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Kleinster gemeinsamer Vielfacher

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Mathe

Kleinster gemeinsamer Vielfacher

In diesem Artikel erklär ich dir alles, was du für das Berechnen des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) von mehreren Zahlen wissen musst. Dieser Beitrag ordnet sich thematisch den Rechenregeln und Rechengesetzten im Fach Mathematik unter.

Um verstehen zu können, wie man das kleinste gemeinsame Vielfache mehrerer Zahlen korrekt berechnet, muss vorher genauestens geklärt werden, was man grundsätzlich unter dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen versteht und wie man dieses als Ergebnis erhält.

Was ist der kleinste gemeinsame Vielfacher?

Unter dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen oder auch kgV genannt versteht man die kleinste Zahl, welche ein Vielfaches der zu untersuchenden Zahlen darstellt. Um dies besser verstehen zu können, verdeutlichen wir dies an einem kurzen Beispiel.


Beispiele zur Berechnung

Als erstes zeige ich dir ein Beispiel aus dem alltäglichen Leben, welches von einem rechnerischen Beispiel gefolgt wird.

Stell dir vor, du und dein Freund verdienen so viel pro Stunde:


Anna:          6€/Stunde

Johannes:   12€/Stunde


Nun möchten Anna und Johannes herausfinden, wie lange beide mindestens arbeiten müssen, bis sie genau gleich viel Geld verdienen. Da Anna weniger verdient, heißt dies natürlich, dass sie mehr Stunden arbeiten muss als Johannes.


Um dies ausrechnen zu können benötigen wir also die kleinstmögliche Zahl, welche sowohl durch Anna's Stundenlohn, als auch durch Johannes's Stundenlohn teilbar ist.


Um diese Aufgabe zu lösen, gibt es zwei Möglichkeiten.

Methode 1: Vielfachenmengen

Um nun die Aufgabe zu lösen, müssen wir ganz einfach die beiden Zahlen jeweils mit den kleinsten Zahlen multiplizieren, angefangen bei 1 und empfohlen bis ungefähr 10.  Hinzuzufügen ist, dass dieses Verfahren lediglich bei sehr kleinen Zahlen geeignet ist, für größere Zahlen empfehle ich dir die Primfaktorenzerlegung, welche ich dir im unteren Bereich des Artikels erklären werde.


Doch nun zurück zu unserem Beispiel mit den Zahlen 6 und 10:


Zahl 1: 6

6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60


Zahl 2: 12

12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120


Nun markieren wir uns jene Zahlen, welche sowohl bei der ersten als auch bei der zweiten Zahl vorkommen mit grüner Farbe.


Zahl 1: 6

6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60


Zahl 2: 12

12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120


Das kgV entspricht nun der kleinsten grün markierten Zahl, also der 12.


Es muss aber gesagt werden, dass diese Methode nicht immer sinnvoll ist, wie beispielsweise bei den Zahlen 13 und 15. Denn auch wenn man hier alle Zahlen bis 10 multipliziert, erhält man keinen übereinstimmenden Wert. Bei diesen zwei Zahlen ist der größte gemeinsame Teiler die 1, da es sich jeweils um Primzahlen handelt. Sollte es sich wie in diesem Beispiel um zwei Primzahlen handeln, dann wird das kgV über die Multiplikation der beiden Zahlen ausgerechnet, also wie folgt:

 

Zahl 1: 13


Zahl 2: 15


kgV = 13 * 15 = 195

Methode 2: Die Primfaktorenzerlegung

Bei dieser Methode müssen wir als erstes die gegebenen Zahlen in ihre Primfaktoren zerlegen, das heißt anders ausgedrückt, dass man eine natürliche Zahl als Produkt von Primzahlen schreibt. 

Unter einer Primzahl versteht man grundsätzlich eine Zahl, welche nur durch 1 und durch sich selbst teilbar ist, wie beispielsweise 2, 3, 5, 7, 11.

Ein Beispiel für die Primfaktorenzerlegung wäre beispielsweise die Schreibweise 2 * 3 * 3 anstatt der Zahl 18.


Um diese Methode nun besser verstehen zu können, bedienen wir uns folgendem Beispiel:


Zahl: 24


Als ersten Schritt dividieren wir diese zahl durch die kleinste Primzahl, die 2 und schreiben uns die Teiler jeweils in eine eigene Zeile gefolgt von einem Multiplikationszeichen hin.


24 / 2 = 12


Das heißt anders ausgedrückt, können wir 24 auch als 2 * 12 schreiben. Nun nehmen wir den rot markierten Term und versuchen die 12 ebenso als Primfaktoren zu schreiben, indem wir diese erneut durch die kleinste Primzahl, die 2 dividieren.


