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Irrationale Zahlen

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Mathe

nadine.koehler@studysmarter.de

Ich kann leider die Meta Information nicht abändern, vermutlich weil der Artikel schon veröffentlicht wurde. Falls du weißt wie das funktioniert, immer gerne mir Bescheid sagen. Ich versuche mich in der Zwischenzeit auch mal zu erkundigen.


@Nadine: Das funktioniert bei Rework-Artikeln nur mit einer bestimmten Bearbeitungslizenz, sprich Tarik muss das machen. Du könntest es ihm vereinfachen, indem du die Meta-Daten hier in einem Kommentar einfügst, dazu die Zeile im SEO-Sheet. Dann kannst du ihm entweder den Link zum Artikel schicken, dann macht er das gleich, oder er macht es, wenn der QC durch ist und er nochmal drüberliest. 

1:6 17.01.2022

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lea.breuer@studysmarter.de

Hey Nadine. Danke für den ausführlichen Artikel zu den irrationalen Zahlen!


Ich schreib dir hier oben ein bisschen allgemeines Feedback =)

  • viele der Abbildungen sind leider nicht zentriert. 
  • Zudem fehlen Bildunterschriften (teilweise) und Alternativtexte bei den Bildern.

17:3 19.01.2022

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Irrationale Zahlen kennst du vielleicht schon aus unserem Artikel zu den Zahlenarten. In den folgenden Abschnitten gehen wir weiter ins Detail und erklären dir, was du über die irrationalen Zahlen wissen musst.

Nach dem Lesen dieses Artikels weißt du, was irrationale Zahlen sind, wofür du sie brauchst und was sie als Zahlenart so besonders macht!


Zunächst möchten wir dir einen Überblick zu den möglichen Arten von Dezimalbrüchen geben, damit du die irrationalen Zahlen besser einordnen kannst:




nadine.koehler@studysmarter.de

@Desing: diese Abbildung bitte als Übersicht für die irrationalen Zahlen designen. Danke  



Das war die Abbildung von Tarik, welche ich als Überblick genommen habe. 

14:45 14.01.2022

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Da die rationalen Zahlen eine wichtige Rolle bei den irrationalen Zahlen spielen, müssen wir diese nochmal kurz wiederholen. 


Wiederholung: Was sind rationale Zahlen?


Im Bereich der rationalen Zahlen sind die vier Grundrechenoperationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division (außer durch 0) uneingeschränkt ausführbar. Rationale Zahlen können als Bruch ganzer Zahlen oder Dezimalzahlen dargestellt werden. 


Eine rationale Zahl ist eine Zahl, die durch einen Bruch dargestellt werden kann. Dabei muss sowohl im Zähler als auch im Nenner eine ganze Zahl stehen. Die Null im Nenner ist jedoch nicht erlaubt. 



Rationale Zahlen kannst du so darstellen:


Art der SchreibweiseBeispiel
Positive und negative Brüche
Periodische Dezimalzahlen 
Abbrechende Dezimalzahlen 



Eine Dezimalzahl ist eine rationale Zahl, wenn sie...


  • endlich viele Stellen nach dem Komma hat.
  • unendlich viele Stellen nach dem Komma hat, aber periodisch ist.



Du bist dir bei den rationalen Zahlen nicht mehr ganz sich und möchtest dein Wissen auffrischen? Dann schau dir hierzu doch einfach nochmal unseren Artikel Rationale Zahlen an. 


Da sich alle natürlichen Zahlen auch als unechte Brüche darstellen lassen, sind natürliche und ganze Zahlen auch rationale Zahlen.


Irrationale Zahlen - Definition



Irrationalen Zahlen bist du mit Sicherheit schon einmal bewusst oder unbewusst begegnet, denn diese Zahlen kannst du nicht wie eine rationale Zahl als Bruch, periodische und abbrechende Zahl darstellen.

 

Irrationale Zahlen sind Zahlen, die im Gegensatz zu den rationalen Zahlen nicht als Bruch von zwei ganzen Zahlen dargestellt werden können. 


Irrationale Zahlen sind Dezimalzahlen, mit unendlich vielen Nachkommastellen, die sich niemals wiederholen. Daher bezeichnet man irrationale Zahlen auch als nicht periodisch und können somit nicht genau bestimmt werden. 


Mir Irrationalität ist gemeint, dass die Zahl nicht periodisch, aber trotzdem unendlich lang ist. Man kann sie mit dezimaler Schreibweise (also 4,578682749...) nicht vollständig aufschreiben, da nach der letzten geschriebenen Stelle immer noch eine Zahl kommt, unendlich lange. Wenn du aus ihnen also eine Dezimalzahl bilden willst, musst du die Zahl runden.  


