Brüche addieren

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Brüche addieren


In diesem Artikel erklären wir dir, was es mit der Addition und Subtraktion von Brüchen auf sich hat und zeigen dir anhand von Beispielaufgaben, wie du garantiert zum richtigen Ergebnis kommst. 


Dieser Artikel gehört zum Fach Mathematik und erweitert das Thema Grundrechenarten.



Was ist ein Bruch und eine Bruchzahl?


In erster Linie beschreibt ein Bruch eine rationale Zahl. Beispielsweise können Dezimalzahlen, also Zahlen mit Vorkomma- und Nachkomma stellen auch als Bruch beschrieben werden. So steht beispielsweise der Bruch 1/2 für die Dezimalzahl 0,5 und äquivalent. Bei einem Bruch heißt die Zahl über dem Bruchstrich „Zähler“ und die Zahl unterhalb des Bruchstrichs „Nenner“, bzw. „Teiler“. Die Rechenoperation innerhalb eines Bruchs steht für „Zähler“ geteilt durch „Nenner“. So berechnet beispielsweise die Bruchdarstellung 1/2 dasselbe wie die mathematische Darstellung 1÷2. „Zähler“ und „Nenner“ eines Bruchs sind immer ganze Zahlen, wobei jede Division, außer durch null („Nenner“ ≠0), möglich ist.


Die Bruchzahl beschreibt eine einfache Zahl, meist eine Dezimalzahl, welche einen Bruch definiert. Der Unterschied zwischen Bruch und Bruchzahl ist, dass jede Bruchzahl mit unendlich vielen Brüchen dargestellt werden kann. In Bezug auf das obige Beispiel ist die Bruchzahl 0,5 definiert durch den Bruch 12. Der Bruch kann erweitert oder gekürzt werden ohne dabei den Wert der Bruchzahl zu verändern. So stehen beispielsweise auch die Brüche 2/4, 3/6 oder 4/8 für die Bruchzahl 0,5. Für eine Bruchzahl existieren demnach verschiedene Darstellungsweisen, also verschiedene Brüche.



Wann benötige ich Brüche?


Brüche können addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden. Das Rechnen mit Brüchen, bzw. die Bruchrechnung, wird nicht nur in der Schulmathematik, sondern auch im Alltag benötigt. Beispielsweise bei der Teilung eines Kuchens in Stücke für eine bestimmte Anzahl an Personen.


Auch Prozentzahlen lassen sich stets in Form von Brüchen ausdrücken, da sie stets Teil eines Ganzen sind. So benötigt man Brüche dann, wenn nicht von „ganzen“ Dingen oder gesprochen wird.


Das folgende Schaubild kann mathematisch mit Brüchen beschrieben werden:



Der Kreis kann als Kuchen gesehen werden und repräsentiert das „Ganze“:



  • Der Kuchen ist im Schaubild gedrittelt, wobei jedes Teil mathematisch als 1/3, bzw. 0,33=33,33% beschrieben werden kann.

  • Die einzelnen Teile addiert ergeben wiederum das „Ganze“, also:
     


Wie bereits erwähnt können Brüche auch erweitert, bzw. gekürzt werden. Der Hintergrund ist, dass Brüche nur dann verglichen, addiert oder subtrahiert werden können, sofern sie denselben „Nenner“ besitzen.



IMPORTANT TO KNOW

Wenn du dein Gedächtnis noch etwas auffrischen willst oder du dich fragst was es überhaupt mit rationalen Zahlen oder Prozentzahlen auf sich hat, so empfehlen wir dir vorab folgende Artikel zu lesen.



Worauf muss ich bei der Bruchrechnung und beim Brüche addieren achten?


Beim Rechnen mit Brüchen wird stets versucht zwei Brüche miteinander zu verknüpfen, sodass ein resultierender dritter Bruch, bzw. eine Zahl entsteht. Man unterscheidet zwischen der Addition, der Subtraktion, der Multiplikation und der Division von Brüchen. Die wichtigsten Grundregeln der einzelnen Rechenoperationen werden jetzt in Kürze vorgestellt:



Brüche addieren:

    

Bei der Addition zweier oder mehrerer Brüche werden nur die einzelnen „Zähler“ miteinander addiert. Zuvor muss allerdings ein gemeinsamer (gleicher) „Nenner“ durch „erweitern“ oder „kürzen der jeweiligen Brüche gefunden werden.


Beispiel:   



 





Anwendungsbeispiel zur Addition von Brüchen


Alles Wichtige zum Thema Addition von Brüchen seht ihr jetzt ausführlich in einer Tabelle zusammengefasst und verständlich für euch aufbereitet:



Rechenoperation

Addition von Brüchen

Voraussetzungen

Zähler werden addiert und es besteht ein gemeinsamer Nenner 

Form

 

Mathematische Schreibweise

 

Beispiel

 



Gratuliere! 

