Bruchrechnung

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Bruchrechnung


In diesem Artikel geben wir dir eine Einführung in das Thema Bruchrechnung. Das Rechnen mit Brüchen gehört zu den Grundrechenarten in der Mathematik und wenn man es einmal verstanden hat ist es gar nicht mehr so schwer.


Nach diesem Artikel kennst du die Grundlagen der Bruchrechnung. Wenn du dir ein Thema genauer anschauen willst, haben wir dazu auch nochmal eigene Artikel.



Was ist ein Bruch?


Bevor wir anfangen mit Brüchen zu rechnen, solltest du erstmal wissen was ein Bruch ist. Grundsätzlich ist ein Bruch auch nur eine Division, nur anders dargestellt.


Brüche kann man verwenden um Zahlen zu beschreiben, die zwischen ganzen Zahlen (-1, 0, 2, 3…) liegen. Beispielsweise können wir mit einem Bruch die Zahl 0,5 – also eine Hälfte – anders darstellen.

Dafür hat ein Bruch zwei Bestandteile, den Zähler und den Nenner.


Ein Bruch hat Zähler und Nenner. Der Nenner gibt an, in wie viele Teile wir etwas unterteilen, der Zähler gibt an, wie viele Teile wir davon betrachten.



Du kannst mit einem Bruch fast jede beliebige Zahl darstellen (im Bereich der rationalen Zahlen). 

Allgemein gilt: je größer der Nenner, desto feiner die Unterteilung. 


Stellen wir uns das mal am Beispiel einer Torte vor:



Beispiel 1: 

  • Wir haben die Torte in 8 Teile unterteilt 🡪 Nenner
  • Davon nehmen wir 6 Teile 🡪 Zähler


Beispiel 2: 

  • Wir haben die Torte in 4 Teile unterteilt 🡪 Nenner
  • Davon nehmen wir 3 Teile 🡪 Zähler


Beide Beispiele stellen die Zahl 0,75 als Bruch dar. Denn der Wert eines Bruches ist die Division von Zähler durch Nenner.



Wie funktioniert Bruchrechnung?


Wenn du verstanden hast, was ein Bruch ist, verrät der Name Bruchrechnung eigentlich schon alles. Bruchrechnung ist einfach nur das Rechnen mit Brüchen.


Auch bei Brüchen kannst du alle Grundrechenarten anwenden – also Addition, Subtraktion, Division und Multiplikation. Allerdings gibt es bei Brüchen dafür ein paar Besonderheiten, weshalb wir uns im folgenden alle Arten der Bruchrechnung kurz anschauen wollen. 



Brüche kürzen bei der Bruchrechnung


Bevor wir uns die einzelnen Rechenarten anschauen, ist es wichtig zu verstehen, was es bedeutet Brüche zu kürzen. Das erspart oft Zeit beim Rechnen und man behält besseren Überblick.

Es lohnt sich fast immer Brüche zu kürzen, bevor man mit der Bruchrechnung beginnt!

Beim Kürzen von Brüchen dividierst du Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl. Dadurch bleibt der Wert des Bruchs unverändert!


Das können wir uns auch wieder an unserem Tortenbeispiel anschauen:



Für das Thema Brüche kürzen haben wir einen eigenen Artikel mit hilfreichen Tipps.



Die verschieden Arten der Bruchrechnung


Brüche addieren


Wie bei allen anderen Zahlen können wir bei der Bruchrechnung auch Brüche addieren

Beispielsweise wollen wir folgende zwei Brüche addieren:



Hier haben wir allerdings eine kleine Schwierigkeit. Beim Addieren muss der Nenner gleich sein… Erst dann können wir die Zähler addieren, wobei der Nenner gleich bleibt.


In unserem Beispiel würde das folgendermaßen aussehen:



Allgemein gilt beim Addieren von Brüchen:


  1. Nenner der zu addierenden Brüche müssen gleich sein
  2. Zähler addieren, Nenner bleibt gleich


Am besten schaust du dir dazu aber unseren Artikel zum Thema Brüche addieren an, dort haben wir eine genauere Erklärung und ein paar Übungsaufgaben.



Brüche subtrahieren


Wenn du das Addieren von Brüchen verstanden hast, ist das Subtrahieren eigentlich schnell erklärt. 

Auch hier schauen wir uns ein Beispiel an:



Hier haben wir das gleiche Problem wie beim Addieren von Brüchen, der Nenner muss der gleiche sein, erst dann können die Zähler subtrahiert werden. 