Irrationale Zahlen lassen sich wie folgt definieren:


Irrationale Zahlen = :  



Irrationale Zahlen kannst du verstehen, als eine Art Gegenstück zu den rationalen Zahlen. 

Alle von ihnen gehören zur Menge der reellen Zahlen, der numerischen Menge, die rationale und irrationale Zahlen gruppiert. 



Abbildung 1: Die Zahl √2 ist irrational.

lea.breuer@studysmarter.de

Ich finde, dieses Beispiel kommt total plötzlich und ist eigentlich so wichtig, dass es genauer beschrieben werden müsste. 

Man meint ja, dass irrrationale Zahlen so abgespaced sind, dass sie "nur philosophisch" sind (das hat auch in der Geschichte der Mathematik zu super viel Verwirrung geführt, das würde ich vielleicht auch noch in deinem Abschnitt zur Geschrichte der irrat. Zahlen einbauen. Ist glaube ich sehr spannend!). Und da hat man jetzt ein stinknormales Dreieck, und eine Seitenlänge ist einfach irrational. Mir wär es also wichtig, dass dieses Beispiel ein bisschen genauer hervorgehoben wird. 

11:9 20.01.2022

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lea.breuer@studysmarter.de

Vielleicht kann man in diesem Kapitel auch noch ein paar Unterkapitel machen? Sowas wie Eigenschaften irrationaler Zahlen, oder bekannte irrationale Zahlen(hier könnte man auch noch die Eulersche Zahl aufnehmen)?

11:18 20.01.2022

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Eigenschaften der irrationalen Zahlen


Du erkennst irrationale Zahlen an den folgenden Eigenschaften:


  • Keine Darstellung als Bruch: Irrationale Zahlen können nicht als Bruch von zwei ganzen Zahlen dargestellt werden.
  • Unendlich viele Nachkommastellen: Irrationale Zahlen haben unendlich viele Stellen nach dem Komma.
  • Nicht periodisch: Diese unendlich vielen Nachkommastellen wiederholen sich nicht periodisch.
  • Auffüllen des Zahlenstrahls: Irrationale Zahlen füllen die Lücken des Zahlenstrahls und bilden zusammen mit den rationalen Zahlen die reellen Zahlen.


Bekannte irrationale Zahlen


Die wohl bekannteste irrationale Zahl ist die Kreiszahl . Da die Zahl  unendlich viele, nicht periodische Nachkommastellen besitzt, geben wir dir hier die ersten vier an:


 


Weitere irrationale Zahlen erhältst du auch, wenn du aus einer Zahl, die keine Quadratzahl ist, die Wurzel ziehst, zum Beispiel . Die ersten vier Nachkommastellen lauten hier


 



Die Zahlenmenge der irrationalen Zahlen können wir also zum Beispiel so schreiben:





Nicht alle Wurzeln sind irrational. 

 ist keine irrationale Zahl.

 

 ist eine natürliche Zahl, da 25 eine Quadratzahl ist.

Wurzeln aus Nicht-Quadratzahlen sind immer irrationale Zahlen. 



Für echte Mathe-Pros


Die Zahlen  und  sind beide irrational, aber trotzdem unterscheiden sie sich in einer Kleinigkeit, wusstest du das?


Irrationale Zahlen die aus dem Ziehen der Wurzel einer Nicht-Quadratzahl entstehen, sind mögliche Lösungen von Gleichungen, oder wie der Mathematiker sagen würde, von Polynomen mit rationalen Koeffizienten. 


Die Gleichung 

 


hat die Lösungen .

Daher werden auch alle irrationalen Zahlen, die wie die  eine Lösung von Polynomen mit rationalen Koeffizienten sind, der Menge der reellen algebraischen Zahlen zugeordnet.

Die Zahl  ist eine irrationale Zahl, die aber keine Lösung eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten ist und wird deshalb auch als transzendent bezeichnet.

Die Geschichte der irrationalen Zahlen



Schon ca. 300 v. Chr. zeigte der Mathematiker Euklid, dass  eine irrationale Zahl ist. Er führte damals einen Widerspruchsbeweis durch.


Ein Widerspruchbeweis ist eine der Beweismethoden in der Mathematik. Die Grundidee ist, dass angenommen wird, die zu beweisende Behauptung sei falsch und sieht sich an, ob daraus ein Widerspruch, etwas Unsinniges, folgt. Wenn das der Fall ist, muss wohl die ursprüngliche Aussage doch stimmen. 