12 / 2 = 6


Dies bedeutet, wir können die Zahl 24 auch als 2 * 2 * 6 schreiben. Nun nehmen wir den rot markierten Term erneut und versuchen die 6 ebenso als Primfaktoren zu schreiben, indem wir diese erneut durch die kleinste Primzahl, die 2 dividieren.


6 / 2 = 3


Übernehmen wir die Ergebnisse des vorherigen Schrittes, dann sehen wir, dass wir 24 auch als 2 * 2 * 2 * 3 schreiben können. Nun schauen wir uns die rot markierten Zahlen an und sehen, dass dieser nur mehr aus Primzahlen besteht und wir somit am Ende der Primfaktorenzerlegung angekommen sind. 


Versuchen wir dies nun anhand unseres konkreten Beispiels.


Lösung des Beispiels mit Primfaktorenzerlegung

Unsere Zahlen lauten 6 und 8, welche wir nun als erstes in ihre Primfaktoren zerlegen werden:


Schritt 1: Dividiere die Zahlen durch die kleinste Primzahl, also durch die 2, da es sich bei beiden Zahlen um gerade Zahlen handelt.


Zahl 6:

6 / 2 = 3


Das heißt anders ausgedrückt, können wir 6 auch als 2 * 3 schreiben. Nun nehmen wir den rot markierten Term und sehen, dass dieser nur mehr aus Primzahlen besteht, was bedeutet, dass diese Zahl vollständig in ihre Primfaktoren zerlegt wurde. 


Somit schreiben wir die Zahl wie folgt an:


6 = 2 * 3


Zahl 8:

8 / 2 = 4


Die Zahl 8 kann also auch als 2 * 4 geschrieben werden. Als nächstes untersuchen wir den rot markierten Term und versuchen jene Zahl, welche noch keine Primzahl ist, also die 4, erneut zu zerlegen. Dadurch dividieren wir diese erneut durch die kleinste Primzahl 2.


4 / 2 = 2


Nun sehen wir, dass die 8 auch als 2 * 2 * 2 geschrieben werden kann, was bedeutet, dass auch diese Zahl vollständig in ihre Primfaktoren zerlegt wurde.


8 = 2 * 2 * 2


Als letzten Schritt müssen wir beide Zahlen als Primfaktorenschreibweise untereinander hingeschrieben werden.


8 = 2 * 2 * 2

6 = 2 * 3


Wir schreiben alle Zahlen gleichen Zahlen, welche multipliziert werden, um die ursprüngliche Zahl zu erhalten, zusammenfassend an, wobei öfter auftretende gleiche Zahlen z. B. statt 2 * 2 lediglich als 2² angeschrieben werden, um einen besseren Überblick zu erhalten.


8 = 2³

6 = 2 * 3


Um jetzt das kleinste gemeinsame Vielfache zu erhalten, vergleichst du die Primfaktorenzerlegungen beider Zahlen und schreibst immer jede Zahl nur einmal an, wobei du bei öfter auftretenden Zahlen jene mit der höchsten Potenz verwendest.

Diese schreibst du als Multiplikation an und rechnest diese aus, um das kgV zu erhalten:


2³ * 3 = 8 * 3 = 24


Somit lautet das kgV 24.


Beispiel 2:

Die Zahlen lauten 9 und 12:


Hierfür müssen wir ganz einfach die beiden Zahlen jeweils mit den kleinsten Zahlen multiplizieren, angefangen bei 1 bis ungefähr 10.


Zahl 1: 9

9, 18, 27, 36, 45, 54, 63


Zahl 2: 12

12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96


Nun markieren wir uns jene Zahlen, welche sowohl bei der ersten als auch bei der zweiten Zahl vorkommen mit grüner Farbe.


Zahl 1: 9

9, 18, 27, 36, 45, 54, 63


Zahl 2: 12

12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96


Das kgV entspricht nun der kleinsten grün markierten Zahl, also der 36.

Zusammenfassung des Inhalts: Schritt für Schritt Anleitung für das Berechnen des kleinsten gemeinsamen Vielfachen  

  • Vielfachenmengenverfahren: Multipliziere beide Zahlen mit den Zahlen 1 bis 10 und markiere jene Ergebnisse der Multiplikationen, welche bei beiden Zahlen vorkommen
    • Der kleinste gemeinsame Wert ist das kgV
  • Primfaktorenzerlegung: Teile eine Zahl durch die kleinste Primzahl; Teile das Ergebnis der ersten Division erneut durch die kleinste Primzahl; Immer so weiter bis das Ergebnis 1 ergibt.
    • Schreibe beide Zahlen als Multiplikation um (Teiler der durchgeführten Divisionen)
    • Vergleiche beide umgeschriebenen Zahlen und fasse alle gemeinsamen Zahlen zusammen, indem du bei öfteren Vorkommen einer Zahl jene mit der höchsten Potenz nimmst. Multipliziere nun die gemeinsamen Vielfachen aus, um das kgV zu erhalten.