In unserem Beispiel würde das folgendermaßen aussehen:



Allgemein gilt beim Subtrahieren von Brüchen:

  1. Nenner der zu subtrahierenden Brüche müssen gleich sein
  2. Zähler subtrahieren, Nenner bleibt gleich


Auch hier schaust du dir dazu am besten unseren Artikel zum Thema Brüche subtrahieren an, dort haben wir eine genauere Erklärung und ein paar Übungsaufgaben.



Brüche multiplizieren


Brüche multiplizieren ist wahrscheinlich das einfachste bei der Bruchrechnung!


Zwei Brüche multipliziert man miteinander, indem man beide Zähler und beide Nenner miteinander multipliziert.

Oft kannst du das Ergebnis danach dann noch kürzen.


Am besten versteht man das mit einem Beispiel:


Zum Thema Brüche multiplizieren haben wir auch einen eigenen Artikel. Dort findest du auch wieder eine genauere Erklärung und weitere Tipps!



Brüche dividieren


Die letzte Rechenart bei der Bruchrechnung ist das Dividieren von Brüchen. Die Division ist aber ganz einfach, wenn du das Multiplizieren von Brüchen verstanden hast.


Um einen Bruch durch einen anderen zu dividieren, multipliziert man den Bruch durch den Kehrbruch (d.h. Vertauschen von Zähler und Nenner) des anderen Bruchs. 


Oft kannst du das Ergebnis danach dann noch kürzen.


Hierfür ein Beispiel:



Auch hier empfehlen wir dir unseren Artikel zum Thema Brüche dividieren.



Das Wichtigste zur Bruchrechnung auf einen Blick!


Beim Rechnen mit Brüchen, also bei der Bruchrechnung kann man alle Grundrechenarten anwenden. Also Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Für jede der Grundrechenarten gibt es bei der Bruchrechnung ein paar Besonderheiten, die du in den jeweiligen Artikeln findest.



Unser Tipp für Euch


Bruchrechnung ist in der Mathematik eine absolute Grundlage, du wirst es immer brauchen! Übe deshalb am besten viel mit unseren Übungsaufgaben in den einzelnen Artikeln.

Finales Bruchrechnung Quiz

Frage

Wie erweitert man einen Bruch? 

Antwort anzeigen

Antwort

Indem Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl (Erweiterungszahl) multipliziert werden

Frage anzeigen

Frage

Wie kürzt man einen Bruch? 

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Antwort

Indem Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl (Kürzungszahl) dividiert werden.

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Frage

Ändert sich der Wert eines Bruchs durch das Kürzen oder Erweitern?

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Antwort

Nein. Durch das Erweitern oder Kürzen ändert sich der Wert des Bruches nicht.

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Frage

Unter welcher Voraussetzung kann man Brüche addieren oder subtrahieren? 

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Antwort

Brüche können nur dann addiert oder subtrahiert werden, wenn sie gleichnamig oder nennergleich sind, d. h., wenn sie einen gemeinsamen Nenner besitzen

Frage anzeigen

Frage

Wie kann man Brüche addieren oder subtrahieren?

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Antwort

Sind die Brüche gleichnamig, werden die Zähler addiert oder subtrahiert. Der gemeinsame Nenner bleibt unverändert

Frage anzeigen

Frage

Was muss man tum, um ungleichnamige Brüche (also mit unterschiedlichen Nennern) addieren oder subtrahieren zu können? 

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Antwort

Durch Erweitern oder Kürzen auf einen gemeinsamen Hauptnenner bringen.

Frage anzeigen

Frage

Wie multipliziert man Brüche? 

Antwort anzeigen

Antwort

Brüche werden multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert.

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Frage

Wie dividiert man Brüche? 

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Antwort

Brüche werden dividiert, indem man den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multipliziert


Um den Kehrwert zu erhalten, vertauscht man den Zähler mit dem Nenner.

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Frage

Wie geht man bei der Addition oder Subtraktion von Dezimalbrüchen vor? 

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Antwort

  • Bei der Addition oder Subtraktion schreibt man die Dezimalbrüche stellengerecht untereinander (Komma unter Komma).
  • Dann addiert oder subtrahiert man wie gewohnt von rechts nach links.
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Frage

Wie multipliziert man Dezimalbrüche?

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Antwort

  • Bei der Multiplikation von Dezimalbrüchen rechnet man zunächst, ohne auf das Komma zu achten.
  • Das Komma wird anschließend im Ergebnis gesetzt. Das Ergebnis hat so viele Dezimalstellen wie alle Faktoren zusammen.
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Frage

Was darf im Divisor beim Dividieren von Dezimalbrüchen nicht vorkommen?

