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Potenzieren

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Mathe

In diesem Artikel beschäftigen wir uns mit dem Potenzieren. Wofür du Potenzgesetze brauchst, welche es gibt und Sonderfälle schauen wir uns im Folgenden an. Natürlich haben wir wieder Beispiele, damit du das Thema am Ende des Artikels auch gut verstanden hast!


Potenzgesetze erweitern den Themenbereich Grundrechenarten und begegnen dir im Mathe-Unterricht.

Viel Spaß beim Lernen!



Was sind Potenzen und Potenzgesetze?


Zunächst sollten wir kurz wiederholen, was eine Potenz ist, bevor wir die Potenzgesetze betrachten.


Eine Potenz ist eine kürzere Schreibweise für ein Produkt, bei dem ein Faktor mehrfach vorkommt.


Dafür schauen wir uns folgendes Beispiel an:



Allgemein gilt hier folgende Schreibweise:


  • a wird als Basis bezeichnet und ist eine reelle Zahl
  • b wird als Exponent bezeichnet und ist eine natürliche Zahl
  • ab wird Potenz oder Potenzwert genannt


Zum besseren und schnelleren Rechnen mit Potenzen können wir Potenzgesetze anwenden, welche wir dir im Folgenden vorstellen wollen. Außerdem gibt es ein paar Spezialfälle, die wir auch betrachten wollen.



Die fünf Potenzgesetze erklärt


Hier findest du die Potenzgesetze jeweils allgemein und an einem Beispiel erklärt.



Potenzgesetz 1: Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis


Das erste Potenzgesetz behandelt den Fall, dass wir Potenzen mit der gleichen Basis multiplizieren.

Hierzu betrachten wir zunächst ein Beispiel:



Wenn wir die beiden Potenzen ausschreiben, können wir danach abzählen wie oft die Basis insgesamt vorkommt. Nachdem es sich um die gleiche Basis handelt, können wir die Exponenten addieren.


Allgemein können wir das auch so schreiben:



Potenzgesetz 2: Division von Potenzen mit gleicher Basis


Das zweite Potenzgesetz betrachtet die Divisionen von Potenzen mit der gleichen Basis.

Hierzu betrachten wir zunächst ein Beispiel:



Wenn wir beide Potenzen ausschreiben, können wir jeweils aus Zähler und Nenner Faktoren kürzen, da es sich um die gleiche Basis handelt. Wir können also die Exponenten subtrahieren.


Allgemein können wir das auch so schreiben:



Potenzgesetz 3: Multiplikation von Potenzen mit gleichem Exponent


Das dritte Potenzgesetz behandelt den Fall, dass wir Potenzen mit dem gleichen Exponenten multiplizieren.

Hierzu betrachten wir zunächst ein Beispiel:

Nachdem wir beide Basen aufgrund des Exponenten gleich oft multiplizieren, können wir auch die beiden Basen miteinander multiplizieren und dieses Produkt potenzieren.


Allgemein können wir das auch so schreiben:



Potenzgesetz 4: Division von Potenzen mit gleichem Exponent


Das vierte Potenzgesetz betrachtet die Divisionen von Potenzen mit dem gleichen Exponenten.

Hierzu betrachten wir zunächst ein Beispiel:

Nachdem wir beide Basen aufgrund des Exponenten gleich oft dividieren, können wir auch den Quotient aus beiden Basen potenzieren.

Allgemein können wir das auch so schreiben:


Potenzgesetz 5: Potenzieren von Potenzen


Das fünfte und letzte Potenzgesetz behandelt das Potenzieren von Potenzen.

Hierzu betrachten wir zunächst ein Beispiel:


Wenn wir die Potenz in der Klammer ausschreiben und nochmal gemäß der zweiten Potenz miteinander multiplizieren haben wir immer die gleiche Basis. Wir können die beiden Exponenten also multiplizieren.

Allgemein können wir das auch so schreiben:



Sonderfälle bei Potenzen


Es gibt noch ein paar Sonderfälle bei Potenzen, die du kennen solltest.


Sonderfall 1: 0 als Exponent


Eine Besonderheit gibt es, wenn wir die 0 als Exponenten haben. Dann ist das Ergebnis immer 1.


Sonderfall 2: 1 als Exponent


Wenn wir die 1 als Exponent haben entspricht der Potenzwert immer der Basis


Sonderfall 3: 0 als Basis


Wenn wir die 0 als Basis haben, ist das Ergebnis immer 0 – außer wir haben die 1 als Exponent


Sonderfall 4: 1 als Basis


Wenn wir die 1 als Basis haben, ist das Ergebnis immer 1 


Sonderfall 5: negativer Exponent


Bei einem negativen Exponenten gilt folgende Eigenschaft:


Das Wichtigste zu den Potenzgesetzen auf einen Blick!


Hier findest du nochmal alle Potenzgesetze und Sonderfälle auf einen Blick:


Unser Tipp für Euch


Wenn du dich mal nicht mehr an ein Gesetz erinnern kannst, kannst du die Potenzen ausschreiben und probieren Exponenten oder Basen zusammenzufassen. Wenn du die Potenzgesetze aber mal ein paarmal angewandt hast, solltest du damit bald aber keine Schwierigkeiten mehr haben!

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