Wenn du alle erklärten Schritte logisch nachvollziehen kannst und du die Grundlagen der Bruchrechnung verstehst, so bist du jetzt Experte was die Addition von Brüchen betrifft und dir werden einige mathematische Operationen die im weiteren Verlauf deiner Schulausbildung oder deines Studiums auf dich zukommen werden mit Sicherheit leichter fallen!

 

Zum Abschluss findest du noch die wichtigsten Punkte zum Thema Grundrechnen mit Brüchen in einer Checkliste zusammengefasst.



Deine ultimative Checkliste zum Thema Brüche addieren


Hast du alles verstanden? Hier ist eine Checkliste, mit der du Schritt für Schritt deinen Weg zur Ermittlung der Asymptote einer Funktion überprüfen kannst.


  • Wenn du Brüche addieren möchtest, so muss im ersten Schritt ein gemeinsamer Nenner gefunden werden, bevor anschließend die Zähler miteinander addiert werden können

  • Wenn du Brüche subtrahieren möchtest, so muss im ersten Schritt ein gemeinsamer Nenner gefunden werden, bevor anschließend die Zähler voneinander subtrahiert werden können

  • Wenn du Brüche multiplizieren möchtest, so gilt stets Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner

  • Wenn du Brüche dividieren möchtest, so muss im ersten Schritt der Kehrwert, bzw. der Kehrbruch des zu dividierenden Bruches gebildet werden bevor auch hier gilt Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner



Zusammenfassung zur Addition von Brüchen


Brüche können addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden. Für jede Rechenoperation gibt es dabei bestimmte Regeln die beachtet werden müssen. Die Bruchrechnung beschreibt in der Mathematik eine Rechenart mit rationalen Zahlen.


Bei Fragen nutzt gerne auch unseren Kommentarbereich! Weitere Übungsaufgaben findet ihr in den kostenlosen* Inhalten von STARK und in unseren weiterführenden Karteikarten zu diesem und vielen weiteren Themen!

Finales Brüche addieren Quiz

Frage

Wie erweitert man einen Bruch? 

Antwort anzeigen

Antwort

Indem Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl (Erweiterungszahl) multipliziert werden

Frage anzeigen

Frage

Wie kürzt man einen Bruch? 

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Antwort

Indem Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl (Kürzungszahl) dividiert werden.

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Frage

Ändert sich der Wert eines Bruchs durch das Kürzen oder Erweitern?

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Antwort

Nein. Durch das Erweitern oder Kürzen ändert sich der Wert des Bruches nicht.

Frage anzeigen

Frage

Unter welcher Voraussetzung kann man Brüche addieren oder subtrahieren? 

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Antwort

Brüche können nur dann addiert oder subtrahiert werden, wenn sie gleichnamig oder nennergleich sind, d. h., wenn sie einen gemeinsamen Nenner besitzen

Frage anzeigen

Frage

Wie kann man Brüche addieren oder subtrahieren?

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Antwort

Sind die Brüche gleichnamig, werden die Zähler addiert oder subtrahiert. Der gemeinsame Nenner bleibt unverändert

Frage anzeigen

Frage

Was muss man tum, um ungleichnamige Brüche (also mit unterschiedlichen Nennern) addieren oder subtrahieren zu können? 

Antwort anzeigen

Antwort

Durch Erweitern oder Kürzen auf einen gemeinsamen Hauptnenner bringen.

Frage anzeigen

Frage

Wie multipliziert man Brüche? 

Antwort anzeigen

Antwort

Brüche werden multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert.

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Frage

Wie dividiert man Brüche? 

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Antwort

Brüche werden dividiert, indem man den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multipliziert


Um den Kehrwert zu erhalten, vertauscht man den Zähler mit dem Nenner.

Frage anzeigen

Frage

Wie geht man bei der Addition oder Subtraktion von Dezimalbrüchen vor? 

Antwort anzeigen

Antwort

  • Bei der Addition oder Subtraktion schreibt man die Dezimalbrüche stellengerecht untereinander (Komma unter Komma).
  • Dann addiert oder subtrahiert man wie gewohnt von rechts nach links.
Frage anzeigen

Frage

Wie multipliziert man Dezimalbrüche?

Antwort anzeigen

Antwort

  • Bei der Multiplikation von Dezimalbrüchen rechnet man zunächst, ohne auf das Komma zu achten.
  • Das Komma wird anschließend im Ergebnis gesetzt. Das Ergebnis hat so viele Dezimalstellen wie alle Faktoren zusammen.
Frage anzeigen

Frage

Was darf im Divisor beim Dividieren von Dezimalbrüchen nicht vorkommen?