Der sehr bekannte Mathematiker Pythagoras, geboren 582 v. Chr. in Samos, Griechenland, wurde bekannt durch die Entdeckung des Satz des Pythagoras. Als ein Schüler von Pythagoras nun den Satz auf ein rechtwinkliges Dreieck mit Seiten gleich 1 anwendete, fand er die irrationale Zahl .

Hat man ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 und berechnet dessen Diagonale d, folgt aus dem Satz des Pythagoras , also . Die positive Lösung dieser Gleichung bezeichnet man heute mit .


Sofort wurde ihm klar, dass diese neue Zahl nicht aus dem Quotient zwischen zwei anderen natürlichen Zahlen stammte, die zu dieser Zeit bekannt waren. Deshalb nannte er sie irrational.




                 

                                                                                



Einordnung der irrationalen Zahlen


Du fragst dich wofür du irrationale Zahlen überhaupt benötigst und wie du herausfindest, ob es sich bei der Zahl um eine irrationale Zahl handelt? In diesem Abschnitt möchten wir genauer auf eine offenen Fragen eingehen. 

 

lea.breuer@studysmarter.de

Ich glaube, ich würde den Beweis auch in einen Deep Dive stecken... was meinst du? 

11:19 20.01.2022

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Irrationale Zahlen - Beweis anhand Wurzel 2


Die Quadratwurzel einer natürlichen Zahl ist irrational, wenn in deren Primfaktorzerlegung mindestens einer der Primfaktoren in ungerader Anzahl vorkommt. Insbesondere ist die Quadratwurzel einer Primzahl stets irrational. Wir führen den Beweis nach der Methode des Widerspruchbeweises. 

Der Widerspruchbeweis funktioniert so, dass die Annahme, die Wurzel aus 2 sei eine rationale Zahl, zu einem Widerspruch führt:


  1. Behauptung:  ist irrational
  2. Annahme:  ist rational (ist ein gekürzter Bruch)
    Zu zeigen: Es entsteht ein Widerspruch.

    Vorüberlegungen:

    • Wenn du eine Zahl n mit 2 multiplizierst, so ist das Ergebnis eine gerade Zahl (2⋅n).
    • Ist das Quadrat einer Zahl gerade, so ist es auch die Zahl selbst. (Beispiel: 64 ist gerade und 8 auch)
    • Brüche kann man kürzen, wenn Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler habe


      BeweisschrittErläuterungen
      1.  kann also als Bruch dargestellt werden.
      (p und q sind teilerfremd, das heißt der Bruch kann nicht weiter gekürzt werden).
      2. Quadrieren beider Seiten der Gleichung.
      3.Umformen der Gleichung nach p durch Multiplikation. 
      4. ist gerade.Das folgt aus der Darstellung von p.
      5. p ist gerade.Das folgt aus der zweiten Vorüberlegung. 
      6.p ist gerade, also das Doppelte einer beliebigen Zahl n.
      7.Quadrieren beider Seiten der Gleichung. 
      8.Gleichsetzen von  und  .
      9.Division durch 2. 
      10. ist gerade.Das folgt aus der Darstellung von .
      11.q ist gerade.Das folgt aus der zweiten Vorüberlegung.
      12. q ist gerade, also das Doppelte einer beliebigen Zahl m.
      13.p und q sind gerade und beide durch 2 teilbar.





  3. Das ist ein Widerspruch zur Annahme.
    p und q haben doch einen gemeinsamen Teiler. Somit ist  doch kein gekürzter Bruch.
  4. Die Annahme ist falsch, die Behauptung gilt.
    Damit ist bewiesen: Dann kann  nur irrational sein.



Zusammenhang von irrationalen und reellen Zahlen


Die Menge der irrationalen Zahlen  wird in der Mathematik gebraucht, um die reellen Zahlen  zu erhalten. Diese ergeben sich nämlich, wenn man zu der Menge der rationalen Zahlen  noch die Menge der irrationalen Zahlen dazu nimmt. Die Menge der reellen Zahlen bildet keine neue Gruppe von Zahlen, sondern ist eine Summe aus den beiden Mengen.


Vereinst du die rationalen und die irrationalen Zahlen, erhältst du die reellen Zahlen . Mit den reellen Zahlen kannst du den kompletten Zahlenstrahl bzw. die Zahlengerade abbilden! 


Die reellen Zahlen beinhalten die irrationalen Zahlen und die rationalen Zahlen. Die rationalen Zahlen beinhalten die ganzen Zahlen. Die ganzen Zahlen beinhalten die natürlichen Zahlen.


