als Zahlbereiche oder Zahlenbereiche bezeichnet. Es gibt aber auch noch andere Zahlenmengen, beispielsweise die Menge aller geraden Zahlen oder aller negativen Zahlen.


Je tiefer man in die Mathematik einsteigt, desto komplizierter können die Zahlenmengen werden, und desto mehr Zahlen sind darin enthalten.


 

Die wichtigen Zahlenbereiche


An dieser Stelle werden die wichtigen Zahlenbereiche kurz vorgestellt. Für ausführliche Informationen solltest du in den jeweiligen Artikel in diesem Kapitel schauen!


Je weiter unten der jeweilige Zahlenbereich erklärt ist, desto mehr Zahlen sind darin enthalten. Außerdem sind die oberen Zahlenmengen jeweils in den unteren enthalten. Das kannst du auch nochmal in der Übersicht am Ende dieses Absatzes sehen.


Natürliche Zahlen 


Natürliche Zahlen werden in der einfachen Mathematik verwendet, z.B. zum Zählen. Du kennst sie sicherlich schon aus der Grundschule. Alles was zählbar ist, kann mit einer natürlichen Zahl ausgedrückt werden.


Je nach Definition wird die Null zu den natürlichen Zahlen gezählt oder nicht. 


Natürliche Zahlen

 

Natürliche Zahlen mit Null

 


Die natürlichen Zahlen sind in allen anderen Zahlenbereichen, also den ganzen, den rationalen, den reellen und den komplexen Zahlen enthalten. 


Ganze Zahlen


Ganze Zahlen bestehen aus den natürlichen Zahlen und den negativen Zahlen. Auch die Null wird immer dazu gezählt. Du erkennst ganze Zahlen daran, sie keine Nachkommastellen haben, bzw. gar kein Komma. Zum Beispiel sind die 4 und die -4 ganze Zahlen.


Ganze Zahlen


Die ganzen Zahlen sind in den rationalen, den reellen und den komplexen Zahlen enthalten, jedoch nicht in den natürlichen Zahlen.


Rationale Zahlen


Rationale Zahlen sind Zahlen, die das Verhältnis von zwei ganzen Zahlen zueinander darzustellen. Da sie als Bruch dargestellt werden können, spricht man auch von „gebrochenen Zahlen“. Beispiele hierfür wären ½, -1/3, 10/12, 123/456. Wichtig ist, dass im Nenner des Bruchs nie eine Null steht – eine Division durch Null ist nicht zulässig!

Jede ganze Zahl und jede natürliche Zahl ist auch eine rationale Zahl. Die Zahl 4 kann man z.B. auch als 4/1 oder 8/2 darstellen.


Rationale Zahlen

Die rationalen Zahlen sind in den Zahlenbereichen reelle Zahlen und komplexe Zahlen enthalten. 


Reelle Zahlen


Reelle Zahlen  sind diejenigen Zahlen, die man zuletzt in der Schulmathematik behandelt. Sie erweitern die Menge der rationalen Zahlen um die Menge der irrationalen Zahlen (diese werden im nächsten Abschnitt kurz angesprochen!). Die Menge der reellen Zahlen enthält also auch Zahlen, die nicht als Bruch dargestellt werden können. Beispiele dafür sind die Kreiszahl  oder .


Komplexe Zahlen C


Komplexe Zahlen werden normalerweise in der Schule nicht behandelt, maximal in der Oberstufe des Gymnasiums oder an der FOS. Sie sind hier aber der Vollständigkeit halber erklärt. Wenn du noch nie von ihnen in der Schule gehört hast, dann musst du sie auch nicht unbedingt verstehen. Es schadet aber auch nicht, den Abschnitt einmal zu lesen.


Komplexe Zahlen sind - wie der Name schon sagt - wohl die komplexesten der Zahlenarten. Deshalb benötigt man sie auch meist erst an der Hochschule bzw. Universität. Mit den komplexen Zahlen wird der Zahlenbereich der reellen Zahlen erweitert. Dafür führt man die Zahl i ein, mit einer besonderen Eigenschaft: . Diese besondere Zahl wird auch als imaginäre Einheit bezeichnet.