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Antwort

Beim Dividieren von Dezimalbrüchen darf im Divisor kein Komma vorkommen.

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Frage

Wie dividiert man Dezimalbrüche?

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Antwort

  • Bei Dividend und Divisor muss das Komma um so viele Stellen nach rechts verschoben werden, bis der Divisor eine natürliche Zahl ist. Der Quotient ändert dadurch seinen Wert nicht. 
  • Anschließend teilt man durch die natürliche Zahl. Sobald man beim Dividenden das Komma „überschreitet“, muss das Komma ins Ergebnis übertragen werden.
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Frage

Wie multipliziert man einen Dezimalbruch mit einer Stufenzahl?

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Dezimalbruch wird mit einer Stufenzahl (10, 100, 1 000, …) multipliziert, indem man das Komma um die Anzahl der Nullen nach rechts verschiebt.

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Frage

Wie dividiert man einen Dezimalbruch mit einer Stufenzahl?

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Dezimalbruch wird durch eine Stufenzahl (10, 100, 1 000, …) dividiert, indem man das Komma um die Anzahl der Nullen nach links verschiebt.

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Frage

Berechne 3,215 * 100

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Antwort

3,215 * 100 = 321,5

Das Komma wird um zwei Stellen nach rechts verschoben.

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Frage

Berechne 11,4 * 1000

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Antwort

11,4 ∙ 1 000 = 11,400 ∙ 1 000 = 11 400


Es werden Nullen als Dezimalen ergänzt. Das Komma wird um drei Stellen nach rechts verschoben und verschwindet.

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Frage

Berechne 25,76 : 10

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Antwort

25,76 : 10 = 2,576


Das Komma wird um eine Stelle nach links verschoben.

Frage anzeigen

Frage

Berechne 8,62 : 100

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Antwort

8,62 : 100 = 0,0862


Das Komma wird um zwei Stellen nach links verschoben. Es müssen Nullen ergänzt werden.

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Frage

Was sagt der Zähler und Nenner eines Bruchs aus?

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Antwort

Am Nenner eines Bruches erkennt man, in wie viele Teile ins- gesamt zerlegt wird. 


Der Zähler gibt an, wie viele dieser Teile genommen werden.

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Frage

Was ist ein echter Bruch?

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Antwort

Bei einem echten Bruch ist der Zähler kleiner als der Nenner.

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Frage

Was ist ein unechter Bruch?

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Antwort

Ist der Zähler größer oder gleich dem Nenner, spricht man von einem unechten Bruch. Unechte Brüche kann man in ganze oder gemischte Zahlen umwandeln.

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Frage

Was sind gemischte Zahlen? 

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Antwort

Gemischte Zahlen setzen sich aus einer ganzen Zahl und einem Bruch zusammen.

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Frage

Was bilden alle positiven und negativen Brüche zusammen? 

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Antwort

Die Menge der rationalen Zahlen.

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Frage

Sind Dezimalbrüche auch Brüche? 

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Antwort

Ja nur in anderer Schreibweise

235 / 100 = 2,35 

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Frage

Was sind Dezimalbrüche? 

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Antwort

Bei der Dezimalschreibweise von Brüchen erweitert man die Stellenwerttafel nach rechts. 


Nach dem Komma stehen Zehntel (z), Hundertstel (h), Tausendstel (t), … Die Ziffern rechts vom Komma heißen Dezimalen oder Nachkommastellen.

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Frage

Wann ist ein Dezimalbruch endlich? 

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Antwort

Ein Dezimalbruch heißt endlich oder abbrechend, wenn nach einer bestimmten Stelle rechts vom Komma nur noch Nullen folgen. Diese Nullen dürfen weggelassen werden.

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Frage

Wann ist ein Dezimalbruch periodisch? 

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Antwort

Ein Dezimalbruch heißt periodisch, wenn sich rechts vom Komma eine bestimmte Ziffernfolge (Periode) fortlaufend wiederholt


Die Periode wird mit einem Strich über den Ziffern gekennzeichnet.

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Frage

Ist der Bruch 3/4 endlich? 

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Antwort

Ja. 3/4 = 0,75000 = 0,75

Es ist ein endlicher Dezimalbruch

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Frage

Ist der Bruch endlich?

5/11

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Antwort

Nein. Es handelt sich um einen periodischen Dezimalbruch 


5 / 11 = 0,4545.. 

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