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Antwort

Beim Dividieren von Dezimalbrüchen darf im Divisor kein Komma vorkommen.

Frage anzeigen

Frage

Wie dividiert man Dezimalbrüche?

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Antwort

  • Bei Dividend und Divisor muss das Komma um so viele Stellen nach rechts verschoben werden, bis der Divisor eine natürliche Zahl ist. Der Quotient ändert dadurch seinen Wert nicht. 
  • Anschließend teilt man durch die natürliche Zahl. Sobald man beim Dividenden das Komma „überschreitet“, muss das Komma ins Ergebnis übertragen werden.
Frage anzeigen

Frage

Wie multipliziert man einen Dezimalbruch mit einer Stufenzahl?

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Dezimalbruch wird mit einer Stufenzahl (10, 100, 1 000, …) multipliziert, indem man das Komma um die Anzahl der Nullen nach rechts verschiebt.

Frage anzeigen

Frage

Wie dividiert man einen Dezimalbruch mit einer Stufenzahl?

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Dezimalbruch wird durch eine Stufenzahl (10, 100, 1 000, …) dividiert, indem man das Komma um die Anzahl der Nullen nach links verschiebt.

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Frage

Berechne 3,215 * 100

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Antwort

3,215 * 100 = 321,5

Das Komma wird um zwei Stellen nach rechts verschoben.

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Frage

Berechne 11,4 * 1000

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Antwort

11,4 ∙ 1 000 = 11,400 ∙ 1 000 = 11 400


Es werden Nullen als Dezimalen ergänzt. Das Komma wird um drei Stellen nach rechts verschoben und verschwindet.

Frage anzeigen

Frage

Berechne 25,76 : 10

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Antwort

25,76 : 10 = 2,576


Das Komma wird um eine Stelle nach links verschoben.

Frage anzeigen

Frage

Berechne 8,62 : 100

Antwort anzeigen

Antwort

8,62 : 100 = 0,0862


Das Komma wird um zwei Stellen nach links verschoben. Es müssen Nullen ergänzt werden.

Frage anzeigen

Frage

Was sagt der Zähler und Nenner eines Bruchs aus?

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Antwort

Am Nenner eines Bruches erkennt man, in wie viele Teile ins- gesamt zerlegt wird. 


Der Zähler gibt an, wie viele dieser Teile genommen werden.

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Frage

Was ist ein echter Bruch?

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Antwort

Bei einem echten Bruch ist der Zähler kleiner als der Nenner.

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Frage

Was ist ein unechter Bruch?

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Antwort

Ist der Zähler größer oder gleich dem Nenner, spricht man von einem unechten Bruch. Unechte Brüche kann man in ganze oder gemischte Zahlen umwandeln.

Frage anzeigen

Frage

Was sind gemischte Zahlen? 

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Antwort

Gemischte Zahlen setzen sich aus einer ganzen Zahl und einem Bruch zusammen.

Frage anzeigen

Frage

Was bilden alle positiven und negativen Brüche zusammen? 

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Antwort

Die Menge der rationalen Zahlen.

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Frage

Sind Dezimalbrüche auch Brüche? 

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Antwort

Ja nur in anderer Schreibweise

235 / 100 = 2,35 

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Frage

Was sind Dezimalbrüche? 

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Antwort

Bei der Dezimalschreibweise von Brüchen erweitert man die Stellenwerttafel nach rechts. 


Nach dem Komma stehen Zehntel (z), Hundertstel (h), Tausendstel (t), … Die Ziffern rechts vom Komma heißen Dezimalen oder Nachkommastellen.

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Frage

Wann ist ein Dezimalbruch endlich? 

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Antwort

Ein Dezimalbruch heißt endlich oder abbrechend, wenn nach einer bestimmten Stelle rechts vom Komma nur noch Nullen folgen. Diese Nullen dürfen weggelassen werden.

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Frage

Wann ist ein Dezimalbruch periodisch? 

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Antwort

Ein Dezimalbruch heißt periodisch, wenn sich rechts vom Komma eine bestimmte Ziffernfolge (Periode) fortlaufend wiederholt


Die Periode wird mit einem Strich über den Ziffern gekennzeichnet.

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Frage

Ist der Bruch 3/4 endlich? 

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Antwort

Ja. 3/4 = 0,75000 = 0,75

Es ist ein endlicher Dezimalbruch

Frage anzeigen

Frage

Ist der Bruch endlich?

5/11

Antwort anzeigen

Antwort

Nein. Es handelt sich um einen periodischen Dezimalbruch 


5 / 11 = 0,4545.. 

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