Substitution

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Substitution


In diesem Artikel zur Substitution erklären wir dir, was eine Substitution ist, wie sie funktioniert und wie du Funktionen substituieren kannst.


Die Substitution gehört zu den Grundrechenarten und ist ein wichtiges Instrument in der Mathematik.

Viel Spaß und Erfolg beim Lernen!



Wann kann ich eine Substitution anwenden?


Zum Lösen einer Gleichung kannst du durch Substitution diese vereinfachen. Aber nur dann, wenn in einer Gleichung ausschließlich gerade Potenzen von x vorhanden sind. Dann kannst du eine Substitution durchführen. 

Wie du diese durchführst, erklären wir dir im nächsten Abschnitt Schritt für Schritt.


Kurz gesagt:


  • Für vereinfachtes Lösen von Gleichungen
  • nur bei Gleichungen mit ausschließlich geraden Potenzen möglich



Wie substituiere ich?


Anhand der Gleichung x⁴ - 5x² = 36 zeigen wir dir, wie eine Substitution funktioniert. Ziel ist es dabei immer, die Lösung der Gleichung zu bestimmen.


  1. Bringe alles auf eine Seite und setze gleich 0.


x⁴ - 5x² = 36    │-36

x⁴ - 5x² -36 = 0


  1. Substituiere: Ersetze alle x² durch u. → x² = u


u² - 5u -36 = 0


  1. Löse die Gleichung mit bekannten Formeln.(z.B. p-q-Formel/ Mitternachtsformel)


  1. Substituiere zurück. Löse x² = u.


  1. Schreibe die Lösung auf.

L={-3;3}



Übungsaufgaben zur Substitution


Bestimme die Nullstellen der folgenden Funktionen:


  1. f(x) = x⁴ + x² - 2

  2. g(x) = x⁴ - 4x² + 4

  3. h(x) = 2x⁴ + 4x² - 4


Rechenweg und Lösung zu Übungsaufgabe a.


1. Um die Nullstellen zu berechnen, müssen wir die Funktion gleich null setzen. Es gilt also: f(x) = 0

→ x⁴ + x² - 2 = 0


2. Alles auf eine Seite bringen.


3. Substitution mit u = x²

u² + u -2 = 0


4. Anwendung p-q/ Mitternachtsformel.

u1 = 1 und u2 = -2


5. Rücksubstitution.


6. Nullstellen aufschreiben.

Die Funktion f(x) besitzt folgende Nullstellen:

L={-1;1}



Rechenweg für b. und c. funktioniert analog zu Aufgabe a.


Lösung zu Aufgabe b.

Lösung zu Aufgabe c.



Alles Wichtige zur Substitution auf einen Blick!


Mithilfe der Substitution kannst du Gleichungen vereinfachen und so mit bekannten Formeln, wie der p-q/ Mitternachtsformel dann die Gleichung auflösen. Vergesse dabei nicht zurück zu substituieren!


Folgende Schritte solltest du dabei befolgen:


  1. Alles auf eine Seite bringen.
  2. Substituieren: Jedes x² durch u ersetzen. x² = u.
  3. Mit bekannten Formeln Gleichung lösen.
  4. Rücksubstitution. x² = u auflösen.
  5. Lösungsmenge aufschreiben.


Gut gemacht! Nachdem du alles fleißig durchgelesen hast, solltest du nun wissen, wann und wie du die Substitution in Mathe anwenden kannst. Weiter so!

Finales Substitution Quiz

Frage

Welche Grundrechenarten können unterschieden werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division

Frage anzeigen

Frage

Welche Rechengesetze können unterschieden werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz)

Assoziativgesetz (Klammergesetz)

Distributivgesetz (Verteilungsgesetz)

Frage anzeigen

Frage

Was besagt das Kommutativgesetz?

