Brüche kürzen

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So kannst du Brüche kürzen


In diesem Artikel erfährst du, wie man Brüche kürzen kann. 

Der Artikel gehört zum Fach Mathe zum Thema Bruchrechnung. Brüche kürzen gehört zu den Grundrechenarten und wird dir beim Rechnen mit Brüchen sehr helfen. 


Wir wiederholen das Kürzen von Brüchen hier noch einmal und verdeutlichen es mit ein paar Beispielaufgaben. Nach diesem Artikel solltest du damit kein Problem mehr haben.

Viel Spaß und Erfolg beim Lernen!



Was bedeutet Brüche kürzen?


Manchmal kann es beim Rechnen mit Brüchen unübersichtlich werden. Da hilft dann das Kürzen von Brüchen. Damit stellst du einen Bruch „kompakter“ dar, aber der Wert bleibt gleich, also die zugehörige Dezimalzahl. Es ändert sich also nur die Einteilung / Stückelung des Bruchs.


Am besten lässt sich das an folgendem Beispiel veranschaulichen:



Wenn du die beiden Brüche betrachtest, siehst du, dass die pinke Fläche in beiden Kreisen gleich groß ist. Das einzige, was sich geändert hat, ist die Unterteilung der Fläche. Beide Brüche repräsentieren den Wert 0,75.



Wie kann man Brüche kürzen?


Nachdem du jetzt gesehen hast, was es bedeutet, einen Bruch zu kürzen, haben wir hier noch die allgemeine Regel zum Kürzen von Brüchen für dich:


Beim Kürzen von Brüchen dividierst du Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl. Dadurch bleibt der Wert des Bruchs unverändert!


In unserem Beispiel haben wir durch die Zahl 2 – die sogenannte „Kürzungszahl“ – geteilt:




Die Kürzungszahl beim Brüche kürzen


Bei unserem obigen Beispiel war die Kürzungszahl die Zahl 2. Allgemein lässt sich die Kürzungszahl wie folgt definieren:

Die Kürzungszahl ist die Zahl, mit der man einen Bruch kürzt.
Die Kürzungszahl darf niemals 0 sein!

Wie findet man heraus, mit welcher Zahl man kürzen kann? Dafür gibt es zwei Möglichkeiten.



Brüche kürzen mit dem größten gemeinsamen Teiler (ggT)


Die wahrscheinlich einfachste Variante ist das Suchen des größten gemeinsamen Teilers (ggT). Dafür suchst du jeweils für Zähler und Nenner alle möglichen Teiler und suchst dann, wie es der Name schon verrät, den größten gemeinsamen Teiler.


Dafür schauen wir uns ein Beispiel an:


Kürze den Bruch 36/40 so weit wie möglich:


  • Teiler von 36: {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
  • Teiler von 40: {1, 2, 4, 8, 10, 20, 40}


Der größte gemeinsame Teiler ist die Zahl 4 – also kürzen wir folgendermaßen:




Brüche kürzen mit der Primfaktorzerlegung


Die Primfaktorzerlegung einer Zahl bietet sich ebenfalls an, um einen Bruch zu kürzen. Eventuell kennst du sie schon aus unserem Artikel zu den Primzahlen.


Bei der Primfaktorzerlegung stellst du eine Zahl als Multiplikation von Primzahlen dar. Zum Kürzen von Brüchen kannst du Zähler und Nenner als Primfaktorzerlegung darstellen und dann gleiche Zahlen paarweise kürzen.


Schauen wir uns dafür nochmal ein Beispiel an:


Kürze den Bruch 36/40 so weit wie möglich:


  • Primfaktorzerlegung von 36: 2 x 2 x 3 x 3
  • Primfaktorzerlegung von 40: 2 x 2 x 2 x 5


Damit können wir nun kürzen:




Brüche vollständig kürzen


Ziel beim Brüche kürzen ist es, den Bruch so weit wie möglich zu kürzen. Wann weißt du aber, dass du nicht mehr weiter kürzen kannst? Dafür haben wir drei Bedingungen, bei denen du aufhören kannst zu kürzen:



Zahl 1 in Zähler oder Nenner


Wenn du eine 1 im Zähler oder Nenner hast, kannst du nicht weiter kürzen, da sie nur durch sich selbst geteilt werden kann. Somit ist der ggT mit einer anderen Zahl immer 1. Also könntest du nur mit der 1 kürzen, wodurch sich der Bruch aber nicht mehr verändert.