Sie ermöglicht es, auch die Wurzel aus negativen Zahlen zu ziehen, was ja in der Schulmathematik nicht möglich ist 

Somit können auch weitere Gleichungen wie z. B.   gelöst werden.


Eine komplexe Zahl wird oft mit z bezeichnet und dargestellt als Gleichung z=a+bi, wobei a und b reelle Zahlen sind und i die imaginäre Einheit ist. a wird auch als Realteil, b als Imaginärteil bezeichnet.


Komplexe Zahlen

 

Übersicht über die Zahlenbereiche


Wie zu Beginn des Abschnittes schon erwähnt, liegen die einfachen Zahlenbereiche in den schwierigeren. Wie genau, das kannst du in dieser Abbildung sehen: 


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Übersicht über die Zahlenmengen

 

Es gilt also: , das heißt jede Menge ist Teilmenge der weiter rechts stehenden Menge.



Weitere Zahlenmengen

Primzahlen


Die Primzahlen sind eine Teilmenge der natürlichen Zahlen. In der Menge der Primzahlen sind alle diejenigen Zahlen enthalten, die nur durch die 1 und sich selber teilbar sind. Sie besitzen daher exakt zwei Teiler.


Die Zahl 1 gehört nicht zu der Menge der Primzahlen. Sie hat nämlich nur einen Teiler - sich selber!


Die ersten Primzahlen können mit dem Sieb des Eratosthenes gefunden werden. Dieses wirst du sicherlich im Mathematik Unterricht behandeln. Falls nicht, ist es auch nochmal im Artikel Primzahlen erklärt.


Negative Zahlen 


Die negativen Zahlen sind eine Teilmenge der ganzen Zahlen. Negative Zahlen begegnen dir ständig im Alltag, zum Beispiel bei Temperaturen oder auf dem Konto. Negative Zahlen werden manchmal auch Minuszahlen genannt. 


Irrationale Zahlen


Irrationale Zahlen können im Gegensatz zu den rationalen Zahlen nicht als Bruch dargestellt werden. Das heißt irrationale Zahlen sind Kommazahlen, die durch einen Bruch nicht exakt abgebildet werden können.


Die irrationalen Zahlen sind also alle reellen Zahlen, die nicht rational sind. Mathematisch kann man das auch so notieren:  



Gibt es noch weitere Zahlenmengen?


Ja, neben diesen allseits bekannten Zahlenmengen kannst auch Du einfach eine Zahlenmenge definieren. 


Auch die Menge  ist eine Zahlenmenge.


Zahlenmengen werden immer in der Mengenschreibweise, also mit geschweiften Klammern angegeben. 



Die Zahlenmengen auf einen Blick


Hier findest du nochmal die Definitionen der wichtigen Zahlenbereiche auf einen Blick:


Natürliche Zahlen
Ganze Zahlen
Rationale Zahlen mit a, b, b0}
Reelle Zahlen 
Komplexe Zahlen



Übungsaufgaben zu den verschiedenen Zahlenbereichen


Um die Zahlenarten noch besser zu verstehen, haben wir hier ein paar Übungen für dich:


Ordne der jeweiligen Zahl ihre Zahlenart(en) zu – beachte, dass eine Zahl zu mehreren Zahlenarten gehören kann! Komplexe Zahlen brauchst du hier nicht zu beachten.


  1. 2
  2. -10
  3. 2,5
  4. 2
  5. -3,8


Lösung:


  1. 2 ist eine natürliche Zahl, ganze Zahl, rationale Zahl und reelle Zahl 
  2. -10 ist eine ganze Zahl, negative Zahl, rationale Zahl und reelle Zahl
  3. 2,5 ist eine rationale Zahl und reelle Zahl
  4. 2 ist eine irrationale Zahl und reelle Zahl
  5. -3,8 ist eine negative Zahl, eine rationale Zahl und eine reelle Zahl


Lösungsweg:


Wenn du dich fragst, zu welcher Zahlenart eine Zahl gehört, stelle dir am besten die Grafik vor. Versuche den kleinsten Kreis zu finden, in den die Zahl passt. Damit gehört die Zahl zu dieser Zahlenart des gefundenen Kreises und allen Kreise, die weiter außen liegen.