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Antwort

-> Vertauschungsgesetz

In einer Summe oder einem Produkt darf man die Summanden oder Faktoren vertauschen
• a + b = b + a
• a · b = b · a

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Frage

Welche Sonderstellung nimmt die Null bei der Division und Multiplikation ein? 

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Antwort

  • a*0 = 0*a = 0
  • 0/a = 0 
  • a/0 ist nicht definiert  


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Frage

Welche Regeln kommen zur Anwendung, wenn in einer Rechnung mehrere Rechenarten oder Klammern vorkommen?

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Antwort

  • Klammern werden zuerst berechnet.
  • Punktrechnungen (* und :) werden vor Strichrechnungen (+ und –) ausgeführt.
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Frage

Berechne 4 * (35 - 14) 

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Antwort

4 * (35 - 14) = 4 * 21 = 84


Was in der Klammer steht, musst du zuerst ausrechnen. Auch wenn es die „Punkt-vor-Strich-Regel“ außer Kraft setzt.

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Frage

Berechne 3*6 + 36/3

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Antwort

3*6 + 36/3 = 18 +12 = 30 


Berechne zuerst die Punkt- und dann die Strichrechnung.

Frage anzeigen

Frage

Berechne 13 + (10-2*4)

Antwort anzeigen

Antwort

13 + (10-2*4) = 13 + (10 - 8) = 13 + 2 = 15


Die Klammer wird zuerst berechnet. Punktrechnungen werden in der Klammer vor Strichrechnungen gerechnet.

Frage anzeigen

Frage

Welche 3 Rechengesetze gibt es bei dem Rechnen mit Grundrechenarten? 

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Antwort

  • Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz)
  • Assoziativgesetz (Klammergesetz) 
  • Distributivgesetz (Verteilungsgesetz)
Frage anzeigen

Frage

Was ist das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz)?

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Antwort

In einer Summe oder einem Produkt darf man die Summanden oder Faktoren vertauschen.


a + b = b + a

a * b = b * a

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Frage

Was ist das Assoziativgesetz (Klammergesetz)?

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Antwort

Bei einer Summe oder einem Produkt von mehreren Zahlen spielt die Reihenfolge der Ausführung keine Rolle. Klammern dürfen beliebig gesetzt werden.


a + (b + c) = (a + b) + c

a · (b · c) = (a · b) · c

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Frage

Was ist das Distributivgesetz (Verteilungsgesetz)?

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Antwort

Das Distributivgesetz verbindet eine Punktrechnung mit einer Strichrechnung. Klammern können aufgelöst werden. Umgekehrt kann auch ausgeklammert werden.


(a + b) · c = a · c + b · c

(a – b) · c = a · c – b · c

(a + b) : c = a : c + b : c

(a – b) : c = a : c – b : c

Frage anzeigen

Frage

Was muss man bei dem Assoziativ- und Kommunitativgesetz beachten? 

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Antwort

Beide Gesetze dürfen nicht bei der Subtraktion und der Division angewendet werden

Frage anzeigen

Frage

Wende bei 25 * 362 * 4 das Kommutativgesetz an

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Antwort

25 ∙ 362 ∙ 4 = 25 ∙ 4 ∙ 362 = 100 ∙ 362 = 36 200


Durch Vertauschen der Faktoren wird die Rechnung einfacher.

Frage anzeigen

Frage

Wende bei 279 + 412 +88 das Assoziativgesetz an

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Antwort

(279 + 412) + 88 = 279 + (412 + 88) = 279 + 3500 = 779


Wenn du die Klammern um die Summanden verschiebst, kannst du leichter addieren.

Frage anzeigen

Frage

Wende bei 37 * 16 - 17 * 16 das Distributivgesetz an

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Antwort

37 ∙ 16 – 17 ∙ 16 = (37 – 17) ∙ 16 = 20 ∙ 16 = 320


Du kannst den gleichen Faktor 16 ausklammern, dann musst du nur einmal multiplizieren.

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