Primzahl in Zähler oder Nenner


Wenn du eine Primzahl im Zähler oder Nenner hast kannst du auch nicht mehr weiter kürzen. Es sei denn die andere Zahl ist ein Vielfaches der Primzahl. Deshalb ist es immer praktisch die ersten Primzahlen zu kennen!



Differenz zwischen Zähler und Nenner ist 1


Wenn die Differenz zwischen Zähler und Nenner 1 ist, kannst du den Bruch auch nicht mehr weiter kürzen.

Übungen zum Kürzen von Brüchen.


Hier findest du noch ein paar Übungsaufgaben, damit du dein Verständnis noch verbessern kannst. Kürze die folgenden Brüche so weit es geht!


Kürze den Bruch!


  1. 28/12
  2. 100/1
  3. 14/7
  4. 9/8
  5. 17/50


Lösungen (mit Rechenweg):


  1. 28/12=(28 :4)/(12:4)=7/3
  2. 1001=100 – kann nicht weiter gekürzt werden (1 im Nenner)
  3. 14/7=(14:7)/(7:7)=2/1=2
  4. 9/8 – kann nicht weiter gekürzt werden (Differenz zwischen Zähler und Nenner ist 1)
  5. 17/50 – kann nicht weiter gekürzt werden (17 ist eine Primzahl und 50 kein Vielfaches von ihr)



Das Wichtigste zum Thema Brüche kürzen auf einen Blick!


Beim Kürzen von Brüchen dividierst du Zähler und Nenner eines Bruches durch dieselbe Zahl. Dadurch ändert sich der Wert nicht, aber die Unterteilung des Bruches wird „gröber“.



Unser Tipp für Euch


Das Kürzen von Brüchen ist extrem wichtig und spart dir oft Zeit. Immer wenn du mit Brüchen rechnest solltest du zunächst schauen, wo man Brüche kürzen kann!

Finales Brüche kürzen Quiz

Frage

Wie erweitert man einen Bruch? 

Antwort anzeigen

Antwort

Indem Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl (Erweiterungszahl) multipliziert werden

Frage anzeigen

Frage

Wie kürzt man einen Bruch? 

Antwort anzeigen

Antwort

Indem Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl (Kürzungszahl) dividiert werden.

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Frage

Ändert sich der Wert eines Bruchs durch das Kürzen oder Erweitern?

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Antwort

Nein. Durch das Erweitern oder Kürzen ändert sich der Wert des Bruches nicht.

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Frage

Unter welcher Voraussetzung kann man Brüche addieren oder subtrahieren? 

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Antwort

Brüche können nur dann addiert oder subtrahiert werden, wenn sie gleichnamig oder nennergleich sind, d. h., wenn sie einen gemeinsamen Nenner besitzen

Frage anzeigen

Frage

Wie kann man Brüche addieren oder subtrahieren?

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Antwort

Sind die Brüche gleichnamig, werden die Zähler addiert oder subtrahiert. Der gemeinsame Nenner bleibt unverändert

Frage anzeigen

Frage

Was muss man tum, um ungleichnamige Brüche (also mit unterschiedlichen Nennern) addieren oder subtrahieren zu können? 

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Antwort

Durch Erweitern oder Kürzen auf einen gemeinsamen Hauptnenner bringen.

Frage anzeigen

Frage

Wie multipliziert man Brüche? 

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Antwort

Brüche werden multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert.

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Frage

Wie dividiert man Brüche? 

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Antwort

Brüche werden dividiert, indem man den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multipliziert


Um den Kehrwert zu erhalten, vertauscht man den Zähler mit dem Nenner.

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Frage

Wie geht man bei der Addition oder Subtraktion von Dezimalbrüchen vor? 

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Antwort

  • Bei der Addition oder Subtraktion schreibt man die Dezimalbrüche stellengerecht untereinander (Komma unter Komma).
  • Dann addiert oder subtrahiert man wie gewohnt von rechts nach links.
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Frage

Wie multipliziert man Dezimalbrüche?

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Antwort

  • Bei der Multiplikation von Dezimalbrüchen rechnet man zunächst, ohne auf das Komma zu achten.
  • Das Komma wird anschließend im Ergebnis gesetzt. Das Ergebnis hat so viele Dezimalstellen wie alle Faktoren zusammen.
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Frage

Was darf im Divisor beim Dividieren von Dezimalbrüchen nicht vorkommen?

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Antwort

Beim Dividieren von Dezimalbrüchen darf im Divisor kein Komma vorkommen.