 

Zum Beispiel kommt die   erst bei den irrationalen Zahlen dazu, somit gehört sie zu den irrationalen Zahlen aber auch zu den reellen Zahlen, die die irrationalen Zahlen beinhalten.


Zahlenmengen - Das Wichtigste auf einen Blick

  • Eine Zahlenmenge ist eine Menge, deren Elemente Zahlen sind.
  • Bekannte Zahlenmengen sind die natürlichen Zahlen, die ganzen Zahlen, die rationalen Zahlen, die reellen Zahlen und die komplexen Zahlen.
  • Weitere Zahlenmengen sind beispielsweise die Primzahlen, die negativen Zahlen und die irrationalen Zahlen.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Zahlenmengen

Es gibt die folgenden Zahlenmengen:

  • natürliche Zahlen
  • ganze Zahlen
  • rationale Zahlen
  • irrationale Zahlen
  • reelle Zahlen
  • komplexe Zahlen

Alle Zahlen, die nicht reell sind, gehören zu der Menge der komplexen Zahlen. Komplexe Zahlen haben immer einen Realteil und einen Imaginärteil. Ist eine Zahl nicht reell, so ist ihr Imaginärteil ungleich 0.
Komplexe Zahlen sind Teil der Uni-Mathematik und werden normalerweise in der Schule nicht behandelt.

Natürliche Zahlen sind alle positiven ganzen Zahlen, also Zahlen, die keine Nachkommastelle haben. Oft gehört auch die 0 zu den natürlichen Zahlen. 


Ganze Zahlen sind die natürlichen Zahlen und alle ganzen negativen Zahlen, also negative Zahlen ohne Nachkommastelle. 


Rationale Zahlen sind alle ganzen Zahlen plus diejenigen Zahlen mit Nachkommastelle, die sich als Bruch darstellen lassen. Das sind alle Dezimalzahlen mit endlich vielen Nachkommastellen oder periodischen Nachkommastellen.

DIE Zahlenmenge gibt es nicht. Es gibt verschiedene Zahlenmengen.


Zahlenmengen fassen verschiedene Zahlen, die bestimmte Eigenschaften haben, zu einer Menge zusammen. Alle Zahlen, die beispielsweise keine Nachkommastellen haben, gehören zu der Menge der ganzen Zahlen.

Finales Zahlenmengen Quiz

Frage

Was ist eine Zahlenmenge? 

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Zahlenmenge ist eine Menge in der Mathematik, deren Elemente Zahlen sind. Die Zahlen, die in einer Zahlenmenge enthalten sind, erfüllen je nach Zahlenmenge bestimmte Eigenschaften.

Frage anzeigen

Frage

Welche sind die mathematisch besonders wichtigen Zahlenmengen?

Antwort anzeigen

Antwort

  • die Menge  der natürlichen Zahlen
  • die Menge  der ganzen Zahlen
  • die Menge  der rationalen Zahlen
  • die Menge  der reellen Zahlen
  • eventuell noch die Menge  der komplexen Zahlen
Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die Definition der Menge der natürlichen Zahlen?

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die Definition der Menge der natürlichen Zahlen mit Null?

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die Definition der Menge der ganzen Zahlen?

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die Definition der Menge der rationalen Zahlen?

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Antwort

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die Definition der Menge der komplexen Zahlen?

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Wie liegen die wichtigen Zahlenmengen ineinander?

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Welche der folgenden Aussagen ist richtig?

Antwort anzeigen

Antwort

Jede ganze Zahl ist auch eine reelle Zahl.

Frage anzeigen

Frage

Was ist eine Primzahl?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Primzahl ist eine Zahl, die nur durch sich selber und durch 1 teilbar ist. Sie hat also exakt zwei Teiler.

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