            


Die irrationalen Zahlen liegen in unserer Grafik also nicht mehr im Bereich der rationalen Zahlen, sondern erweitern den Zahlenbereich zu den reellen Zahlen:



Übersicht über die Zahlenmengen



Jede natürliche Zahl ist eine ganze Zahl.
Jede ganze Zahl ist eine rationale Zahl.
Jede rationale Zahl ist eine reelle Zahl. 


Das bedeutet, dass jede irrationale Zahl ist auch eine reelle Zahl und kann als komplexe Zahl dargestellt werden. Andersrum gilt das aber nicht, da eine komplexe Zahl keine irrationale Zahl ist wie beispielsweise .


lea.breuer@studysmarter.de

Die komplexen Zahlen würde ich fast ein wenig außen vor lassen, weil sie in der Schule gar nicht thematisiert werden.


nadine.koehler@studysmarter.de

Ich habe damals eine überarbeiteten Artikel von Tarik zu Irrationalen Zahlen bekommen und er hatte das extra mitreingenommen...soll ich es trotzdem rauslassen?

15:7 24.01.2022

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11:22 20.01.2022

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Irrationale Zahlen auf dem Zahlenstrahl



Ein besonders eindrucksvolles Beispiel für die Besonderheit von irrationalen Zahlen ist die folgende Idee:

Betrachten wir zunächst einen Zahlenstrahl der mit rationalen Zahlen gefüllt ist. 



lea.breuer@studysmarter.de

Kannst du diese Abbildung auch mit GeoGebra erstellen?


nadine.koehler@studysmarter.de

Die Abbildung habe ich damals mit GeoGebra erstellt. Aber bin leider noch nicht besonders geübt darin, weshalb ich für Verbesserungsvorschläge immer offen bin.

15:8 24.01.2022

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11:25 20.01.2022

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Irrationale Zahlen konnten wir bisher nicht auf einem Zahlenstrahl wiederfinden!


Was passiert, wenn wir jetzt ein einfaches gleichschenkliges Dreieck mit den Seitenlängen 1 auf den Zahlenstrahl legen?



Mit Hilfe des Satz des Pythagoras aus Klasse 8/9 kannst du jetzt die fehlende Seitenlänge berechnen:




 


Berechnung:



Wenn du jetzt die berechnete Strecke mit einem Zirkel auf den Zahlenstrahl abträgst, erhältst du direkt die irrationale Zahl  auf dem Zahlenstrahl.



lea.breuer@studysmarter.de

Coole Sache! Vielleicht kannst du hierfür auch ein eigenes Kapitel machen? Irgendwie "Irrationale Zahlen auf dem Zahlenstrahl? 
Und noch ein paar Sachen zu den ganzen Abbildungen:

  • Die Achsen müssten mit x und y beschriftet werden und am Ende einen Pfeil haben
  • Zudem müssen die Achsen dunkelblau (0, 10, 100) sein
  • Die wurzel 2 auf der x-Achse ist auch nicht in "StudySmarter"-Farbe, ebenso der Kreis und die Seitenbeschriftungen des Dreiecks.

11:23 20.01.2022

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Die irrationalen Zahlen füllen die Lücken des Zahlenstrahls und ergeben gemeinsam mit den ganzen Zahlen die reelle Zahlenmenge . Die rationalen Zahlen reichen dafür alleine nicht.

Bei den verschiedenen Begriffen der rationalen, irrationalen und reellen Zahlen kann man manchmal durcheinanderkommen! Am besten du stellst dir das bildlich vor! Im Kunstunterricht ergibt die Farbe Rot und die Farbe Blau vermischt immer die Farbe Lila. Ohne rote Farbe gäbe es auch keine lila Farbe. 



Rechnen mit irrationalen Zahlen


Natürlich kannst du mit irrationalen Zahlen, genauso wie mit allen anderen Zahlen rechnen. Allerdings wird das Ergebnis dann auch unendlich viele Nachkommastellen haben. Das Ergebnis ist also dann wieder eine neue irrationale Zahl. 


Deshalb ist es oft sinnvoll, z.B. für  nur den gerundeten Wert  zu verwenden, je nachdem, wie genau das Ergebnis sein soll.


lea.breuer@studysmarter.de

Kannst du hier vielleicht noch sagen, wo man mit irrationalen Zahlen rechnet? (Bezug zum Kreis, zur Kugel, zu Sinus und Kosinus vielleicht? Oder was dir sonst noch einfällt).

11:26 20.01.2022

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Die Zahlenarten im Überblick


Hier hast du nochmal alle Zahlenarten im Überblick. Wenn du die irrationalen Zahlen jetzt schon verstanden hast, kannst du ja bei der nächsten Zahlenart weitermachen.