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Frage

Wie dividiert man Dezimalbrüche?

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Antwort

  • Bei Dividend und Divisor muss das Komma um so viele Stellen nach rechts verschoben werden, bis der Divisor eine natürliche Zahl ist. Der Quotient ändert dadurch seinen Wert nicht. 
  • Anschließend teilt man durch die natürliche Zahl. Sobald man beim Dividenden das Komma „überschreitet“, muss das Komma ins Ergebnis übertragen werden.
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Frage

Wie multipliziert man einen Dezimalbruch mit einer Stufenzahl?

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Dezimalbruch wird mit einer Stufenzahl (10, 100, 1 000, …) multipliziert, indem man das Komma um die Anzahl der Nullen nach rechts verschiebt.

Frage anzeigen

Frage

Wie dividiert man einen Dezimalbruch mit einer Stufenzahl?

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Dezimalbruch wird durch eine Stufenzahl (10, 100, 1 000, …) dividiert, indem man das Komma um die Anzahl der Nullen nach links verschiebt.

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Frage

Berechne 3,215 * 100

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Antwort

3,215 * 100 = 321,5

Das Komma wird um zwei Stellen nach rechts verschoben.

Frage anzeigen

Frage

Berechne 11,4 * 1000

Antwort anzeigen

Antwort

11,4 ∙ 1 000 = 11,400 ∙ 1 000 = 11 400


Es werden Nullen als Dezimalen ergänzt. Das Komma wird um drei Stellen nach rechts verschoben und verschwindet.

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Frage

Berechne 25,76 : 10

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Antwort

25,76 : 10 = 2,576


Das Komma wird um eine Stelle nach links verschoben.

Frage anzeigen

Frage

Berechne 8,62 : 100

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Antwort

8,62 : 100 = 0,0862


Das Komma wird um zwei Stellen nach links verschoben. Es müssen Nullen ergänzt werden.

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Frage

Was sagt der Zähler und Nenner eines Bruchs aus?

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Antwort

Am Nenner eines Bruches erkennt man, in wie viele Teile ins- gesamt zerlegt wird. 


Der Zähler gibt an, wie viele dieser Teile genommen werden.

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Frage

Was ist ein echter Bruch?

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Antwort

Bei einem echten Bruch ist der Zähler kleiner als der Nenner.

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Frage

Was ist ein unechter Bruch?

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Antwort

Ist der Zähler größer oder gleich dem Nenner, spricht man von einem unechten Bruch. Unechte Brüche kann man in ganze oder gemischte Zahlen umwandeln.

Frage anzeigen

Frage

Was sind gemischte Zahlen? 

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Antwort

Gemischte Zahlen setzen sich aus einer ganzen Zahl und einem Bruch zusammen.

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Frage

Was bilden alle positiven und negativen Brüche zusammen? 

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Antwort

Die Menge der rationalen Zahlen.

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Frage

Sind Dezimalbrüche auch Brüche? 

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Antwort

Ja nur in anderer Schreibweise

235 / 100 = 2,35 

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Frage

Was sind Dezimalbrüche? 

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Antwort

Bei der Dezimalschreibweise von Brüchen erweitert man die Stellenwerttafel nach rechts. 


Nach dem Komma stehen Zehntel (z), Hundertstel (h), Tausendstel (t), … Die Ziffern rechts vom Komma heißen Dezimalen oder Nachkommastellen.

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Frage

Wann ist ein Dezimalbruch endlich? 

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Antwort

Ein Dezimalbruch heißt endlich oder abbrechend, wenn nach einer bestimmten Stelle rechts vom Komma nur noch Nullen folgen. Diese Nullen dürfen weggelassen werden.

Frage anzeigen

Frage

Wann ist ein Dezimalbruch periodisch? 

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Antwort

Ein Dezimalbruch heißt periodisch, wenn sich rechts vom Komma eine bestimmte Ziffernfolge (Periode) fortlaufend wiederholt


Die Periode wird mit einem Strich über den Ziffern gekennzeichnet.

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Frage

Ist der Bruch 3/4 endlich? 

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Antwort

Ja. 3/4 = 0,75000 = 0,75

Es ist ein endlicher Dezimalbruch

Frage anzeigen

Frage

Ist der Bruch endlich?

5/11

Antwort anzeigen

Antwort

Nein. Es handelt sich um einen periodischen Dezimalbruch 


5 / 11 = 0,4545.. 

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