  • Super, du hast es geschafft!

Finales Kleinster gemeinsamer Vielfacher Quiz

Frage

Welche Grundrechenarten können unterschieden werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division

Frage anzeigen

Frage

Welche Rechengesetze können unterschieden werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz)

Assoziativgesetz (Klammergesetz)

Distributivgesetz (Verteilungsgesetz)

Frage anzeigen

Frage

Was besagt das Kommutativgesetz?

Antwort anzeigen

Antwort

-> Vertauschungsgesetz

In einer Summe oder einem Produkt darf man die Summanden oder Faktoren vertauschen
• a + b = b + a
• a · b = b · a

Frage anzeigen

Frage

Welche Sonderstellung nimmt die Null bei der Division und Multiplikation ein? 

Antwort anzeigen

Antwort

  • a*0 = 0*a = 0
  • 0/a = 0 
  • a/0 ist nicht definiert  


Frage anzeigen

Frage

Welche Regeln kommen zur Anwendung, wenn in einer Rechnung mehrere Rechenarten oder Klammern vorkommen?

Antwort anzeigen

Antwort

  • Klammern werden zuerst berechnet.
  • Punktrechnungen (* und :) werden vor Strichrechnungen (+ und –) ausgeführt.
Frage anzeigen

Frage

Berechne 4 * (35 - 14) 

Antwort anzeigen

Antwort

4 * (35 - 14) = 4 * 21 = 84


Was in der Klammer steht, musst du zuerst ausrechnen. Auch wenn es die „Punkt-vor-Strich-Regel“ außer Kraft setzt.

Frage anzeigen

Frage

Berechne 3*6 + 36/3

Antwort anzeigen

Antwort

3*6 + 36/3 = 18 +12 = 30 


Berechne zuerst die Punkt- und dann die Strichrechnung.

Frage anzeigen

Frage

Berechne 13 + (10-2*4)

Antwort anzeigen

Antwort

13 + (10-2*4) = 13 + (10 - 8) = 13 + 2 = 15


Die Klammer wird zuerst berechnet. Punktrechnungen werden in der Klammer vor Strichrechnungen gerechnet.

Frage anzeigen

Frage

Welche 3 Rechengesetze gibt es bei dem Rechnen mit Grundrechenarten? 

Antwort anzeigen

Antwort

  • Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz)
  • Assoziativgesetz (Klammergesetz) 
  • Distributivgesetz (Verteilungsgesetz)
Frage anzeigen

Frage

Was ist das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz)?

Antwort anzeigen

Antwort

In einer Summe oder einem Produkt darf man die Summanden oder Faktoren vertauschen.


a + b = b + a

a * b = b * a

Frage anzeigen

Frage

Was ist das Assoziativgesetz (Klammergesetz)?

Antwort anzeigen

Antwort

Bei einer Summe oder einem Produkt von mehreren Zahlen spielt die Reihenfolge der Ausführung keine Rolle. Klammern dürfen beliebig gesetzt werden.


a + (b + c) = (a + b) + c

a · (b · c) = (a · b) · c

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Frage

Was ist das Distributivgesetz (Verteilungsgesetz)?

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Antwort

Das Distributivgesetz verbindet eine Punktrechnung mit einer Strichrechnung. Klammern können aufgelöst werden. Umgekehrt kann auch ausgeklammert werden.


(a + b) · c = a · c + b · c

(a – b) · c = a · c – b · c

(a + b) : c = a : c + b : c

(a – b) : c = a : c – b : c

Frage anzeigen

Frage

Was muss man bei dem Assoziativ- und Kommunitativgesetz beachten? 

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Antwort

Beide Gesetze dürfen nicht bei der Subtraktion und der Division angewendet werden

Frage anzeigen

Frage

Wende bei 25 * 362 * 4 das Kommutativgesetz an

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Antwort

25 ∙ 362 ∙ 4 = 25 ∙ 4 ∙ 362 = 100 ∙ 362 = 36 200


Durch Vertauschen der Faktoren wird die Rechnung einfacher.

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Frage

Wende bei 279 + 412 +88 das Assoziativgesetz an

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Antwort

(279 + 412) + 88 = 279 + (412 + 88) = 279 + 3500 = 779


Wenn du die Klammern um die Summanden verschiebst, kannst du leichter addieren.

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Frage

Wende bei 37 * 16 - 17 * 16 das Distributivgesetz an

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Antwort

37 ∙ 16 – 17 ∙ 16 = (37 – 17) ∙ 16 = 20 ∙ 16 = 320


Du kannst den gleichen Faktor 16 ausklammern, dann musst du nur einmal multiplizieren.

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60%

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