ZahlenartBeispiel
Natürliche Zahlen
Natürliche Zahlen mit Null

 
Negative Zahlen
Ganze Zahlen
Rationale Zahlen
Irrationale Zahlen , z.B.  
Reelle Zahlen
Komplexe Zahlen



Übungsaufgaben


Um dein Verständnis zu den irrationalen Zahlen zu vertiefen, haben wir hier noch eine Übung für dich.


Aufgabe


Welche der folgenden Zahlen gehört zu der Menge der irrationalen Zahlen  ?

  1.  


Lösungen


  1.  ist keine irrationale Zahl, 16 ist eine Quadratzahl
  2.  ist eine irrationale Zahl.
  3.  ist keine irrationale Zahl, weil sich die Nachkommastellen periodisch wiederholen.
  4.  ist eine irrationale Zahl
  5.  ist eine irrationale Zahl. da die Wurzel aus einer Nicht-Quadratzahl gezogen wird.
  6. ist keine irrationale Zahl, weil sich die Nachkommastellen periodisch wiederholen.



Irrationale Zahlen - Das Wichtigste

  • Eine irrationale Zahl ist eine reelle Zahl, die keine rationale Zahl ist und jede reelle Zahl ist entweder eine rationale Zahl oder eine irrationale Zahl.
  • Eine rationale Zahl ist eine Zahl, die durch einen Bruch dargestellt werden kann.
    • Dabei muss sowohl im Zähler als auch im Nenner eine ganze Zahl stehen.
    • Die Null im Nenner ist jedoch nicht erlaubt.
  • Irrationale Zahlen sind reelle Zahlen, die nicht als Bruch zweier ganzen Zahlen dargestellt werden können. 
    • , z.B. , e, √2, √3 √5, √6, √7, √8, √10,...
  • Sie haben in ihrer Dezimaldarstellung unendlich viele Nachkommastellen, die sich nicht periodisch wiederholen.
  • Wenn du mit irrationalen Zahlen rechnest, hilft es oft einfach gerundete Werte zu nehmen. Das reicht meistens vollkommen aus. Dann geht das Rechnen auch ganz normal! 
  • Durch die irrationalen Zahlen wird der Zahlenbereich  der rationalen Zahlen erweitert zum Zahlenbereich der reellen Zahlen, die die Grundmenge für das Arbeiten mit Funktionen sind.
    • Die rationalen Zahlen und die irrationalen Zahlen ergeben zusammen die reellen Zahlen. Ohne irrationale Zahlen, gibt es auch keine vollständige reelle Zahlenmenge. 
    • Sie füllen die Lücken auf der Zahlenebene.
  • Du kannst nicht abbrechende, nicht periodische Dezimalzahlen nicht als Dezimalbruch schreiben, denn das sind irrationale Zahlen. 


Finales Irrationale Zahlen Quiz

Frage

Die Wurzel aus 4 ist...?

Antwort anzeigen

Antwort

eine rationale Zahl.

Frage anzeigen

Frage

Die Wurzel aus 2 ist..?

Antwort anzeigen

Antwort

eine irrationale Zahl.

Frage anzeigen

Frage

Was gilt für die Kreiszahl Pi?

Antwort anzeigen

Antwort

Irrationale Zahl

Frage anzeigen

Frage

Gibt es für die nicht-abbrechenden nicht periodischen Dezimalzahlen auch eine Darstellung als gewöhnlicher Bruch?

Antwort anzeigen

Antwort

Nein, hier handelt es sich um irrationale Zahlen, welche sich nicht als Bruch darstellen lassen.

Frage anzeigen

Frage

Wie kann man die Menge der irrationalen Zahlen definieren?

Antwort anzeigen

Antwort

Irrationale Zahlen sind Zahlen, deren Dezimaldarstellung unendlich viele Stellen aufweist und nicht periodisch ist. 

Frage anzeigen

Frage

Wie können irrationale Zahlen über Brüche definiert werden? 

Antwort anzeigen

Antwort

Irrationale Zahlen sind alle Kommazahlen, die nicht als Bruch dargestellt werden können. 

Frage anzeigen

Frage

Wie können irrationale Zahlen über Brüche definiert werden? 

Antwort anzeigen

Antwort

Irrationale Zahlen sind alle Kommazahlen, die nicht als Bruch dargestellt werden können. 

Frage anzeigen

Frage

Wie kann die Eulersche Zahl e definiert werden? 


Antwort anzeigen

Antwort

Die Eulersche Zahl  ist die Basis des natürlichen Logarithmus und der natürlichen Exponentialfunktion. Sie ist eine irrationale Zahl.

Frage anzeigen
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